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一、选择题
1. 函数 $y=-\dfrac{1}{x+2}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是（
A.$x ≠ 2$
B.$x ≤ -2$
C.$x ≠ -2$
D.$x ≥ -2$
1. 函数 $y=-\dfrac{1}{x+2}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是（
C
）。A.$x ≠ 2$
B.$x ≤ -2$
C.$x ≠ -2$
D.$x ≥ -2$
答案
1. C
解析
【分析】
要确定函数自变量的取值范围，首先观察函数的表达形式，本题函数是分式结构，根据分式有意义的要求：分式的分母不能为0，因此我们只需要让该函数的分母不等于0，列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
已知函数为分式形式，分式有意义的条件是分母不为0。
本题中函数的分母为$x+2$，因此可列不等式：
$x+2≠0$
解得：$x≠-2$
因此自变量x的取值范围是$x≠-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础题型，核心考点是分式的成立条件，解题时注意不要将不等式的解的符号搞混，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
要确定函数自变量的取值范围，首先观察函数的表达形式，本题函数是分式结构，根据分式有意义的要求：分式的分母不能为0，因此我们只需要让该函数的分母不等于0，列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
已知函数为分式形式，分式有意义的条件是分母不为0。
本题中函数的分母为$x+2$，因此可列不等式：
$x+2≠0$
解得：$x≠-2$
因此自变量x的取值范围是$x≠-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础题型，核心考点是分式的成立条件，解题时注意不要将不等式的解的符号搞混，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 某村要铺设一条全长为1000 m的“雨污分流”管道，每天铺设管道的速度不变.现在工程队铺设管道长度y m与施工时间x天之间的函数关系如下表：
则施工8天后，未铺设的管道长度为(
A.160
B.180
C.840
D.820
则施工8天后，未铺设的管道长度为(
C
)m.A.160
B.180
C.840
D.820
答案
2. C
解析
【分析】
首先观察表格数据，施工时间每增加1天，铺设管道长度就增加20m，说明每天的施工效率固定为20m/天。解题时先计算8天累计铺设的管道长度，再用管道总长度减去已铺设长度，就能得到未铺设的管道长度。
【解析】
解：由表格数据可得，工程队每天铺设管道的长度为20m。
施工8天铺设的管道长度为：$20×8=160\,\mathrm{m}$
已知管道全长为1000m，因此未铺设的管道长度为：$1000-160=840\,\mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
函数实际应用，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查从表格提取有效信息的能力，解题时注意区分已铺设长度和未铺设长度，避免因粗心看错问题出错。
【难度系数】
0.9
首先观察表格数据，施工时间每增加1天，铺设管道长度就增加20m，说明每天的施工效率固定为20m/天。解题时先计算8天累计铺设的管道长度，再用管道总长度减去已铺设长度，就能得到未铺设的管道长度。
【解析】
解：由表格数据可得，工程队每天铺设管道的长度为20m。
施工8天铺设的管道长度为：$20×8=160\,\mathrm{m}$
已知管道全长为1000m，因此未铺设的管道长度为：$1000-160=840\,\mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
函数实际应用，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查从表格提取有效信息的能力，解题时注意区分已铺设长度和未铺设长度，避免因粗心看错问题出错。
【难度系数】
0.9
3. 已知函数 $ y=\begin{cases}x^2 + 2, & x ≤ 2, \\ 2x, & x ＞ 2,\end{cases}$ 则当函数值 $ y $ 为8时，自变量 $ x $ 的值是（ ）.
