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三、解答题
7. 某单位计划购进A，B两种树苗共45棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵50元.
设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需总费用为y元.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请你给出一种总费用最少的方案，并求出该方案所需的总费用.
7. 某单位计划购进A，B两种树苗共45棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵50元.
设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需总费用为y元.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请你给出一种总费用最少的方案，并求出该方案所需的总费用.
答案
7. (1) $y=30x+2\ 250$ (2) 总费用最少的方案：购买A种树苗23棵，B种树苗22棵，所需总费用为2 940元
解析
【分析】
（1）要推导总费用y与A种树苗数量x的函数表达式，首先明确总费用由A、B两种树苗的费用相加得到。已知A种树苗x棵，两种共45棵，因此B种树苗为(45-x)棵，分别计算两种树苗的总费用相加后化简即可。（2）首先根据“购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量”列不等式，求出x的取值范围；再结合一次函数的增减性，找到使总费用y最小的x值，代入函数即可求出最少费用和对应方案。
【解析】
（1）已知购买A种树苗x棵，则购买B种树苗$(45-x)$棵，根据总费用=A树苗费用+B树苗费用，可得：
$y=80x + 50(45-x)$
化简得：$y=80x + 2250 - 50x = 30x + 2250$，其中x的取值范围为$0≤ x≤45$且x为整数。
（2）根据题意，A种树苗数量不少于B种树苗数量，因此列不等式：
$x≥ 45-x$
解得：$x≥22.5$
由于x为树苗数量，必须为正整数，因此x的最小取值为23。
在一次函数$y=30x+2250$中，$k=30＞0$，因此y随x的增大而增大，当x取最小值23时，总费用y最小。
此时B种树苗数量为$45-23=22$（棵）
代入函数得最小总费用：$y=30×23 + 2250 = 690 + 2250 = 2940$（元）
【答案】
(1) $y=30x+2250$ (2) 总费用最少的方案：购买A种树苗23棵，B种树苗22棵，所需总费用为2940元
【知识点】
一次函数表达式求解；一次函数增减性应用；一元一次不等式应用
【点评】
本题是一次函数结合不等式的实际应用类问题，解题核心是准确梳理数量关系列出函数表达式，结合自变量的实际取值限制和函数增减性求解最值，是一次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
（1）要推导总费用y与A种树苗数量x的函数表达式，首先明确总费用由A、B两种树苗的费用相加得到。已知A种树苗x棵，两种共45棵，因此B种树苗为(45-x)棵，分别计算两种树苗的总费用相加后化简即可。（2）首先根据“购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量”列不等式，求出x的取值范围；再结合一次函数的增减性，找到使总费用y最小的x值，代入函数即可求出最少费用和对应方案。
【解析】
（1）已知购买A种树苗x棵，则购买B种树苗$(45-x)$棵，根据总费用=A树苗费用+B树苗费用，可得：
$y=80x + 50(45-x)$
化简得：$y=80x + 2250 - 50x = 30x + 2250$，其中x的取值范围为$0≤ x≤45$且x为整数。
（2）根据题意，A种树苗数量不少于B种树苗数量，因此列不等式：
$x≥ 45-x$
解得：$x≥22.5$
由于x为树苗数量，必须为正整数，因此x的最小取值为23。
在一次函数$y=30x+2250$中，$k=30＞0$，因此y随x的增大而增大，当x取最小值23时，总费用y最小。
此时B种树苗数量为$45-23=22$（棵）
代入函数得最小总费用：$y=30×23 + 2250 = 690 + 2250 = 2940$（元）
【答案】
(1) $y=30x+2250$ (2) 总费用最少的方案：购买A种树苗23棵，B种树苗22棵，所需总费用为2940元
【知识点】
一次函数表达式求解；一次函数增减性应用；一元一次不等式应用
【点评】
本题是一次函数结合不等式的实际应用类问题，解题核心是准确梳理数量关系列出函数表达式，结合自变量的实际取值限制和函数增减性求解最值，是一次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
8. 一次函数的图象过$A(1,4)$，$B(-1,0)$两点.
（1）求此函数的表达式，并画出它的图象；
（2）当$x$分别为何值时，$y＞0$，$y=0$，$y＜0$？
（3）当$-3＜x＜0$时，求$y$的取值范围；
（4）当$-2≤ y≤ 2$时，求$x$的取值范围.
（1）求此函数的表达式，并画出它的图象；
（2）当$x$分别为何值时，$y＞0$，$y=0$，$y＜0$？
（3）当$-3＜x＜0$时，求$y$的取值范围；
（4）当$-2≤ y≤ 2$时，求$x$的取值范围.
