3. 某校数学活动小组测量校园内一棵椰子树的高度,组长李欣带领小组成员开展此项数学实践探究活动,记录如下:
测量校园椰子树高度的活动报告
组长:李欣
时间:2025年12月23日
组员:王勇、叶灵、张莉、蔡浩、符军
活动环节如下
环节一:设计测量方案(小组讨论)
小组成员讨论,画出的测量草图,确定所需的几何量
环节二:准备测量工具并自制测角仪(负责人:叶灵)
1. 工具:量角器、小重物、细绳、皮尺()
2. 测角仪的制作:将一根细线固定在半圆形量角器的圆心处,细线的另一端系一个小重物,制成一个简单的测角仪,利用它可以测量仰角或俯角
环节三:实地测量并记录数据(负责人:蔡浩、王勇、符军、张莉)
1. 实地测量:,组员蔡浩站立于距离椰子树一定水平距离处,将自制测角仪置于眼部水平位置,使视线沿测角仪直径对准椰子树顶端
2. 记录数据:张莉观察测角仪显示数据,测得视线与铅垂线夹角$∠ PAC=143°$;王勇、符军利用皮尺测出蔡浩眼睛到地面的垂直距离$BE=1.53$米,测出蔡浩站立点到椰子树底部的水平距离$ED=15$米
环节四:根据测量数据,求出椰子树$AD$的高度(精确到0.1m,参考数据:$\sin53°\approx0.799,\cos53°\approx0.602,\tan53°\approx1.327$)(负责人:李欣)
请你作为负责人李欣结合,完成求椰子树高度的解答过程

3. $∠ PAC=143°$ $\therefore ∠ ABC=143°-90°=53°$ $\because BE ⊥ ED$,$CD ⊥ DE$,$BC ⊥ AD$ $\therefore ∠ ACB=∠ BED=∠ CDE=90°$ $\therefore$ 四边形$BEDC$是矩形,$BC=DE=15\ \mathrm{m}$,$CD=BE=1.53\ \mathrm{m}$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=BC\tan53°=15×1.327\approx19.91\ \mathrm{m}$ $\therefore AD=AC+CD\approx19.91+1.53\approx21.4\ \mathrm{m}$,即椰子树高度约为$21.4\ \mathrm{m}$

【分析】
这是一道利用解直角三角形测量物体高度的实际应用题，解题思路如下：首先，根据已知的∠PAC=143°，结合铅垂线与水平线垂直的关系，求出直角三角形内锐角的度数；其次，通过三个垂直的条件判定四边形BEDC是矩形，利用矩形对边相等的性质，把已知的水平距离和眼部高度转化为直角三角形的直角边、待求总高度的一部分；最后，在直角三角形ABC中用正切三角函数求出AC的长度，将AC与CD相加即可得到椰子树总高度，再按要求保留近似值。
【解析】
解：
∵$∠ PAC=143°$
∴$∠ ABC=143°-90°=53°$
∵$BE ⊥ ED$，$CD ⊥ DE$，$BC ⊥ AD$
∴$∠ ACB=∠ BED=∠ CDE=90°$
∴四边形$BEDC$是矩形
∴$BC=DE=15\ \mathrm{m}$，$CD=BE=1.53\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=BC\tan53°=15×1.327\approx19.91\ \mathrm{m}$
∴$AD=AC+CD\approx19.91+1.53\approx21.4\ \mathrm{m}$
【答案】
椰子树的高度约为$21.4\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的应用，需要学生将实际问题转化为几何模型，熟练掌握矩形的性质和锐角三角函数的使用方法，解题时要注意结果需按要求取近似值。
【难度系数】
0.7