A.$ \pm\sqrt{6} $
B.4
C.$ \pm\sqrt{6} $或4
D.4或$ -\sqrt{6} $
A.$ \pm\sqrt{6} $
B.4
C.$ \pm\sqrt{6} $或4
D.4或$ -\sqrt{6} $
答案
D
解析
【分析】
本题是分段函数求自变量的问题，需运用分类讨论思想求解：首先根据分段函数的两个不同取值范围，分别代入对应区间的函数表达式列方程，求出x的解后，再检验解是否符合对应区间的取值要求，舍去不符合条件的解，最终合并有效解即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论求解：
1. 当$ x ≤ 2 $时，对应函数表达式为$ y = x^2 + 2 $，令$ y=8 $，列方程得：
$ x^2 + 2 = 8 $
移项计算得$ x^2 = 6 $，解得$ x = \sqrt{6} $或$ x = -\sqrt{6} $。
其中$ \sqrt{6} ＞ 2 $，不符合$ x ≤ 2 $的取值要求，舍去；$ -\sqrt{6} ＜ 2 $，符合要求，保留。
2. 当$ x ＞ 2 $时，对应函数表达式为$ y = 2x $，令$ y=8 $，列方程得：
$ 2x = 8 $
解得$ x = 4 $，$ 4 ＞ 2 $，符合取值要求，保留。
综上，自变量x的值为4或$ -\sqrt{6} $。
【答案】
D
【知识点】
1. 分段函数
2. 解方程
3. 分类讨论思想
【点评】
本题核心考查分段函数的应用，易错点是求解后忽略验证自变量是否符合对应分段的取值范围，导致误选多解的错误选项，掌握分类讨论后验根的思路就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数求自变量的问题，需运用分类讨论思想求解：首先根据分段函数的两个不同取值范围，分别代入对应区间的函数表达式列方程，求出x的解后，再检验解是否符合对应区间的取值要求，舍去不符合条件的解，最终合并有效解即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论求解：
1. 当$ x ≤ 2 $时，对应函数表达式为$ y = x^2 + 2 $，令$ y=8 $，列方程得：
$ x^2 + 2 = 8 $
移项计算得$ x^2 = 6 $，解得$ x = \sqrt{6} $或$ x = -\sqrt{6} $。
其中$ \sqrt{6} ＞ 2 $，不符合$ x ≤ 2 $的取值要求，舍去；$ -\sqrt{6} ＜ 2 $，符合要求，保留。
2. 当$ x ＞ 2 $时，对应函数表达式为$ y = 2x $，令$ y=8 $，列方程得：
$ 2x = 8 $
解得$ x = 4 $，$ 4 ＞ 2 $，符合取值要求，保留。
综上，自变量x的值为4或$ -\sqrt{6} $。
【答案】
D
【知识点】
1. 分段函数
2. 解方程
3. 分类讨论思想
【点评】
本题核心考查分段函数的应用，易错点是求解后忽略验证自变量是否符合对应分段的取值范围，导致误选多解的错误选项，掌握分类讨论后验根的思路就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 一根长为 30 cm 的蜡烛，点燃后可照明 3 h.当蜡烛点燃后，其长度 y cm 与照明时间 t min之间的函数关系是
4. 一根长为 30 cm 的蜡烛，点燃后可照明 3 h.当蜡烛点燃后，其长度 y cm 与照明时间 t min之间的函数关系是
$y=30-\dfrac{1}{6}t$
，其中自变量 t 的取值范围是$0≤ t≤180$
.答案
4. $y=30-\dfrac{1}{6}t$，$0≤ t≤180$
解析
【分析】
解题时首先要统一单位，题目给出的燃烧总时长单位是小时，而自变量t的单位是分钟，先把3小时换算为180分钟。接下来计算蜡烛每分钟的燃烧长度：总长度30cm可燃烧180分钟，用总长度除以总燃烧时长即可得到每分钟燃烧的长度。再根据“剩余蜡烛长度=总长度-已燃烧长度”的数量关系，就能列出y与t的函数关系式。最后确定自变量t的取值范围时要结合实际意义：时间不能为负数，且蜡烛最多燃烧180分钟就会烧完，因此t的范围在0到180之间（包含端点）。
【解析】
1. 单位换算：将燃烧总时长换算为分钟，$3\ \mathrm{h}=3×60=180\ \mathrm{min}$
2. 计算每分钟燃烧长度：蜡烛30cm可燃烧180min，因此每分钟燃烧长度为$\frac{30}{180}=\frac{1}{6}\ \mathrm{cm/min}$
3. 列函数关系式：t分钟燃烧的长度为$\frac{1}{6}t\ \mathrm{cm}$，剩余长度$y=总长度-已燃烧长度=30-\frac{1}{6}t$
4. 确定自变量取值范围：
① 时间不为负，因此$t≥0$
② 蜡烛最多燃烧180min，因此$t≤180$
综上，t的取值范围是$0≤ t≤180$
【答案】
$y=30-\dfrac{1}{6}t$；$0≤ t≤180$
【知识点】
列函数关系式；自变量取值范围；一次函数实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的函数基础题，解题关键是先统一单位，再根据数量关系列函数式，需要注意自变量的取值范围不仅要满足代数式有意义，还要符合实际场景的逻辑。
【难度系数】
0.8
解题时首先要统一单位，题目给出的燃烧总时长单位是小时，而自变量t的单位是分钟，先把3小时换算为180分钟。接下来计算蜡烛每分钟的燃烧长度：总长度30cm可燃烧180分钟，用总长度除以总燃烧时长即可得到每分钟燃烧的长度。再根据“剩余蜡烛长度=总长度-已燃烧长度”的数量关系，就能列出y与t的函数关系式。最后确定自变量t的取值范围时要结合实际意义：时间不能为负数，且蜡烛最多燃烧180分钟就会烧完，因此t的范围在0到180之间（包含端点）。
