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5. 先化简,再求值:$\dfrac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{1-x}{1+x}$,其中$x=\dfrac{1}{2}$.
答案
解 $\dfrac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{1-x}{1+x}$
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{x+1} · \dfrac{-(x-1)}{x+1}$
$=\dfrac{1-x}{x+1}.$
当 $x=\dfrac{1}{2}$时，
原式$=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{1}{3}.$
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{x+1} · \dfrac{-(x-1)}{x+1}$
$=\dfrac{1-x}{x+1}.$
当 $x=\dfrac{1}{2}$时，
原式$=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{1}{3}.$
解析
【分析】
这是分式乘除混合的化简求值题，解题思路如下：① 先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘该分式的倒数；② 对各分式分子、分母中的多项式因式分解，$x^2-1$用平方差公式分解，$x^2-2x+1$用完全平方公式分解，同时将$1-x$变形为$-(x-1)$，方便后续约分；③ 对转化后的乘法运算约掉分子分母的公因式，得到最简分式；④ 最后代入$x$的值计算结果，先化简再求值可减少计算量、降低出错率。
【解析】
先化简原式：
$\dfrac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{1-x}{1+x}$
将除法转为乘法，同时因式分解各部分：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{x+1} · \dfrac{-(x-1)}{x+1}$
约去分子分母的公因式$(x+1)$、$(x-1)$，得：
$=\dfrac{1-x}{x+1}$
当$x=\dfrac{1}{2}$时，代入最简式计算：
原式$=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题侧重考察分式乘除混合运算的掌握程度，解题核心是先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解后约分，运算过程中要注意$1-x$与$x-1$互为相反数的符号处理，先化简再代入求值可大幅降低计算难度，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
这是分式乘除混合的化简求值题，解题思路如下：① 先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘该分式的倒数；② 对各分式分子、分母中的多项式因式分解，$x^2-1$用平方差公式分解，$x^2-2x+1$用完全平方公式分解，同时将$1-x$变形为$-(x-1)$，方便后续约分；③ 对转化后的乘法运算约掉分子分母的公因式，得到最简分式；④ 最后代入$x$的值计算结果，先化简再求值可减少计算量、降低出错率。
【解析】
先化简原式：
$\dfrac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{1-x}{1+x}$
将除法转为乘法，同时因式分解各部分：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{x+1} · \dfrac{-(x-1)}{x+1}$
约去分子分母的公因式$(x+1)$、$(x-1)$，得：
$=\dfrac{1-x}{x+1}$
当$x=\dfrac{1}{2}$时，代入最简式计算：
原式$=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题侧重考察分式乘除混合运算的掌握程度，解题核心是先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解后约分，运算过程中要注意$1-x$与$x-1$互为相反数的符号处理，先化简再代入求值可大幅降低计算难度，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
6.计算：
答案
解 (1) 原 式 $= \dfrac{(x-4)^2}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{(x-4)^2} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+2} = \dfrac{x+1}{x+2}.$
(2) 原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{(b-a)^3} · (a+b)(a-b) = \dfrac{a(a+b)}{b^2} = \dfrac{a^2+ab}{b^2}.$
(2) 原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{(b-a)^3} · (a+b)(a-b) = \dfrac{a(a+b)}{b^2} = \dfrac{a^2+ab}{b^2}.$
解析
【分析】
这两道是分式乘方与乘除混合运算题，解题思路如下：①先算乘方，按照分式乘方法则，分子、分母分别乘方；②将除法统一转化为乘法运算，除以一个分式等于乘这个分式的倒数；③对分子、分母中的多项式用完全平方公式、平方差公式因式分解；④约去分子分母的公因式得到最简结果，计算时注意互为相反数的整式的变形，避免符号出错。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转为乘法，同时因式分解多项式：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(x-4)^2}{(x-1)^2} ÷ \dfrac{(x-4)^2}{x-1} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+2}\\&=\dfrac{(x-4)^2}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{(x-4)^2} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+2}\\\end{aligned}$
约去公因式$(x-4)^2$、$(x-1)^2$后化简得：
$原式=\dfrac{x+1}{x+2}$
(2) 先计算乘方，注意符号处理，再将除法转为乘法，因式分解多项式：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{(-a)^3}{(b-a)^3} ÷ \dfrac{1}{(a+b)(a-b)}\\&=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{-(a-b)^3} · (a+b)(a-b) \quad (\mathrm{注：}(b-a)^3=-(a-b)^3)\\\end{aligned}$
约去公因式$(a-b)^3$、$a^2$，负号抵消后化简得：
$原式=\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{x+1}{x+2}}$
(2) $\boxed{\dfrac{a^2+ab}{b^2}}$（或$\boxed{\dfrac{a(a+b)}{b^2}}$）
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除混合运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考查运算顺序的掌握和因式分解的应用，解题的易错点是处理互为相反数的整式变形时符号出错，掌握规则后难度不大。
【难度系数】
0.7
这两道是分式乘方与乘除混合运算题，解题思路如下：①先算乘方，按照分式乘方法则，分子、分母分别乘方；②将除法统一转化为乘法运算，除以一个分式等于乘这个分式的倒数；③对分子、分母中的多项式用完全平方公式、平方差公式因式分解；④约去分子分母的公因式得到最简结果，计算时注意互为相反数的整式的变形，避免符号出错。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转为乘法，同时因式分解多项式：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(x-4)^2}{(x-1)^2} ÷ \dfrac{(x-4)^2}{x-1} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+2}\\&=\dfrac{(x-4)^2}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{(x-4)^2} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+2}\\\end{aligned}$
约去公因式$(x-4)^2$、$(x-1)^2$后化简得：
$原式=\dfrac{x+1}{x+2}$
(2) 先计算乘方，注意符号处理，再将除法转为乘法，因式分解多项式：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{(-a)^3}{(b-a)^3} ÷ \dfrac{1}{(a+b)(a-b)}\\&=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{-(a-b)^3} · (a+b)(a-b) \quad (\mathrm{注：}(b-a)^3=-(a-b)^3)\\\end{aligned}$
约去公因式$(a-b)^3$、$a^2$，负号抵消后化简得：
$原式=\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{x+1}{x+2}}$
(2) $\boxed{\dfrac{a^2+ab}{b^2}}$（或$\boxed{\dfrac{a(a+b)}{b^2}}$）
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除混合运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考查运算顺序的掌握和因式分解的应用，解题的易错点是处理互为相反数的整式变形时符号出错，掌握规则后难度不大。
【难度系数】
0.7
7. 如图,将4张长、宽分别为$a$,$b$的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形.已知拼成的大正方形面积为49,中间的小正方形的面积为1.求$(a^4 - b^4) ÷ \dfrac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$的值.
