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1.(2025·山东)某班学生到山东博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品,每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等,则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
A
）A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
1.A
解析
【分析】
这是一道典型的两步等可能事件的概率计算题，解题思路如下：第一步，先明确两名同学抽取文创是互不影响的独立事件，每人都有3种等可能的选择；第二步，我们可以用列表法或树状图法列举出所有等可能的抽取结果，再从中筛选出甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果数；第三步，根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，代入计算即可得到答案。也可以利用分步计数的思路，分别计算甲、乙各自抽到“亚醜钺”的概率，再将两个概率相乘得到同时发生的概率。
【解析】
我们将三款文创产品分别记为：A（亚醜钺）、B（蛋壳黑陶杯）、C（颂簋）。
用列表法列举所有等可能的结果：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表格可知，总共有9种等可能的抽取结果，其中甲、乙同时抽到“亚醜钺”（即结果为(A,A)）的情况只有1种。
根据概率计算公式可得，所求概率为$\frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是准确统计总等可能结果数和符合要求的结果数，掌握列表或树状图法列举结果可以有效避免漏算、错算，也可结合分步概率的思路快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的两步等可能事件的概率计算题，解题思路如下：第一步，先明确两名同学抽取文创是互不影响的独立事件，每人都有3种等可能的选择；第二步，我们可以用列表法或树状图法列举出所有等可能的抽取结果，再从中筛选出甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果数；第三步，根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，代入计算即可得到答案。也可以利用分步计数的思路，分别计算甲、乙各自抽到“亚醜钺”的概率，再将两个概率相乘得到同时发生的概率。
【解析】
我们将三款文创产品分别记为：A（亚醜钺）、B（蛋壳黑陶杯）、C（颂簋）。
用列表法列举所有等可能的结果：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表格可知，总共有9种等可能的抽取结果，其中甲、乙同时抽到“亚醜钺”（即结果为(A,A)）的情况只有1种。
根据概率计算公式可得，所求概率为$\frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是准确统计总等可能结果数和符合要求的结果数，掌握列表或树状图法列举结果可以有效避免漏算、错算，也可结合分步概率的思路快速求解。
【难度系数】
0.8
2.(2025·济南)某学校食堂准备了A,B,C,D四种营养套餐,如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐,那么他们恰好选到同一种营养套餐的概率是 (
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A
)A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：第一步确定两人选择套餐的所有等可能结果总数，第二步统计出两人恰好选到同一种套餐的结果数，最后根据“概率=所求事件包含的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可。也可简化思考：小明先任选一种套餐，小亮只需选到和小明相同的那1种即可，结合小亮的总选择数直接计算概率。
【解析】
解法1：分步计数法
① 小明选套餐有4种等可能的选择，对应小明的每一种选择，小亮也有4种等可能的选择，因此两人选套餐的所有等可能结果总数为 $4×4=16$ 种。
② 两人恰好选到同一种套餐的情况有：都选A、都选B、都选C、都选D，共4种结果。
③ 根据概率公式，所求概率 $P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
解法2：简化思路
小明可任意选择一种套餐，此时小亮要和小明选到同一种套餐，只有1种符合要求的选择，而小亮共有4种等可能的选择，因此所求概率为 $\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算，列表/树状图法求概率
【点评】
本题是概率基础常考题，核心是明确等可能事件的概率计算逻辑，既可以通过枚举所有结果求解，也可以通过分步分析简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：第一步确定两人选择套餐的所有等可能结果总数，第二步统计出两人恰好选到同一种套餐的结果数，最后根据“概率=所求事件包含的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可。也可简化思考：小明先任选一种套餐，小亮只需选到和小明相同的那1种即可，结合小亮的总选择数直接计算概率。
【解析】
解法1：分步计数法
