典例3 下列图形中,不是中心对称图形的是().

A

解：根据中心对称图形的定义：将一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能够与原图形完全重合，则这个图形是中心对称图形。
选项A：绕圆心旋转180°后，图形的三个凸起部分无法与原图形的对应位置重合，不是中心对称图形；
选项B、C、D：绕各自的图形中心旋转180°后，旋转后的图形都能与原图形完全重合，均为中心对称图形。

典例4 已知平面直角坐标系第二象限内的点 $ P(x^2 -5x +1, 3) $ 与另一点 $ Q(4x -1, y) $ 关于原点对称，试求 $ x - y $ 的值.
典例解析
典例1
(1) 证明 ∵ $ △ ADP $ 绕点 $ A $ 旋转至 $ △ ABP' $，
∴ 根据旋转的性质可知，$ △ APD ≌ △ AP'B $，
∴ $ AP = AP' $，$ ∠ PAD = ∠ P'AB $.
∵ $ ∠ PAD + ∠ PAB = 90° $，
∴ $ ∠ P'AB + ∠ PAB = 90° $，
即 $ ∠ PAP' = 90° $，
∴ $ △ APP' $ 是等腰直角三角形.
(2) 解 由(1)知 $ ∠ PAP' = 90° $，$ AP = AP' = 1 $，
∴ $ PP' = \sqrt{2} $.
∵ $ P'B = PD = \sqrt{10} $，$ PB = 2\sqrt{2} $，
∴ $ P'B^2 = PP'^2 + PB^2 $，
∴ $ △ BPP' $ 是直角三角形，$ ∠ P'PB = 90° $.
∵ $ △ APP' $ 是等腰直角三角形，
∴ $ ∠ APP' = 45° $，
∴ $ ∠ BPQ = 180° - 90° - 45° = 45° $.
典例2
解 (1) 如图，$ △ A_1B_1C_1 $ 即为所求.
(2) 如图，点 $ F $ 即为所求.

(3) 由勾股定理得，$ AC = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5} $.
∵ $ △ ABC $ 的面积为 $ \frac{1}{2} × (4 + 6) × 6 - \frac{1}{2} × 3 × 4 - \frac{1}{2} × 3 × 6 = 30 - 6 - 9 = 15 $，
∴ $ \frac{1}{2}AC · BF = 15 $，
即 $ \frac{1}{2} × 3\sqrt{5} × BF = 15 $，
∴ $ BF = 2\sqrt{5} $.
典例3
答案 A
解析 选项 B,C,D 中的图形，都能找到一个点，使图形绕该点旋转 $ 180° $ 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，不符合题意.
选项 A 中的图形，不能找到一个点，使图形绕该点旋转 $ 180° $ 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，符合题意.
故选 A.
典例4
解 由题意得，$ x^2 -5x +1 = -(4x -1) $，$ 3 = -y $，
解得 $ x_1 = 0, x_2 = 1, y = -3 $.
∵ 点 $ P $ 在第二象限，
∴ $ x^2 -5x +1 ＜ 0 $，
∴ $ x = 0 $ 不符合题意，
∴ $ x = 1 $，
∴ $ x - y = 1 - (-3) = 4 $.

解：∵点$P$与点$Q$关于原点对称，
∴两点的横、纵坐标均互为相反数，
可得：
$\begin{cases}x^2 - 5x + 1 = -(4x - 1) \\3 = -y\end{cases}$
整理第一个方程得$x^2 - x = 0$，
因式分解得$x(x-1)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=1$，
由$3=-y$得$y=-3$。
∵点$P$在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，
∴$x^2 -5x +1 ＜ 0$。
当$x=0$时，$x^2 -5x +1=1＞0$，不符合条件，舍去；
当$x=1$时，$x^2 -5x +1=-3＜0$，符合题意。
∴$x=1$，
∴$x-y=1 - (-3)=4$。