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5.图①是一根起点为0且标有单位长度的射线，现将它弯折成如图②所示的图形，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42……依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是（
A.90
B.96
C.150
D.156
D
）。A.90
B.96
C.150
D.156
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先整理出已知的虚线上的点对应的数：从下往上第1个是0，第2个是12，第3个是42。我们可以先计算相邻两个数的差，观察差的变化规律，再根据规律推导出第5个点对应的数。
【解析】
首先列出已知的虚线对应数：
第1个点对应的数：0
第2个点对应的数：12，与第1个数的差为 $12-0=12$
第3个点对应的数：42，与第2个数的差为 $42-12=30$
观察两个差的关系：$30-12=18$，可知相邻两个虚线点的数的差值每次增加18。
由此可得：
第3个点到第4个点的差为 $30+18=48$，第4个点对应的数为 $42+48=90$
第4个点到第5个点的差为 $48+18=66$，第5个点对应的数为 $90+66=156$
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，归纳推理
【点评】
本题重点考查规律探究能力，解题的核心是先找到相邻两个虚线对应数的差的变化规律，再依次推导得到所求数值，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先整理出已知的虚线上的点对应的数：从下往上第1个是0，第2个是12，第3个是42。我们可以先计算相邻两个数的差，观察差的变化规律，再根据规律推导出第5个点对应的数。
【解析】
首先列出已知的虚线对应数：
第1个点对应的数：0
第2个点对应的数：12，与第1个数的差为 $12-0=12$
第3个点对应的数：42，与第2个数的差为 $42-12=30$
观察两个差的关系：$30-12=18$，可知相邻两个虚线点的数的差值每次增加18。
由此可得：
第3个点到第4个点的差为 $30+18=48$，第4个点对应的数为 $42+48=90$
第4个点到第5个点的差为 $48+18=66$，第5个点对应的数为 $90+66=156$
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，归纳推理
【点评】
本题重点考查规律探究能力，解题的核心是先找到相邻两个虚线对应数的差的变化规律，再依次推导得到所求数值，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6
6.【数学文化】《庄子·天下》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”（“尺”是我国传统长度单位）意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，那么$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^n}=$
$\frac{2^n - 1}{2^n}$
。答案
6. $\frac{2^n - 1}{2^n}$
解析
【分析】
本题可采用从特殊到一般的归纳法求解：先分别计算n取1、2、3等较小正整数时式子的结果，再观察不同结果的共同特征，总结出对应任意n的通用表达式即可。
【解析】
我们先计算n为小数值时的结果，寻找规律：
当n=1时，原式=$\frac{1}{2}=\frac{2^1 - 1}{2^1}$；
当n=2时，原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{2^2 - 1}{2^2}$；
当n=3时，原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=\frac{2^3 - 1}{2^3}$；
当n=4时，原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=\frac{2^4 - 1}{2^4}$；
观察上述结果可发现规律：和的分母为$2^n$，分子为分母减1即$2^n-1$，因此归纳可得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n - 1}{2^n}$
【答案】
$\frac{2^n - 1}{2^n}$
【知识点】
归纳推理，有理数运算，规律探究
【点评】
本题结合传统数学文化设置问题，既传递了我国古代的数学思想，又考查了归纳探究的核心思维能力，需要学生通过计算特殊情况的结果总结通用规律，兼具趣味性与知识性。
【难度系数】
0.7