① 小明选套餐有4种等可能的选择，对应小明的每一种选择，小亮也有4种等可能的选择，因此两人选套餐的所有等可能结果总数为 $4×4=16$ 种。
② 两人恰好选到同一种套餐的情况有：都选A、都选B、都选C、都选D，共4种结果。
③ 根据概率公式，所求概率 $P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
解法2：简化思路
小明可任意选择一种套餐，此时小亮要和小明选到同一种套餐，只有1种符合要求的选择，而小亮共有4种等可能的选择，因此所求概率为 $\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算，列表/树状图法求概率
【点评】
本题是概率基础常考题，核心是明确等可能事件的概率计算逻辑，既可以通过枚举所有结果求解，也可以通过分步分析简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
3. A教材经典素材·石头剪刀布 若小红、小明在玩“石头、剪刀、布”游戏，小红给自己一个规定：一直不出“石头”.若小红、小明获胜的概率分别是$P_1,P_2$，则下列结论正确的是（
A.$P_1≤ P_2$
B.$P_1＞ P_2$
C.$P_1＜ P_2$
D.$P_1= P_2$
D
）A.$P_1≤ P_2$
B.$P_1＞ P_2$
C.$P_1＜ P_2$
D.$P_1= P_2$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确两人的出法范围：小红只能出剪刀、布2种，小明可以出石头、剪刀、布3种，所有出法都是等可能的；接下来用列表法列举出所有等可能的结果，再分别找出小红获胜、小明获胜的结果数，最后根据概率公式$P=\frac{\mathrm{所求事件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$计算两人获胜的概率，比较大小即可。
【解析】
根据题意，小红的出法有2种：剪刀、布；小明的出法有3种：石头、剪刀、布，所有等可能的结果共有$2×3=6$种，列举所有情况的胜负结果：
1. 小红出剪刀，小明出石头：小明胜
2. 小红出剪刀，小明出剪刀：平局
3. 小红出剪刀，小明出布：小红胜
4. 小红出布，小明出石头：小红胜
5. 小红出布，小明出剪刀：小明胜
6. 小红出布，小明出布：平局
其中小红获胜的结果有2种，因此$P_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；
小明获胜的结果有2种，因此$P_2=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；
所以$P_1=P_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式，列表法求概率
【点评】
本题结合生活中常见的石头剪刀布游戏考查概率的计算，解题的核心是准确列举所有等可能的结果，注意不要漏算平局的情况，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确两人的出法范围：小红只能出剪刀、布2种，小明可以出石头、剪刀、布3种，所有出法都是等可能的；接下来用列表法列举出所有等可能的结果，再分别找出小红获胜、小明获胜的结果数，最后根据概率公式$P=\frac{\mathrm{所求事件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$计算两人获胜的概率，比较大小即可。
【解析】
根据题意，小红的出法有2种：剪刀、布；小明的出法有3种：石头、剪刀、布，所有等可能的结果共有$2×3=6$种，列举所有情况的胜负结果：
1. 小红出剪刀，小明出石头：小明胜
2. 小红出剪刀，小明出剪刀：平局
3. 小红出剪刀，小明出布：小红胜
4. 小红出布，小明出石头：小红胜
5. 小红出布，小明出剪刀：小明胜
6. 小红出布，小明出布：平局
其中小红获胜的结果有2种，因此$P_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；
小明获胜的结果有2种，因此$P_2=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；
所以$P_1=P_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式，列表法求概率
【点评】
本题结合生活中常见的石头剪刀布游戏考查概率的计算，解题的核心是准确列举所有等可能的结果，注意不要漏算平局的情况，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
4.(2025·浙江)现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片,其中标有数字1,4,5的卡片在甲手中,标有数字2,3,6的卡片在乙手中.若两人各随机出一张卡片,则甲出的卡片数字比乙大的概率是
$\frac{4}{9}$
.答案
4.$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰：首先确定两人各出1张卡片的所有等可能总情况数，再逐一筛选出甲的卡片数字大于乙的符合条件的情况数，最后根据概率公式（概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数）计算即可得到结果。
【解析】
甲有3张分别标有1、4、5的卡片，乙有3张分别标有2、3、6的卡片，两人各随机出1张，所有等可能的总情况数为$3×3=9$种，分别为：(甲1,乙2)、(甲1,乙3)、(甲1,乙6)、(甲4,乙2)、(甲4,乙3)、(甲4,乙6)、(甲5,乙2)、(甲5,乙3)、(甲5,乙6)。
逐个判断甲的数字是否大于乙：
