2026年同步练习上海科学技术出版社八年级数学上册沪科版第38页答案
一、选择题
1. 直线$ l_1: y = k_1x + b $与直线$ l_2: y = k_2x + c $的图象如图所示,且直线$ l_1, l_2 $交于点$ (1, -2) $,则关于$ x $的不等式$ k_1x + b < k_2x + c $的解集为(
B
).


A.$ x > 1 $
B.$ x < 1 $
C.$ x > -2 $
D.$ x < -2 $

答案

1. B

解析

【分析】
本题可结合一次函数图象的几何意义求解,无需计算函数解析式。第一步,理解不等式的含义:不等式$k_1x + b < k_2x + c$表示直线$l_1$的函数值小于直线$l_2$的函数值,对应图象上就是直线$l_1$位于直线$l_2$下方的区域。第二步,确定分界点:两条直线的交点$(1,-2)$是两个函数值相等的位置,$x=1$是函数值大小变化的分界点。第三步,判断解集范围:观察图象可知,在交点左侧即$x<1$时,$l_1$的图象在$l_2$下方,满足不等式,即可得到解集。
【解析】
不等式$k_1x + b < k_2x + c$的几何意义是:直线$l_1$的函数值小于直线$l_2$的函数值,对应图象为直线$l_1$位于直线$l_2$下方的部分。
已知直线$l_1$与$l_2$的交点坐标为$(1,-2)$,在$x=1$处两个函数的函数值相等,是大小变化的分界点。
结合图象可得:当$x < 1$时,直线$l_1$位于直线$l_2$下方,满足$k_1x + b < k_2x + c$,因此不等式的解集为$x < 1$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与不等式,一次函数图象,一次函数交点意义
【点评】
本题是一次函数与一元一次不等式结合的基础题型,核心是理解不等式对应的图象几何意义,利用数形结合的思想可以快速求解,避免了复杂的计算,是该部分的常考题型。
【难度系数】
0.75
2. 如图,OA 和 BA 分别表示甲、乙两名学生跑步的路程与时间的一次函数的图象,图中 s 和 t 分别表示路程(单位:m)和时间(单位:s),根据图象,若甲、乙两人同时跑 210 m,快者比慢者少用(
C
)。

A.4 s
B.5 s
C.7 s
D.3 s

答案

2. C

解析

【分析】
这是一道结合一次函数图象的行程问题,解题思路清晰明了:第一步,从一次函数图象中提取甲、乙两人跑步的路程与对应时间的有效信息,分别计算两人的跑步速度;第二步,根据行程问题基本公式“时间=路程÷速度”,分别计算两人跑210m各自需要的总时间;第三步,用慢者的总时间减去快者的总时间,就能得到所求的时间差。
【解析】
从图象可知:甲的路程-时间图象过原点,跑120m用时20s,因此甲的速度为:
$v_甲=\frac{120m}{20s}=6m/s$
乙初始领先20m,20s时和甲路程相同,因此20s内乙跑的路程为$120m-20m=100m$,乙的速度为:
$v_乙=\frac{100m}{20s}=5m/s$
分别计算两人跑210m的用时:
甲需要的时间$t_甲=\frac{210m}{6m/s}=35s$
乙需要的时间$t_乙=\frac{210m}{5m/s}=42s$
快者比慢者少用的时间为$42s-35s=7s$
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象、行程问题计算
【点评】
本题侧重考查一次函数图象的信息提取能力,需要结合行程问题的基本公式运算,解题核心是准确从图象中找到对应路程和时间计算两人的速度。
【难度系数】
0.7
3. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着缓慢的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用$s_1$,$s_2$分别表示乌龟和兔子所行路程,$t$表示时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是( ).