本题可采用从特殊到一般的归纳法求解：先分别计算n取1、2、3等较小正整数时式子的结果，再观察不同结果的共同特征，总结出对应任意n的通用表达式即可。
【解析】
我们先计算n为小数值时的结果，寻找规律：
当n=1时，原式=$\frac{1}{2}=\frac{2^1 - 1}{2^1}$；
当n=2时，原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{2^2 - 1}{2^2}$；
当n=3时，原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=\frac{2^3 - 1}{2^3}$；
当n=4时，原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=\frac{2^4 - 1}{2^4}$；
观察上述结果可发现规律：和的分母为$2^n$，分子为分母减1即$2^n-1$，因此归纳可得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n - 1}{2^n}$
【答案】
$\frac{2^n - 1}{2^n}$
【知识点】
归纳推理，有理数运算，规律探究
【点评】
本题结合传统数学文化设置问题，既传递了我国古代的数学思想，又考查了归纳探究的核心思维能力，需要学生通过计算特殊情况的结果总结通用规律，兼具趣味性与知识性。
【难度系数】
0.7
7.【综合与实践】阶梯的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5,－2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等。
尝试
(1)求前4个台阶上的数的和；
(2)求第5个台阶上的数。
应用
(3)求从下到上前31个台阶上的数的和。
发现
(4)试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在台阶数。
尝试
(1)求前4个台阶上的数的和；
(2)求第5个台阶上的数。
应用
(3)求从下到上前31个台阶上的数的和。
发现
(4)试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在台阶数。
答案
7. 解:(1)$-5-2+1+9=3$。
(2)设第5个台阶上的数为$x$。由题意,得$-2+1+9+x=3$,解得$x=-5$。
(3)每4个相邻台阶上的数的和为3,前31个台阶上的数的和为$7×3+(-5-2+1)=15$。
(4)发现“1”出现在每组4个数的第3个,也就是第3、第7、第11、第……个台阶上,且$3=4×1-1,7=4×2-1,11=4×3-1,\dots$,所以“1”出现的台阶数为$4k-1$($k$为正整数)。
(2)设第5个台阶上的数为$x$。由题意,得$-2+1+9+x=3$,解得$x=-5$。
(3)每4个相邻台阶上的数的和为3,前31个台阶上的数的和为$7×3+(-5-2+1)=15$。
(4)发现“1”出现在每组4个数的第3个,也就是第3、第7、第11、第……个台阶上,且$3=4×1-1,7=4×2-1,11=4×3-1,\dots$,所以“1”出现的台阶数为$4k-1$($k$为正整数)。
解析
【分析】
（1）第一问直接将前4个台阶标注的数相加即可求出和；
（2）根据“任意相邻四个台阶上数的和都相等”的条件，可知第2到第5个台阶的数的和等于前4个台阶的和，据此列一元一次方程即可求解第5个台阶的数；
（3）通过计算可发现台阶上的数每4个为一个循环，每个循环的和固定为3，先计算31里包含多少个完整的循环，再加上余下几个数的和，即可求出前31个台阶的数的总和；
（4）先列举出“1”所在的前几个台阶数，观察数字变化规律，归纳出通用的含k的表达式即可。
【解析】
(1) 计算前4个台阶数字的和：
$-5 + (-2) + 1 + 9 = 3$
(2) 设第5个台阶上的数为$x$，由相邻四个台阶数的和相等可得：
$-2 + 1 + 9 + x = 3$
化简得$8 + x = 3$，解得$x = -5$
(3) 由题意可知台阶上的数每4个为一个循环周期，每个周期的和为3，
计算得$31 ÷ 4 = 7······3$，即31个台阶包含7个完整周期，余下3个台阶对应循环的前3个数：-5、-2、1
则前31个台阶的数的和为：$7×3 + (-5 -2 +1) = 21 - 6 = 15$
(4) 观察可知“1”首次出现在第3个台阶，之后每4个台阶出现一次，即出现位置依次为3、7、11……，
归纳可得“1”所在的台阶数为$4k -1$（k为正整数）
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-5}$；(3) $\boxed{15}$；(4) $\boxed{4k-1}$（k为正整数）
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，有理数加减运算
【点评】
