2. 如图,一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东$30°$方向上,轮船沿着正北方向航行20海里到达B处,测得灯塔M位于B的北偏东$60°$方向上,测得港口C位于B的北偏东$45°$方向上.已知港口C在灯塔M的正北方向上.
(1)$∠ AMB=$,$∠ BCM=$;
(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号);
(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号).

2. (1) $30°$,$45°$
(2) 过点$M$作$ME ⊥ AB$, 过点$C$作$CF ⊥ AB$,垂足分别为$E$,$F$ $\because ∠ FBM=∠ A+∠ BMA=60°$,$∠ A=30°$ $\therefore ∠ BMA=30°$ $\therefore ∠ BMA=∠ A$ $\therefore BM=BA=20$. 在$\mathrm{Rt}△ BEM$中,$∠ EBM=60°$,$BM=20$ $\therefore \sin60°=\dfrac{EM}{BM}=\dfrac{EM}{20}$, $\cos60°=\dfrac{EB}{BM}=\dfrac{EB}{20}$ $\therefore EM=10\sqrt{3}$,$BE=10$ 答:灯塔$M$到轮船航线$AB$的距离为$10\sqrt{3}$海里
(3) 在$\mathrm{Rt}△ BFC$中,$∠ FBC=45°$,$FC=EM=10\sqrt{3}$ $\therefore ∠ FCB=∠ FBC=45°$ $\therefore FB=FC=10\sqrt{3}$ $\therefore FE=CM=10\sqrt{3}-10$,即港口$C$与灯塔$M$的距离为$(10\sqrt{3}-10)$海里

【分析】
(1) 求角度时，利用三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知的方位角度数即可算出∠AMB；再根据正北方向互相平行、垂直于正北的线段互相平行，结合45°角的直角三角形特征即可得到∠BCM的度数。
(2) 求点到直线的距离，先过M作AB的垂线ME，先由∠AMB=∠A判定△ABM是等腰三角形，得到BM=AB的长度，再在Rt△BEM中用特殊角的三角函数值计算ME的长度即可。
(3) 先根据CM、AB均为正北方向，ME、CF均垂直于AB，判定四边形CFEM是矩形，得到CM=EF、CF=ME，再在Rt△BFC中求出BF的长度，用BF减去BE的长度即可得到CM的长度。
【解析】
(1)
∵∠MBE是△ABM的外角，
∴∠MBE=∠A+∠AMB，已知∠A=30°，∠MBE=60°，
∴∠AMB=60°-30°=30°；
∵港口C在灯塔M的正北方向，AB为正北方向，CF⊥AB，
∴CM//AB，△BFC为直角三角形，又∠FBC=45°，
∴∠BCF=45°，即∠BCM=45°。
(2) 过点M作ME⊥AB，过点C作CF⊥AB，垂足分别为E、F。
由(1)得∠AMB=∠A=30°，
∴BM=BA=20海里。
在Rt△BEM中，∠EBM=60°，BM=20，
∴$\sin60°=\dfrac{EM}{BM}$，即$EM=BM×\sin60°=20×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$（海里）。
(3)
∵CM//AB，CF⊥AB，ME⊥AB，
∴四边形CFEM是矩形，
∴$CF=EM=10\sqrt{3}$海里，$CM=EF$。
在Rt△BFC中，∠FBC=45°，
∴△BFC是等腰直角三角形，$BF=CF=10\sqrt{3}$海里。
在Rt△BEM中，$\cos60°=\dfrac{BE}{BM}$，
∴$BE=BM×\cos60°=20×\dfrac{1}{2}=10$（海里），
∴$CM=EF=BF-BE=10\sqrt{3}-10$（海里）。
【答案】
(1) $30°$,$45°$
(2) 灯塔$M$到轮船航线$AB$的距离为$10\sqrt{3}$海里
(3) 港口$C$与灯塔$M$的距离为$(10\sqrt{3}-10)$海里

【知识点】
方位角应用，解直角三角形，等腰三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是合理作辅助线构造直角三角形，结合几何基本性质将方位角条件转化为三角形内的边长、角度关系，侧重考查实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7