【解析】
1. 单位换算：将燃烧总时长换算为分钟，$3\ \mathrm{h}=3×60=180\ \mathrm{min}$
2. 计算每分钟燃烧长度：蜡烛30cm可燃烧180min，因此每分钟燃烧长度为$\frac{30}{180}=\frac{1}{6}\ \mathrm{cm/min}$
3. 列函数关系式：t分钟燃烧的长度为$\frac{1}{6}t\ \mathrm{cm}$，剩余长度$y=总长度-已燃烧长度=30-\frac{1}{6}t$
4. 确定自变量取值范围：
① 时间不为负，因此$t≥0$
② 蜡烛最多燃烧180min，因此$t≤180$
综上，t的取值范围是$0≤ t≤180$
【答案】
$y=30-\dfrac{1}{6}t$；$0≤ t≤180$
【知识点】
列函数关系式；自变量取值范围；一次函数实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的函数基础题，解题关键是先统一单位，再根据数量关系列函数式，需要注意自变量的取值范围不仅要满足代数式有意义，还要符合实际场景的逻辑。
【难度系数】
0.8
5. 华氏温度 $ y \ °\mathrm{F} $ 与摄氏温度 $ x \ °\mathrm{C} $ 之间的关系是 $ y=\frac{9}{5}x + 32 $。若某一摄氏温度值与华氏温度值恰好相等，则此摄氏温度值为
$-40$
$ °\mathrm{C} $。答案
5. -40
解析
【分析】
题目明确给出华氏温度与摄氏温度的函数关系式，要求两种温度数值相等时的摄氏温度，核心等量关系为此时摄氏温度值等于华氏温度值，即$x=y$。我们只需将$y=x$代入已知函数式，转化为关于$x$的一元一次方程，求解即可得到结果。
【解析】
解：根据题意，当摄氏温度值与华氏温度值相等时，$y=x$。
将$y=x$代入关系式$y=\frac{9}{5}x + 32$，可得：
$x = \frac{9}{5}x + 32$
移项得：$x - \frac{9}{5}x = 32$
合并同类项得：$-\frac{4}{5}x = 32$
系数化为1得：$x = 32 × (-\frac{5}{4}) = -40$
【答案】
-40
【知识点】
函数关系应用；一元一次方程解法；等量关系建模
【点评】
本题结合生活中温度换算的实际场景出题，属于基础题型，解题的关键是抓住“两种温度数值相等”的核心条件建立方程，考察学生对函数关系的理解和运用方程解决实际问题的能力，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
题目明确给出华氏温度与摄氏温度的函数关系式，要求两种温度数值相等时的摄氏温度，核心等量关系为此时摄氏温度值等于华氏温度值，即$x=y$。我们只需将$y=x$代入已知函数式，转化为关于$x$的一元一次方程，求解即可得到结果。
【解析】
解：根据题意，当摄氏温度值与华氏温度值相等时，$y=x$。
将$y=x$代入关系式$y=\frac{9}{5}x + 32$，可得：
$x = \frac{9}{5}x + 32$
移项得：$x - \frac{9}{5}x = 32$
合并同类项得：$-\frac{4}{5}x = 32$
系数化为1得：$x = 32 × (-\frac{5}{4}) = -40$
【答案】
-40
【知识点】
函数关系应用；一元一次方程解法；等量关系建模
【点评】
本题结合生活中温度换算的实际场景出题，属于基础题型，解题的关键是抓住“两种温度数值相等”的核心条件建立方程，考察学生对函数关系的理解和运用方程解决实际问题的能力，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 小红在练习仰卧起坐，本月1日至5日的成绩与日期具有如下表所示的关系，则成绩y个
是
（填“是”或“不是”）日期x日的函数；当$y=46$时，$x=$3或5
。答案
6. 是，3或5
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步判断是否为函数，首先回忆函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量x的每一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。观察表格中x的取值：1、2、3、4、5，每一个x都对应唯一的y值，满足函数的定义。第二步求y=46对应的x，直接查找表格中y=46的行对应的x值即可找到对应的日期。
【解析】
1. 判断是否为函数：
根据函数的定义，观察表格中的数据：当x取1、2、3、4、5中任意一个确定的值时，y都有唯一确定的成绩与之对应，因此成绩y是日期x的函数。
2. 求y=46时x的值：
观察表格中成绩y列，当y=46时，对应的日期x为3和5，因此x=3或5。
【答案】
是，3或5
【知识点】
函数的定义；列表法表示函数
【点评】
本题考查函数的基础概念，解题关键是准确理解函数的定义，注意函数关系中要求自变量的每一个值对应唯一的因变量值，但一个因变量值可以对应多个自变量的值，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
解题思路分两步：第一步判断是否为函数，首先回忆函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量x的每一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。观察表格中x的取值：1、2、3、4、5，每一个x都对应唯一的y值，满足函数的定义。第二步求y=46对应的x，直接查找表格中y=46的行对应的x值即可找到对应的日期。
