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1. 无人机在实际生活中应用广泛. 如图1,小明利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中P处,测得楼CD楼顶D处的俯角为$45°$,测得楼AB楼顶A处的俯角为$60°$. 已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米,楼AB的高度为10米,从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为$30°$(点A,B,C,D,P在同一平面内).
(1)$∠ APD=$
(2)求楼CD的高度(结果保留根号);
(3)求此时无人机距离地面BC的高度.
(1)$∠ APD=$
$75°$
, $∠ ADC=$$60°$
;(2)求楼CD的高度(结果保留根号);
(3)求此时无人机距离地面BC的高度.
答案
1. (1) $75°$，$60°$
(2) 过点A作$AE ⊥ DC$于点E,由题意得:$AE=BC=100$米, $EC=AB=10$. 在$\mathrm{Rt}△ AED$中,$∠ DAE=30°$ $\therefore DE=AE·\tan30°=100×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{100}{3}\sqrt{3}$(米) $\therefore CD=DE+EC=\dfrac{100}{3}\sqrt{3}+10$(米) $\therefore$ 楼$CD$的高度为$(\dfrac{100}{3}\sqrt{3}+10)$米
(3) 作$PG ⊥ BC$于点G,交$AE$于点F,则$∠ PFA=∠ AED=90°$,$FG=AB=10$(米) $\because MN // AE$ $\therefore ∠ PAF=∠ MPA=60°$ $\because ∠ ADE=60°$ $\therefore ∠ PAF=∠ ADE$ $\because ∠ DAE=30°$ $\therefore ∠ PAD=30°$ $\because ∠ APD=75°$ $\therefore ∠ ADP=75°$ $\therefore ∠ ADP=∠ APD$ $\therefore AP=AD$ $\therefore △ APF ≌ △ DAE$ (AAS) $\therefore PF=AE=100$ $\therefore PG=PF+FG=100+10=110$(米) $\therefore$ 无人机距离地面$BC$的高度为110米
解析
【分析】
(1) 求∠APD：过P的水平线MN为平角，减去两个已知俯角即可得∠APD的度数；求∠ADC：在过A作AE垂直CD构造的直角三角形中，利用直角三角形两锐角互余，结合30°仰角即可算出∠ADC的度数。
(2) 求楼CD高度：构造辅助线AE⊥CD后，四边形ABCE为矩形，可得AE=BC、EC=AB，再在Rt△AED中利用30°角的正切值求出DE，CD为DE与EC的和。
(3) 求无人机高度：过P作PG垂直BC交AE于F，先证明△APF与△DAE全等，得到PF等于AE的长度，再加上FG（即AB的高度）即可得到无人机到地面的高度。
【解析】
(1) 已知MN是过点P的水平线，$∠ MPA=60°$，$∠ NPD=45°$，因此$∠ APD=180°-60°-45°=75°$；过A作$AE⊥ CD$于点E，$∠ DAE=30°$，$∠ AED=90°$，因此$∠ ADE=90°-30°=60°$，即$∠ ADC=60°$。
(2) 过点A作$AE ⊥ DC$于点E，由题意得四边形ABCE为矩形，因此$AE=BC=100$米, $EC=AB=10$米。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中,$∠ DAE=30°$，
$\therefore DE=AE·\tan30°=100×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{100}{3}\sqrt{3}$(米)，
$\therefore CD=DE+EC=(\dfrac{100}{3}\sqrt{3}+10)$米。
(3) 作$PG ⊥ BC$于点G,交$AE$于点F，则$∠ PFA=∠ AED=90°$,$FG=AB=10$米。
$\because MN // AE$，$\therefore ∠ PAF=∠ MPA=60°$，
$\because ∠ ADE=60°$，$\therefore ∠ PAF=∠ ADE$，
$\because ∠ DAE=30°$，$\therefore ∠ PAD=60°-30°=30°$，