答案
(1) 此函数的表达式为$y=2x+2$. 图象略 (2) 当$x＞-1$时，$y＞0$；当$x=-1$时，$y=0$；当$x＜-1$时，$y＜0$ (3) $-4＜y＜2$ (4) $-2≤x≤0$
解析
【分析】
1. 第（1）问求一次函数表达式用待定系数法：先设一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$），将已知两个点的坐标代入得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$即可得到解析式；画图象只需描出已知的两个点，过两点画直线即可。
2. 第（2）问判断$y$与0的大小关系：先求出$y=0$时对应的$x$值，再结合一次函数的增减性（$k＞0$时$y$随$x$增大而增大），即可判断不同$x$范围下$y$的符号。
3. 第（3）问求$x$在$(-3,0)$时$y$的范围：因为函数单调递增，将区间端点的$x$值代入解析式求出对应的$y$值，即可得到$y$的取值范围，注意区间开闭和$x$保持一致。
4. 第（4）问求$y$在$[-2,2]$时$x$的范围：将$y$的边界值代入解析式求出对应的$x$值，结合函数增减性即可得到$x$的取值范围。
【解析】
（1）设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$A(1,4)$、$B(-1,0)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}k + b = 4 \\-k + b = 0\end{cases}$
两式相加消去$k$，得$2b=4$，解得$b=2$，
将$b=2$代入$-k + b = 0$，得$k=2$，
因此函数表达式为$y=2x+2$。
画图象：在平面直角坐标系中描出点$A(1,4)$和$B(-1,0)$，过这两点作直线，即为该一次函数的图象。
（2）令$y=0$，则$2x+2=0$，解得$x=-1$，
∵$k=2＞0$，
∴$y$随$x$的增大而增大，
因此：当$x＞-1$时，$y＞0$；当$x=-1$时，$y=0$；当$x＜-1$时，$y＜0$。
（3）当$x=-3$时，$y=2×(-3)+2=-4$，
当$x=0$时，$y=2×0+2=2$，
∵函数$y$随$x$的增大而增大，且$-3＜x＜0$，
∴$-4＜y＜2$。
（4）当$y=-2$时，$-2=2x+2$，解得$x=-2$，
当$y=2$时，$2=2x+2$，解得$x=0$，
∵函数$y$随$x$的增大而增大，且$-2≤ y≤ 2$，
∴$-2≤x≤0$。
【答案】
(1) 此函数的表达式为$y=2x+2$. 图象略
(2) 当$x＞-1$时，$y＞0$；当$x=-1$时，$y=0$；当$x＜-1$时，$y＜0$
(3) $-4＜y＜2$
(4) $-2≤x≤0$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的性质；一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考查待定系数法求解析式以及一次函数增减性的应用，结合函数单调性分析取值范围更直观简便，是巩固一次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
1. 第（1）问求一次函数表达式用待定系数法：先设一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$），将已知两个点的坐标代入得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$即可得到解析式；画图象只需描出已知的两个点，过两点画直线即可。
2. 第（2）问判断$y$与0的大小关系：先求出$y=0$时对应的$x$值，再结合一次函数的增减性（$k＞0$时$y$随$x$增大而增大），即可判断不同$x$范围下$y$的符号。
3. 第（3）问求$x$在$(-3,0)$时$y$的范围：因为函数单调递增，将区间端点的$x$值代入解析式求出对应的$y$值，即可得到$y$的取值范围，注意区间开闭和$x$保持一致。
4. 第（4）问求$y$在$[-2,2]$时$x$的范围：将$y$的边界值代入解析式求出对应的$x$值，结合函数增减性即可得到$x$的取值范围。
【解析】
（1）设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$A(1,4)$、$B(-1,0)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}k + b = 4 \\-k + b = 0\end{cases}$
两式相加消去$k$，得$2b=4$，解得$b=2$，
将$b=2$代入$-k + b = 0$，得$k=2$，
因此函数表达式为$y=2x+2$。
画图象：在平面直角坐标系中描出点$A(1,4)$和$B(-1,0)$，过这两点作直线，即为该一次函数的图象。
（2）令$y=0$，则$2x+2=0$，解得$x=-1$，
∵$k=2＞0$，
∴$y$随$x$的增大而增大，
因此：当$x＞-1$时，$y＞0$；当$x=-1$时，$y=0$；当$x＜-1$时，$y＜0$。
（3）当$x=-3$时，$y=2×(-3)+2=-4$，
当$x=0$时，$y=2×0+2=2$，
∵函数$y$随$x$的增大而增大，且$-3＜x＜0$，
∴$-4＜y＜2$。
（4）当$y=-2$时，$-2=2x+2$，解得$x=-2$，
当$y=2$时，$2=2x+2$，解得$x=0$，
∵函数$y$随$x$的增大而增大，且$-2≤ y≤ 2$，
∴$-2≤x≤0$。
【答案】
(1) 此函数的表达式为$y=2x+2$. 图象略
(2) 当$x＞-1$时，$y＞0$；当$x=-1$时，$y=0$；当$x＜-1$时，$y＜0$
(3) $-4＜y＜2$
(4) $-2≤x≤0$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的性质；一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考查待定系数法求解析式以及一次函数增减性的应用，结合函数单调性分析取值范围更直观简便，是巩固一次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
9. 王老师在黑板上写出一个一次函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别说出这个函数的一条性质.