本题以阶梯标数为生活背景，考查逻辑推理与规律归纳能力，解题的核心是抓住“相邻四个数的和相等”推导出数字的循环规律，注重对基础运算和归纳思维的考查，解题时注意余数对应的是循环的前几个数，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问直接将前4个台阶标注的数相加即可求出和；
（2）根据“任意相邻四个台阶上数的和都相等”的条件，可知第2到第5个台阶的数的和等于前4个台阶的和，据此列一元一次方程即可求解第5个台阶的数；
（3）通过计算可发现台阶上的数每4个为一个循环，每个循环的和固定为3，先计算31里包含多少个完整的循环，再加上余下几个数的和，即可求出前31个台阶的数的总和；
（4）先列举出“1”所在的前几个台阶数，观察数字变化规律，归纳出通用的含k的表达式即可。
【解析】
(1) 计算前4个台阶数字的和：
$-5 + (-2) + 1 + 9 = 3$
(2) 设第5个台阶上的数为$x$，由相邻四个台阶数的和相等可得：
$-2 + 1 + 9 + x = 3$
化简得$8 + x = 3$，解得$x = -5$
(3) 由题意可知台阶上的数每4个为一个循环周期，每个周期的和为3，
计算得$31 ÷ 4 = 7······3$，即31个台阶包含7个完整周期，余下3个台阶对应循环的前3个数：-5、-2、1
则前31个台阶的数的和为：$7×3 + (-5 -2 +1) = 21 - 6 = 15$
(4) 观察可知“1”首次出现在第3个台阶，之后每4个台阶出现一次，即出现位置依次为3、7、11……，
归纳可得“1”所在的台阶数为$4k -1$（k为正整数）
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-5}$；(3) $\boxed{15}$；(4) $\boxed{4k-1}$（k为正整数）
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，有理数加减运算
【点评】
本题以阶梯标数为生活背景，考查逻辑推理与规律归纳能力，解题的核心是抓住“相邻四个数的和相等”推导出数字的循环规律，注重对基础运算和归纳思维的考查，解题时注意余数对应的是循环的前几个数，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
8.【跨学科】观察下面三种化合物的结构式及分子式，如果按其规律，那么下一种化合物的分子式应该是
$C_4H_{10}$
。答案
8. $C_4H_{10}$
解析
【分析】
我们可以用数学找规律的方法解题，分两步观察：第一步先观察每种化合物里C原子的数量，第一个是1，第二个是2，第三个是3，每次都比前一个多1，就能推出下一个化合物的C原子数量；第二步观察H原子的数量，第一个是4，第二个是6，第三个是8，每次都比前一个多2，就能推出下一个化合物的H原子数量，组合起来就是下一种化合物的分子式。
【解析】
解：观察已知的三种化合物分子式：
1. 第1种：C原子个数为1，H原子个数为4，分子式为$\ce{CH_{4}}$
2. 第2种：C原子个数为2，H原子个数为6，分子式为$\ce{C_{2}H_{6}}$
3. 第3种：C原子个数为3，H原子个数为8，分子式为$\ce{C_{3}H_{8}}$
可得规律：
① C原子个数：依次加1，因此第4种化合物的C原子个数为$3+1=4$；
② H原子个数：依次加2，因此第4种化合物的H原子个数为$8+2=10$。
组合后得到下一种化合物的分子式为$\ce{C_{4}H_{10}}$。
【答案】
$\ce{C_{4}H_{10}}$
【知识点】
数字规律探究，归纳推理
【点评】
本题结合化合物分子式考查规律探究能力，只需分别统计两类原子的数量变化规律即可推导结果，侧重考查观察和归纳能力。
【难度系数】
0.8
我们可以用数学找规律的方法解题，分两步观察：第一步先观察每种化合物里C原子的数量，第一个是1，第二个是2，第三个是3，每次都比前一个多1，就能推出下一个化合物的C原子数量；第二步观察H原子的数量，第一个是4，第二个是6，第三个是8，每次都比前一个多2，就能推出下一个化合物的H原子数量，组合起来就是下一种化合物的分子式。
【解析】
解：观察已知的三种化合物分子式：
1. 第1种：C原子个数为1，H原子个数为4，分子式为$\ce{CH_{4}}$
2. 第2种：C原子个数为2，H原子个数为6，分子式为$\ce{C_{2}H_{6}}$
3. 第3种：C原子个数为3，H原子个数为8，分子式为$\ce{C_{3}H_{8}}$
可得规律：
① C原子个数：依次加1，因此第4种化合物的C原子个数为$3+1=4$；
② H原子个数：依次加2，因此第4种化合物的H原子个数为$8+2=10$。
组合后得到下一种化合物的分子式为$\ce{C_{4}H_{10}}$。
【答案】
$\ce{C_{4}H_{10}}$
【知识点】
数字规律探究，归纳推理
【点评】
本题结合化合物分子式考查规律探究能力，只需分别统计两类原子的数量变化规律即可推导结果，侧重考查观察和归纳能力。
【难度系数】
0.8
