专题一 旋转的性质
旋转的性质可以用来计算角的度数、线段的长度或图形的面积；旋转的性质还可以用来判断角或线段是否相等，如：(1)根据旋转角相等、对应点与旋转中心的连线相等，可得角或线段相等；(2)根据旋转后的图形与原来图形的形状、大小都相同，可得图形的对应角、对应线段相等.
典例1 如图，P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2√2，PD=√10，△ADP绕点A旋转至△ABP'，连接PP'，延
的度数.

解：
由旋转的性质可得：
$AP' = AP = 1$，$BP' = DP = \sqrt{10}$，$∠ PAP' = 90°$。
$\therefore △ PAP'$为等腰直角三角形，
$\therefore PP' = \sqrt{AP^2 + AP'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，$∠ APP' = 45°$。
在$△ PP'B$中：
$PP'^2 + PB^2 = (\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 2 + 8 = 10$，
$BP'^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$，
$\therefore PP'^2 + PB^2 = BP'^2$，
$\therefore △ PP'B$是直角三角形，$∠ P'PB = 90°$。
$\therefore ∠ BPQ = 180° - ∠ APP' - ∠ P'PB = 180° - 45° - 90° = 45°$。
答：$∠ BPQ$的度数为$45°$。

典例1 如图，P是正方形ABCD内一点，$PA=1$，$PB=2\sqrt{2}$，$PD=\sqrt{10}$，$△ ADP$绕点A旋转至$△ ABP'$，连接$PP'$，延长AP与BC相交于点Q.
(1) 求证：$△ APP'$是等腰直角三角形；
(2) 判断$△ BPP'$的形状，并求$∠ BPQ$

(1) 证明：
∵ $△ ADP$绕点$A$旋转至$△ ABP'$，
∴ $AP' = AP$，$∠ PAP' = ∠ DAB$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $∠ DAB = 90°$，
∴ $∠ PAP' = 90°$，
又$AP' = AP$，
∴ $△ APP'$是等腰直角三角形。
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(2) 解：
$△ BPP'$是直角三角形，推导如下：
由旋转的性质得：$BP' = DP = \sqrt{10}$。
∵ $△ APP'$是等腰直角三角形，$PA=1$，
∴ $PP' = \sqrt{PA^2 + P'A^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，$∠ APP' = 45°$。
在$△ BPP'$中：
$PP'^2 + BP^2 = (\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 2 + 8 = 10$，
$BP'^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$，
∴ $PP'^2 + BP^2 = BP'^2$，
∴ $△ BPP'$是直角三角形，且$∠ P'PB = 90°$。
∵ $∠ APB = ∠ APP' + ∠ P'PB = 45° + 90° = 135°$，
又点$A$、$P$、$Q$共线，
∴ $∠ BPQ = 180° - ∠ APB = 180° - 135° = 45°$。
综上，$△ BPP'$是直角三角形，$∠ BPQ = 45°$。

典例2 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上。
(1)在网格中画出△ABC绕点B顺时针旋转$90°$后得到的$△ A_1B_1C_1$；
(2)在图中过点B作AC的垂线BM交AC于点F；
(3)求BF的长度.

解：
(1) 分别作出点A、C绕点B顺时针旋转90°后的对应点$A_1$、$C_1$，点B旋转后位置不变，顺次连接$A_1$、B、$C_1$，即得到$△ A_1BC_1$。
(2) 利用网格的直角特性，过点B作垂直于AC的直线，交AC于点F，得到垂线BM。
(3) 用割补法计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC} = 4 × 5 - \frac{1}{2} × 2 × 4 - \frac{1}{2} × 2 × 3 - \frac{1}{2} × 2 × 5 = 8$
由勾股定理得AC的长度：
$AC = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$
根据三角形面积公式$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BF$，代入数值：
$8 = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × BF$
解得：
$BF = \frac{8\sqrt{5}}{5}$