1. 甲出1时：1＜2、1＜3、1＜6，无符合条件的情况；
2. 甲出4时：4＞2、4＞3、4＜6，共2种符合条件的情况；
3. 甲出5时：5＞2、5＞3、5＜6，共2种符合条件的情况。
因此符合条件的情况共有$0+2+2=4$种。
根据概率计算公式，所求概率$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式应用
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查学生对列举法的掌握，解题时只要做到不重复、不遗漏地列举所有情况，就能准确算出结果，属于常考的基础类题目。
【难度系数】
0.8
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰：首先确定两人各出1张卡片的所有等可能总情况数，再逐一筛选出甲的卡片数字大于乙的符合条件的情况数，最后根据概率公式（概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数）计算即可得到结果。
【解析】
甲有3张分别标有1、4、5的卡片，乙有3张分别标有2、3、6的卡片，两人各随机出1张，所有等可能的总情况数为$3×3=9$种，分别为：(甲1,乙2)、(甲1,乙3)、(甲1,乙6)、(甲4,乙2)、(甲4,乙3)、(甲4,乙6)、(甲5,乙2)、(甲5,乙3)、(甲5,乙6)。
逐个判断甲的数字是否大于乙：
1. 甲出1时：1＜2、1＜3、1＜6，无符合条件的情况；
2. 甲出4时：4＞2、4＞3、4＜6，共2种符合条件的情况；
3. 甲出5时：5＞2、5＞3、5＜6，共2种符合条件的情况。
因此符合条件的情况共有$0+2+2=4$种。
根据概率计算公式，所求概率$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式应用
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查学生对列举法的掌握，解题时只要做到不重复、不遗漏地列举所有情况，就能准确算出结果，属于常考的基础类题目。
【难度系数】
0.8
5. A教材经典素材·基因问题 人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的.研究表明:决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因(记为B)，另一种是隐性基因(记为b)；一个人的基因总是成对出现(如BB,bB,Bb,bb)，在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母提供基因时均为随机的.只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮，即基因BB,bB,Bb均为双眼皮.现有一对夫妻，两人的基因组成都是Bb，若不考虑其他因素，用画树状图或列表的方法求他们的孩子是单眼皮的概率.
答案
5. 解:列表略.共有4种等可能的结果,其中是单眼皮的结果有1种(基因为bb),
∴他们的孩子是单眼皮的概率是$\frac{1}{4}$.
∴他们的孩子是单眼皮的概率是$\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
解题时首先明确题目的前提：父母基因均为Bb，因此父亲、母亲各自都能提供B、b两种基因，且两种基因出现的可能性相等。我们可以通过列表法列举出孩子基因的所有等可能组合，再结合“只有基因为bb时是单眼皮”的规则，筛选出符合要求的结果，最后用概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可得到答案。
【解析】
解：用列表法列举父母提供基因的所有组合如下：
| 父亲提供基因\母亲提供基因 | B | b |
| ---- | ---- | ---- |
| B | BB | Bb |
| b | bB | bb |
由列表可得，共有4种等可能的基因组合结果，其中孩子为单眼皮（基因为bb）的结果有1种，
因此他们的孩子是单眼皮的概率$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题结合基因遗传的生活情境考查概率计算，解题核心是准确列举所有等可能的组合，同时正确匹配单眼皮对应的基因条件，属于概率基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目的前提：父母基因均为Bb，因此父亲、母亲各自都能提供B、b两种基因，且两种基因出现的可能性相等。我们可以通过列表法列举出孩子基因的所有等可能组合，再结合“只有基因为bb时是单眼皮”的规则，筛选出符合要求的结果，最后用概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可得到答案。
【解析】
解：用列表法列举父母提供基因的所有组合如下：
| 父亲提供基因\母亲提供基因 | B | b |
| ---- | ---- | ---- |
| B | BB | Bb |
| b | bB | bb |
由列表可得，共有4种等可能的基因组合结果，其中孩子为单眼皮（基因为bb）的结果有1种，
因此他们的孩子是单眼皮的概率$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题结合基因遗传的生活情境考查概率计算，解题核心是准确列举所有等可能的组合，同时正确匹配单眼皮对应的基因条件，属于概率基础应用题。
【难度系数】
0.8
6.(2025·甘肃)如图所示的是一个可以自由转动的转盘,转盘被等分成3个扇形,分别涂有“红、白、蓝”三种颜色,转盘指针固定.转动转盘,等转盘停止转动后,观察指针所落区域的颜色.若指针落在区域分界线上,则重新转动转盘.
