3. 数学活动课上,老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度. 如图10,老师测得升旗台前斜坡FC的坡度i=1:10,学生小明站在离升旗台水平距离为35 m(即CE=35 m)处的C点,测得旗杆顶端B的仰角为α,已知tanα=$\frac{3}{7}$,升旗台高AF=1 m,小明身高CD=1.6 m,请帮小明计算出旗杆AB的高度.

3. 12.1米

【分析】
首先我们通过作辅助线DG垂直BE于G，构造出直角三角形BDG和矩形DCEG，把求旗杆高度的问题拆解为几个小问题：第一步，利用坡度的定义求出升旗台底部F到地面E的高度FE；第二步，利用仰角α的正切值，在直角三角形BDG中求出BG的长度；第三步，分别算出B点的总高度BE和A点的高度AE，两者的差值就是旗杆AB的高度。
【解析】
过点D作$DG⊥ BE$于点G，则四边形DCEG为矩形，因此：
$DG = CE = 35\ \mathrm{m}$，$EG = CD = 1.6\ \mathrm{m}$
1. 求FE的长度：
已知斜坡FC的坡度$i=1:10$，即$\frac{FE}{CE}=\frac{1}{10}$，代入$CE=35\ \mathrm{m}$得：
$FE = 35×\frac{1}{10}=3.5\ \mathrm{m}$
2. 求BG的长度：
在$\mathrm{Rt}△ BDG$中，$\tanα=\frac{BG}{DG}=\frac{3}{7}$，代入$DG=35\ \mathrm{m}$得：
$BG = 35×\frac{3}{7}=15\ \mathrm{m}$
3. 计算AB的高度：
B点到地面的总高度$BE = BG + EG = 15 + 1.6 = 16.6\ \mathrm{m}$
A点到地面的总高度$AE = AF + FE = 1 + 3.5 = 4.5\ \mathrm{m}$
因此旗杆高度$AB = BE - AE = 16.6 - 4.5 = 12.1\ \mathrm{m}$
【答案】
12.1米
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度的概念；仰角的概念
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题中的数量关系转化为几何图形中线段的长度关系，结合坡度、仰角的相关定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

4. 如图11,在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD,坡角∠CDK=30°,斜坡的顶端C与塔底B的距离CB=8米,小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN=60°,CE=4米,且BC//NE//KD,AB⊥BC(点A,B,C,D,E,K,N在同一平面内).
(1)填空:∠BCD=°,∠AEC=°;
(2)求信号塔的高度AB(结果保留根号).

4. (1)150, 30
(2)如图,延长AB交EN于点F,则EF⊥AF,过点C作CG⊥EF,垂足为G. 则∠CGE=∠AFE=90°,BC//NE//KD,GF=CB,BF=CG,∠CDK=30°
∴∠CEF=∠CDK=30°. 在Rt△CGE中,CE=4,∠CEG=30°
∴CG=2,
EG=2√3

∵CB=8

∴EF=EG+GF=EG+CB=2√3+8. 在Rt△AFE中,
∠AEF=60°
∴AF=EFtan∠AEF=(2√3+8)·tan60°=6+8√3

∴AB=AF-BF=AF-CG=6+8√3-2=
8√3+4

∴信号塔的高度AB为(8√3+4)米

【分析】
(1) 求角度可结合平行线性质推导：已知BC//KD，根据两直线平行同旁内角互补，结合坡角∠CDK=30°即可求出∠BCD；再由NE//KD得∠NED=∠CDK=30°，结合已知∠AEN=60°，利用平角为180°即可算出∠AEC的度数。
(2) 求AB的长度，需构造直角三角形利用三角函数求解：通过延长AB交EN于点F，过点C作CG⊥EF，得到两个直角三角形，利用平行线性质可得线段等量关系GF=CB、BF=CG，先解Rt△CGE求出CG、EG的长度，再解Rt△AFE求出AF的长度，最后通过线段和差AB=AF-BF即可算出AB的高度。
【解析】
(1)
∵BC//KD，∠CDK=30°，
∴∠BCD+∠CDK=180°，
∴∠BCD=180°-30°=150°；
∵NE//KD，
∴∠NED=∠CDK=30°，
又
∵∠AEN=60°，
∴∠AEC=180°-∠AEN-∠NED=180°-60°-30°=30°。
(2) 如图，延长AB交EN于点F，则EF⊥AF，过点C作CG⊥EF，垂足为G。
则∠CGE=∠AFE=90°，
∵BC//NE//KD，
∴GF=CB，BF=CG，∠CEF=∠CDK=30°。
在Rt△CGE中，CE=4，∠CEG=30°，
∴CG=CE·sin30°=4×$\frac{1}{2}$=2，
EG=CE·cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$。
∵CB=8，
∴EF=EG+GF=EG+CB=2$\sqrt{3}$+8。
在Rt△AFE中，∠AEF=60°，
∴AF=EF·tan∠AEF=(2$\sqrt{3}$+8)×tan60°=(2$\sqrt{3}$+8)×$\sqrt{3}$=6+8$\sqrt{3}$。
∴AB=AF-BF=AF-CG=6+8$\sqrt{3}$-2=8$\sqrt{3}$+4。
【答案】
(1) $\boxed{150}$，$\boxed{30}$
(2) 信号塔的高度AB为$\boxed{(8\sqrt{3}+4)}$米

【知识点】
1. 平行线的性质
2. 解直角三角形的应用
3. 仰角与坡角
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，结合了平行线的性质考察几何计算能力，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，将实际问题中的条件转化为几何图形中的边角关系求解，能有效锻炼学生的建模思维和运算能力。
【难度系数】
0.7