甲：函数图象不经过第三象限；
乙：当 $ x ＜ 2 $ 时，$ y ＞ 0 $；
丙：$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
已知这三位同学的叙述都是正确的，请构造出满足上述所有性质的一个函数.
甲：函数图象不经过第三象限；
乙：当 $ x ＜ 2 $ 时，$ y ＞ 0 $；
丙：$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
已知这三位同学的叙述都是正确的，请构造出满足上述所有性质的一个函数.
答案
答案不唯一.如：$y=-2x+4$
解析
【分析】
要构造满足所有性质的一次函数，先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），再逐个结合性质推导系数的取值要求：1. 先根据丙描述的增减性确定$k$的符号；2. 结合甲描述的图象经过的象限，在已知$k$符号的基础上确定$b$的取值范围；3. 结合乙给出的$x$和$y$的取值关系，找到$k$和$b$的等量关系；最后给$k$赋一个符合要求的数值，即可求出对应的$b$，得到目标函数。
【解析】
设满足条件的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
1. 由“$y$随$x$的增大而减小”（丙的描述），可得一次函数的斜率$k＜0$；
2. 由“函数图象不经过第三象限”（甲的描述），结合$k＜0$，可知函数图象经过第一、二、四象限或第二、四象限，因此与$y$轴的交点在非负半轴，即$b≥0$；
3. 由“当$x＜2$时，$y＞0$”（乙的描述），结合函数递减的性质，可得当$x=2$时，$y=0$（此时$x＜2$时的函数值都大于0，刚好满足要求），将$x=2,y=0$代入解析式得：$2k + b = 0$，即$b=-2k$。
因为$k＜0$，所以$b=-2k＞0$，符合$b≥0$的要求。
取$k=-2$，则$b=-2×(-2)=4$，可得函数$y=-2x+4$，满足所有性质（答案不唯一，只要$k＜0$且$b=-2k$即可）。
【答案】
答案不唯一，如：$y=-2x+4$
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系；待定系数法求解析式
【点评】
本题是开放型习题，核心是结合多个限定性质推导一次函数系数的取值范围，既考查对一次函数增减性、图象特征等基础知识点的掌握，也考查逻辑推导能力，答案不固定，只要符合所有条件即可。
【难度系数】
0.7
要构造满足所有性质的一次函数，先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），再逐个结合性质推导系数的取值要求：1. 先根据丙描述的增减性确定$k$的符号；2. 结合甲描述的图象经过的象限，在已知$k$符号的基础上确定$b$的取值范围；3. 结合乙给出的$x$和$y$的取值关系，找到$k$和$b$的等量关系；最后给$k$赋一个符合要求的数值，即可求出对应的$b$，得到目标函数。
【解析】
设满足条件的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
1. 由“$y$随$x$的增大而减小”（丙的描述），可得一次函数的斜率$k＜0$；
2. 由“函数图象不经过第三象限”（甲的描述），结合$k＜0$，可知函数图象经过第一、二、四象限或第二、四象限，因此与$y$轴的交点在非负半轴，即$b≥0$；
3. 由“当$x＜2$时，$y＞0$”（乙的描述），结合函数递减的性质，可得当$x=2$时，$y=0$（此时$x＜2$时的函数值都大于0，刚好满足要求），将$x=2,y=0$代入解析式得：$2k + b = 0$，即$b=-2k$。
因为$k＜0$，所以$b=-2k＞0$，符合$b≥0$的要求。
取$k=-2$，则$b=-2×(-2)=4$，可得函数$y=-2x+4$，满足所有性质（答案不唯一，只要$k＜0$且$b=-2k$即可）。
【答案】
答案不唯一，如：$y=-2x+4$
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系；待定系数法求解析式
【点评】
本题是开放型习题，核心是结合多个限定性质推导一次函数系数的取值范围，既考查对一次函数增减性、图象特征等基础知识点的掌握，也考查逻辑推导能力，答案不固定，只要符合所有条件即可。
【难度系数】
0.7