答案
解 由题意,得$(a+b)^2=49,(a-b)^2=1,a＞0,b＞0,a＞b,$
$\therefore (a+b)^2-(a-b)^2=48,a+b=7,$
$\therefore a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=48,$
$\therefore ab=12,$
$\therefore 原式=(a^2+b^2)(a+b)(a-b) · \dfrac{ab}{a^2+b^2} · \dfrac{1}{6(a-b)} = \dfrac{ab(a+b)}{6} = \dfrac{12×7}{6} =14.$
$\therefore (a+b)^2-(a-b)^2=48,a+b=7,$
$\therefore a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=48,$
$\therefore ab=12,$
$\therefore 原式=(a^2+b^2)(a+b)(a-b) · \dfrac{ab}{a^2+b^2} · \dfrac{1}{6(a-b)} = \dfrac{ab(a+b)}{6} = \dfrac{12×7}{6} =14.$
解析
【分析】
解题时可分为两步思考：第一步先结合几何图形的面积条件求出相关代数式的值：由图可知大正方形的边长为$a+b$，小正方形的边长为$a-b$，结合二者的面积可得到$(a+b)^2=49$、$(a-b)^2=1$，再利用完全平方公式展开两个式子作差，即可求出$ab$的值，同时可得到$a+b=7$（因为$a、b$均为正数）。第二步化简待求的分式运算式：先将除法统一转化为乘法，再对多项式因式分解，约分后得到最简式，最后代入已知值计算即可。
【解析】
由题意，得$(a+b)^2=49$，$(a-b)^2=1$，且$a＞0,b＞0,a＞b$，
$\therefore a+b=7$，
将两个完全平方式作差：$(a+b)^2-(a-b)^2=49-1=48$，
展开得：$a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=48$，
化简得：$4ab=48$，解得$ab=12$。
接下来化简待求式：
$\begin{aligned}&(a^4 - b^4) ÷ \dfrac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)\\=&(a^2+b^2)(a+b)(a-b) × \dfrac{ab}{a^2+b^2} × \dfrac{1}{6(a-b)}\\=&\dfrac{ab(a+b)}{6}\end{aligned}$
将$ab=12$，$a+b=7$代入得：
原式$=\dfrac{12×7}{6}=14$
【答案】
$14$
【知识点】
分式的乘除运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题将几何图形面积和代数运算相结合，考查了数形结合思想的应用，既需要学生能从图形中挖掘出$a、b$的数量关系，又要求学生熟练掌握分式化简、因式分解的运算方法，综合性较强。
【难度系数】
0.7
解题时可分为两步思考：第一步先结合几何图形的面积条件求出相关代数式的值：由图可知大正方形的边长为$a+b$，小正方形的边长为$a-b$，结合二者的面积可得到$(a+b)^2=49$、$(a-b)^2=1$，再利用完全平方公式展开两个式子作差，即可求出$ab$的值，同时可得到$a+b=7$（因为$a、b$均为正数）。第二步化简待求的分式运算式：先将除法统一转化为乘法，再对多项式因式分解，约分后得到最简式，最后代入已知值计算即可。
【解析】
由题意，得$(a+b)^2=49$，$(a-b)^2=1$，且$a＞0,b＞0,a＞b$，
$\therefore a+b=7$，
将两个完全平方式作差：$(a+b)^2-(a-b)^2=49-1=48$，
展开得：$a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=48$，
化简得：$4ab=48$，解得$ab=12$。
接下来化简待求式：
$\begin{aligned}&(a^4 - b^4) ÷ \dfrac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)\\=&(a^2+b^2)(a+b)(a-b) × \dfrac{ab}{a^2+b^2} × \dfrac{1}{6(a-b)}\\=&\dfrac{ab(a+b)}{6}\end{aligned}$
将$ab=12$，$a+b=7$代入得：
原式$=\dfrac{12×7}{6}=14$
【答案】
$14$
【知识点】
分式的乘除运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题将几何图形面积和代数运算相结合，考查了数形结合思想的应用，既需要学生能从图形中挖掘出$a、b$的数量关系，又要求学生熟练掌握分式化简、因式分解的运算方法，综合性较强。
【难度系数】
0.7