答案

D

解析

【分析】
解题首先要明确路程-时间(s-t)图像的含义:横坐标表示时间,纵坐标表示路程,倾斜直线表示匀速运动,水平线段表示路程不随时间变化(静止)。结合“龟兔赛跑”的情节,我们可以先梳理两个对象的运动特征:①乌龟(s₁)始终匀速前进,所以它的图像是过原点的倾斜直线,且先到达终点(先达到最大路程值);②兔子(s₂)的运动分为三个阶段:快速奔跑(图像为斜率大于s₁的倾斜线段)、睡觉静止(图像为水平线段)、追赶奔跑(图像为斜率大于s₁的倾斜线段),最终兔子晚于乌龟到达终点,且两者最终路程都等于总路程(最大s相同)。按照这些特征逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
我们结合运动特征逐一分析选项:
1. 分析乌龟的运动:s₁是从原点出发的倾斜直线,最终先到达最大路程(终点),且总路程和兔子最终路程相等。
2. 分析兔子的运动:s₂应呈现“倾斜上升-水平-倾斜上升”的三段特征,最终到达最大路程的时间晚于乌龟。
A选项:兔子的s₂最后一段路程下降,不符合实际运动中路程不会减少的规律,排除;
B选项:兔子最终的路程小于乌龟的路程,不符合兔子最终也到达终点的设定,排除;
C选项:乌龟和兔子同时到达终点,不符合“乌龟先到达终点”的故事情节,排除;
D选项:s₁为匀速倾斜直线且先到达最大路程,s₂符合“奔跑-睡觉-追赶”的三段特征,且最终路程与乌龟相等、到达时间更晚,完全符合故事情节。
【答案】
D
【知识点】
s-t图像分析,分段函数应用,匀速运动图像特征
【点评】
本题结合经典故事考查函数图像的实际应用,解题的核心是将实际运动过程转化为图像的分段特征,抓住“乌龟先到终点”“兔子运动分三个阶段”“总路程相同”三个关键信息即可快速判断,题目趣味性强,注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
4. 直线 $ y = kx + b $ 经过点 $ A(-1, -2) $ 和点 $ B(-2, 0) $,则关于 $ x $ 的不等式组 $ 2x < kx + b < 0 $ 的解集为
$-2<x<-1$
。
距离/m
1500
1200
学校

答案

4. $-2<x<-1$

解析

【分析】
解题思路可分为两步:第一步先利用待定系数法,将已知的两个点A、B的坐标代入一次函数解析式,求出k和b的值,确定直线的表达式;第二步将k、b代入不等式组,分别求解两个一元一次不等式,最后取两个解集的公共部分即为所求。也可结合一次函数图像的性质,通过判断函数值的范围对应x的取值,快速得到解集。
【解析】
首先用待定系数法求直线$y=kx+b$的解析式:
将点$A(-1,-2)$、$B(-2,0)$分别代入$y=kx+b$,可得方程组:
$\begin{cases} -k + b = -2 \\ -2k + b = 0 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程,得:$k=-2$
将$k=-2$代入$-2k + b = 0$,得:$4 + b = 0$,解得$b=-4$
所以直线解析式为$y=-2x-4$
将解析式代入不等式组$2x < kx + b < 0$,得:
$2x < -2x -4 < 0$
拆分为两个不等式分别求解:
1. 解$2x < -2x -4$:
移项得$2x + 2x < -4$,即$4x < -4$,解得$x < -1$
2. 解$-2x -4 < 0$:
移项得$-2x < 4$,两边同时除以$-2$,不等号方向改变,解得$x > -2$
取两个解集的公共部分,得$-2 < x < -1$
【答案】
$-2<x<-1$
【知识点】
待定系数法求解析式,一次函数与不等式,一元一次不等式组解法
【点评】
本题将一次函数与不等式组结合考查,既可以通过代数计算求解,也可以通过函数图像的几何意义快速判断,熟练掌握一次函数的性质和不等式的解法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 已知一个一次函数,当$-1≤ x≤ 2$时,$3≤ y≤ 6$,则此一次函数的表达式为
$y=x+4$ 或 $y=-x+5$
。