$\because ∠ APD=75°$，$\therefore ∠ ADP=180°-30°-75°=75°$，
$\therefore ∠ ADP=∠ APD$，$\therefore AP=AD$，
在$△ APF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases} ∠PFA=∠AED \\ ∠PAF=∠ADE \\ AP=DA \end{cases}$
$\therefore △ APF ≌ △ DAE$ (AAS)，
$\therefore PF=AE=100$米，
$\therefore PG=PF+FG=100+10=110$(米)。
【答案】
1. (1) $75°$，$60°$
(2) 楼$CD$的高度为$(\dfrac{100}{3}\sqrt{3}+10)$米
(3) 无人机距离地面$BC$的高度为110米
【知识点】
解直角三角形的应用，仰角俯角的概念，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合无人机测量的实际场景，考查了解直角三角形和全等三角形的综合运用，解题时需合理构造辅助线，将实际测量问题转化为几何计算问题，同时要熟练掌握特殊角的三角函数值和全等三角形的判定条件。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠APD：过P的水平线MN为平角，减去两个已知俯角即可得∠APD的度数；求∠ADC：在过A作AE垂直CD构造的直角三角形中，利用直角三角形两锐角互余，结合30°仰角即可算出∠ADC的度数。
(2) 求楼CD高度：构造辅助线AE⊥CD后，四边形ABCE为矩形，可得AE=BC、EC=AB，再在Rt△AED中利用30°角的正切值求出DE，CD为DE与EC的和。
(3) 求无人机高度：过P作PG垂直BC交AE于F，先证明△APF与△DAE全等，得到PF等于AE的长度，再加上FG（即AB的高度）即可得到无人机到地面的高度。
【解析】
(1) 已知MN是过点P的水平线，$∠ MPA=60°$，$∠ NPD=45°$，因此$∠ APD=180°-60°-45°=75°$；过A作$AE⊥ CD$于点E，$∠ DAE=30°$，$∠ AED=90°$，因此$∠ ADE=90°-30°=60°$，即$∠ ADC=60°$。
(2) 过点A作$AE ⊥ DC$于点E，由题意得四边形ABCE为矩形，因此$AE=BC=100$米, $EC=AB=10$米。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中,$∠ DAE=30°$，
$\therefore DE=AE·\tan30°=100×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{100}{3}\sqrt{3}$(米)，
$\therefore CD=DE+EC=(\dfrac{100}{3}\sqrt{3}+10)$米。
(3) 作$PG ⊥ BC$于点G,交$AE$于点F，则$∠ PFA=∠ AED=90°$,$FG=AB=10$米。
$\because MN // AE$，$\therefore ∠ PAF=∠ MPA=60°$，
$\because ∠ ADE=60°$，$\therefore ∠ PAF=∠ ADE$，
$\because ∠ DAE=30°$，$\therefore ∠ PAD=60°-30°=30°$，
$\because ∠ APD=75°$，$\therefore ∠ ADP=180°-30°-75°=75°$，
$\therefore ∠ ADP=∠ APD$，$\therefore AP=AD$，
在$△ APF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases} ∠PFA=∠AED \\ ∠PAF=∠ADE \\ AP=DA \end{cases}$
$\therefore △ APF ≌ △ DAE$ (AAS)，
$\therefore PF=AE=100$米，
$\therefore PG=PF+FG=100+10=110$(米)。
【答案】
1. (1) $75°$，$60°$
(2) 楼$CD$的高度为$(\dfrac{100}{3}\sqrt{3}+10)$米
(3) 无人机距离地面$BC$的高度为110米
【知识点】
解直角三角形的应用，仰角俯角的概念，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合无人机测量的实际场景，考查了解直角三角形和全等三角形的综合运用，解题时需合理构造辅助线，将实际测量问题转化为几何计算问题，同时要熟练掌握特殊角的三角函数值和全等三角形的判定条件。
【难度系数】
0.6