(1)任意转动转盘一次,指针落在红色区域的概率为
(2)任意转动转盘两次(第一次转动转盘,等转盘停止转动后,再第二次转动转盘),用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率.
(1)任意转动转盘一次,指针落在红色区域的概率为
$\frac{1}{3}$
.(2)任意转动转盘两次(第一次转动转盘,等转盘停止转动后,再第二次转动转盘),用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率.
答案
6. 解:(1)$\frac{1}{3}$ (2)画树状图略.一共有9种等可能的结果,其中指针所落区域颜色不同的结果有6种,
∴指针所落区域颜色不同的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
∴指针所落区域颜色不同的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
(1) 首先明确转盘被等分成3个面积相等的扇形，转动转盘时指针落在每个区域的可能性相等，属于等可能事件，根据概率公式，指针落在红色区域的概率等于红色区域的份数除以总份数，直接计算即可。
(2) 转动两次转盘属于两步独立的等可能试验，我们可以通过列表或者画树状图的方式，列举出两次转动所有可能出现的等可能结果，再从中筛选出两次指针所落区域颜色不同的结果数，最后根据概率公式计算对应的概率即可，题目说明指针落在分界线时重转，因此无需考虑边界情况，所有列举结果均有效。
【解析】
(1) 已知转盘被等分成3个扇形，分别对应红、白、蓝3种颜色，转动转盘共出现3种等可能的结果，其中指针落在红色区域的结果有1种，
因此指针落在红色区域的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 用列表法列举所有等可能的结果如下：
|第一次\第二次|红|白|蓝|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|红|（红，红）|（红，白）|（红，蓝）|
|白|（白，红）|（白，白）|（白，蓝）|
|蓝|（蓝，红）|（蓝，白）|（蓝，蓝）|
由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两次指针所落区域颜色不同的结果有6种，
因此指针所落区域颜色不同的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率，树状图法求概率
【点评】
本题是概率的常规基础题，第一问考查单一事件的概率计算，理解等可能事件概率的计算逻辑即可快速求解；第二问考查两步试验的概率求解，核心是掌握用列表或树状图不重不漏地列举所有等可能结果的方法，再筛选符合条件的结果计算概率即可。
【难度系数】
0.8
(1) 首先明确转盘被等分成3个面积相等的扇形，转动转盘时指针落在每个区域的可能性相等，属于等可能事件，根据概率公式，指针落在红色区域的概率等于红色区域的份数除以总份数，直接计算即可。
(2) 转动两次转盘属于两步独立的等可能试验，我们可以通过列表或者画树状图的方式，列举出两次转动所有可能出现的等可能结果，再从中筛选出两次指针所落区域颜色不同的结果数，最后根据概率公式计算对应的概率即可，题目说明指针落在分界线时重转，因此无需考虑边界情况，所有列举结果均有效。
【解析】
(1) 已知转盘被等分成3个扇形，分别对应红、白、蓝3种颜色，转动转盘共出现3种等可能的结果，其中指针落在红色区域的结果有1种，
因此指针落在红色区域的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 用列表法列举所有等可能的结果如下：
|第一次\第二次|红|白|蓝|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|红|（红，红）|（红，白）|（红，蓝）|
|白|（白，红）|（白，白）|（白，蓝）|
|蓝|（蓝，红）|（蓝，白）|（蓝，蓝）|
由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两次指针所落区域颜色不同的结果有6种，
因此指针所落区域颜色不同的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率，树状图法求概率
【点评】
本题是概率的常规基础题，第一问考查单一事件的概率计算，理解等可能事件概率的计算逻辑即可快速求解；第二问考查两步试验的概率求解，核心是掌握用列表或树状图不重不漏地列举所有等可能结果的方法，再筛选符合条件的结果计算概率即可。
【难度系数】
0.8