答案

5. $y=x+4$ 或 $y=-x+5$

解析

【分析】
一次函数具有单调性,要么随x的增大而增大,要么随x的增大而减小。我们先设一次函数的解析式为$y=kx+b(k≠0)$,再分$k>0$(函数递增)和$k<0$(函数递减)两种情况,将x和y的对应端点值代入解析式,得到关于k、b的二元一次方程组,解方程组求出k和b的值,就能得到函数表达式。
【解析】
设该一次函数的表达式为$y=kx+b(k\ne 0)$。
① 当$k>0$时,y随x的增大而增大,结合$-1\le x\le 2$时$3\le y\le 6$可得:$x=-1$时$y=3$,$x=2$时$y=6$。
代入解析式得方程组:
$\{\begin{array}{l}-k+b=3\\ 2k+b=6\end{array} $
第二个方程减第一个方程得$3k=3$,解得$k=1$;将$k=1$代入$-k+b=3$,解得$b=4$,此时函数表达式为$y=x+4$。
② 当$k<0$时,y随x的增大而减小,结合$-1\le x\le 2$时$3\le y\le 6$可得:$x=-1$时$y=6$,$x=2$时$y=3$。
代入解析式得方程组:
$\{\begin{array}{l}-k+b=6\\ 2k+b=3\end{array} $
第二个方程减第一个方程得$3k=-3$,解得$k=-1$;将$k=-1$代入$-k+b=6$,解得$b=5$,此时函数表达式为$y=-x+5$。
【答案】
$y=x+4$ 或 $y=-x+5$
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查一次函数单调性和待定系数法的应用,解题核心是根据k的正负分类讨论,结合取值范围确定x、y的对应端点值,易错点是容易遗漏k<0的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
6. 小明骑单车上学,当他骑了一段路时,想起要买某本书,买到书后继续去学校.他本次上学所用的时间与离家距离的关系如图所示.
300
(家)O 2 4 6 8 10 12 14 时间/min
(1) 小明家到学校的路程是
1500
m;
(2) 本次上学途中,小明一共行驶了
2700
m,共用了
14
min;
(3) 在整个上学的途中,他最快的速度是
450
m/min;
(4) 小明出发
6或$\frac{40}{3}$
min时,离家1200 m.

答案

6. (1) 1 500 (2) 2 700 14 (3) 450 (4) 6或$\frac{40}{3}$

解析

【分析】
这是一道行程类的函数图像题,解题关键是先明确横轴表示离家时间(单位:min),纵轴表示离家距离(单位:m),结合题干描述分析每段图像对应的运动状态:上升线段表示骑行中离家越来越远,下降线段表示骑行中离家越来越近,水平线段表示停留(买书),线段的倾斜程度对应速度大小,倾斜越陡速度越快。
解题时逐个问题拆解:
(1) 图像终点对应的纵轴数值就是小明家到学校的路程,直接读取即可;
(2) 总行驶路程是各段运动的路程之和,总时间是终点对应的横轴数值;
(3) 分别计算每段运动的速度,比较后得到最快速度;
(4) 离家1200m存在两种情况:一是一开始出发去往书店方向时到达1200m,二是买完书去往学校途中到达1200m,分两种情况计算即可。
【解析】
结合图像和题干分析各段运动:
1. 0~6min:小明从家出发骑行,6min时离家1200m,速度$v_1=1200÷6=200\mathrm{m/min}$;
2. 6~8min:小明返回书店,2min内从1200m处回到600m处,行驶路程为$1200-600=600\mathrm{m}$,速度$v_2=600÷2=300\mathrm{m/min}$;
3. 8~12min:小明在书店买书,停留4min,路程不变;
4. 12~14min:小明从书店出发去学校,2min内从600m处到1500m处,行驶路程为$1500-600=900\mathrm{m}$,速度$v_3=900÷2=450\mathrm{m/min}$。
(1) 图像终点对应纵轴值为1500,故小明家到学校的路程是1500m;
(2) 总行驶路程$=1200+600+900=2700\mathrm{m}$,总时间对应横轴终点为14min;
(3) 对比三段速度200m/min、300m/min、450m/min,最快速度是450m/min;
(4) ① 0~6min时,速度为200m/min,行驶1200m的时间$t_1=1200÷200=6\mathrm{min}$;
② 12~14min时,设距离$y$与时间$x$的函数解析式为$y=kx+b$,代入$(12,600)$、$(14,1500)$得:
$\begin{cases} 12k+b=600 \\14k+b=1500 \end{cases}$
解得$k=450$,$b=-4800$,即$y=450x-4800$
令$y=1200$,得$450x=6000$,解得$x=\frac{40}{3}$
故出发6min或$\frac{40}{3}$min时,离家1200m。
【答案】
(1) 1500 (2) 2700;14 (3) 450 (4) 6或$\frac{40}{3}$
【知识点】
函数图像的应用,一次函数的应用,行程问题计算
【点评】
本题重点考查从函数图像中提取有效信息的能力,需要结合行程的基本公式分析不同时段的运动状态,解题时要注意分情况讨论,避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7