【解析】
1. 判断是否为函数：
根据函数的定义，观察表格中的数据：当x取1、2、3、4、5中任意一个确定的值时，y都有唯一确定的成绩与之对应，因此成绩y是日期x的函数。
2. 求y=46时x的值：
观察表格中成绩y列，当y=46时，对应的日期x为3和5，因此x=3或5。
【答案】
是，3或5
【知识点】
函数的定义；列表法表示函数
【点评】
本题考查函数的基础概念，解题关键是准确理解函数的定义，注意函数关系中要求自变量的每一个值对应唯一的因变量值，但一个因变量值可以对应多个自变量的值，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
7. 求下列函数中自变量 $ x $ 的取值范围：
(1) $ y=-2x+1 $；
(2) $ y=\dfrac{2}{x+3} $；
(3) $ y=\dfrac{5x}{x^2+1} $；
(4) $ y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3} $。
(1) $ y=-2x+1 $；
(2) $ y=\dfrac{2}{x+3} $；
(3) $ y=\dfrac{5x}{x^2+1} $；
(4) $ y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3} $。
答案
(1) 全体实数 (2) $x≠-3$ (3) 全体实数 (4) $x≥-1$且$x≠3$
解析
【分析】
求函数自变量的取值范围，本质是找到让函数表达式有意义的所有x的取值，我们可以根据表达式的类型对应判断限制条件：①若表达式是整式，自变量可取全体实数；②若表达式是分式，需保证分母不为0；③若表达式含二次根式，需保证被开方数是非负数；如果表达式同时包含多种类型，需要同时满足所有限制条件，取所有解集的公共部分即可。我们逐小题判断表达式类型，再对应求解即可。
【解析】
(1) $y=-2x+1$属于整式，整式对自变量的取值没有限制，因此x可取全体实数；
(2) $y=\dfrac{2}{x+3}$属于分式，分式有意义要求分母不为0，即$x+3≠0$，解得$x≠-3$；
(3) $y=\dfrac{5x}{x^2+1}$属于分式，分母为$x^2+1$，由于对任意实数x都有$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，分母恒不为0，因此x可取全体实数；
(4) $y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}$同时包含二次根式和分式，需要同时满足两个限制条件：
①二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
②分式的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$；
取两个解集的公共部分，可得$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
(1) 全体实数 (2) $x≠-3$ (3) 全体实数 (4) $x≥-1$且$x≠3$
【知识点】
函数自变量取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【点评】
本题是求自变量取值范围的常规基础题，解题关键是熟记不同类型代数式有意义的限制条件，当多个限制条件同时存在时，要注意取所有条件的公共解集，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.8
求函数自变量的取值范围，本质是找到让函数表达式有意义的所有x的取值，我们可以根据表达式的类型对应判断限制条件：①若表达式是整式，自变量可取全体实数；②若表达式是分式，需保证分母不为0；③若表达式含二次根式，需保证被开方数是非负数；如果表达式同时包含多种类型，需要同时满足所有限制条件，取所有解集的公共部分即可。我们逐小题判断表达式类型，再对应求解即可。
【解析】
(1) $y=-2x+1$属于整式，整式对自变量的取值没有限制，因此x可取全体实数；
(2) $y=\dfrac{2}{x+3}$属于分式，分式有意义要求分母不为0，即$x+3≠0$，解得$x≠-3$；
(3) $y=\dfrac{5x}{x^2+1}$属于分式，分母为$x^2+1$，由于对任意实数x都有$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，分母恒不为0，因此x可取全体实数；
(4) $y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}$同时包含二次根式和分式，需要同时满足两个限制条件：
①二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
②分式的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$；
取两个解集的公共部分，可得$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
(1) 全体实数 (2) $x≠-3$ (3) 全体实数 (4) $x≥-1$且$x≠3$
【知识点】
函数自变量取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【点评】
本题是求自变量取值范围的常规基础题，解题关键是熟记不同类型代数式有意义的限制条件，当多个限制条件同时存在时，要注意取所有条件的公共解集，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.8
