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10. 如图1-2-7，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12. 求：(1)AC的长度；(2)△ABC的面积。
答案
10. (1)因为AD是BC边上的中线，且$BC=10$，
所以$BD=CD=5.$
因为$5^2+12^2=13^2$，
所以$BD^2+AD^2=AB^2$，
所以$∠ADB=90°$，
所以$∠ADC=90°$，
所以$AC^2=AD^2+CD^2$,即$AC^2=12^2+5^2,AC=13.$
(2)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×10×12=60.$
所以$BD=CD=5.$
因为$5^2+12^2=13^2$，
所以$BD^2+AD^2=AB^2$，
所以$∠ADB=90°$，
所以$∠ADC=90°$，
所以$AC^2=AD^2+CD^2$,即$AC^2=12^2+5^2,AC=13.$
(2)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×10×12=60.$
11.刘老师在一次探究性活动课中，给出了下表中的数值：
(1)请你分别观察$a,b,c$与$n$之间的关系，并用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示：
$a=$
(2)猜想:以$a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形.请说明理由.
(1)请你分别观察$a,b,c$与$n$之间的关系，并用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示：
$a=$
$n^2-1$
，$b=$$2n$
，$c=$$n^2+1$
.(2)猜想:以$a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形.请说明理由.
答案
11. (1)$n^2-1$ $2n$ $n^2+1$
(2)是直角三角形，$\because (n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$,即$a^2+b^2=c^2$，
$\therefore$ 以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.
(2)是直角三角形，$\because (n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$,即$a^2+b^2=c^2$，
$\therefore$ 以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.
12.如图1-2-8,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6 cm,AD=24 cm,BC与CD的长度之和为34 cm,其中点C是直线l上的一个动点.请你探究当点C距离点B多远时,△ACD是以DC为斜边的直角三角形.
图1-2-8
图1-2-8
答案
12.
∵BC与CD的长度之和为 34 cm，
∴设 BC=x，则 CD=34−x.
∵在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=6 cm,BC=x，
∴AC²=AB²+BC²=6²+x².
∵△ACD 是以 DC 为斜边的直角三角形,且 AD=24 cm，
∴AC²=CD²−AD²=(34−x)²−24²，
∴6²+x²=(34−x)²−24²，
解得 x=8,即 BC=8 cm.
当点 C 距离点 B 8 cm 远时,△ACD是以 DC 为斜边的直角三角形.
∵BC与CD的长度之和为 34 cm，
∴设 BC=x，则 CD=34−x.
∵在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=6 cm,BC=x，
∴AC²=AB²+BC²=6²+x².
∵△ACD 是以 DC 为斜边的直角三角形,且 AD=24 cm，
∴AC²=CD²−AD²=(34−x)²−24²，
∴6²+x²=(34−x)²−24²，
解得 x=8,即 BC=8 cm.
当点 C 距离点 B 8 cm 远时,△ACD是以 DC 为斜边的直角三角形.
