1.由下表中的数据，可知方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a,b,c$为常数$)$的一个根（精确到0.01）的取值范围是（）


A.$6＜x＜6.17$
B.$6.17＜x＜6.18$
C.$6.18＜x＜6.19$
D.$6.19＜x＜6.20$

C

根据二次函数与一元二次方程的关系，二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的$x$值就是方程$ax^2+bx+c=0$的根。由表格数据可得：当$x=6.18$时，$ax^2+bx+c=-0.01＜0$；当$x=6.19$时，$ax^2+bx+c=0.04＞0$，因此在$6.18$和$6.19$之间必然存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，即方程的一个根的取值范围是$6.18＜x＜6.19$。

2.下图是二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象,由图象可知不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为()

A.$x＜-1$或$x＞5$
B.$x＞5$
C.$-1＜x＜5$
D.无法确定

(第2题) (第5题)

A

1. 由图象可得，该二次函数的对称轴为直线$x=2$，抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(5,0)$。
2. 根据二次函数图象的对称性，设抛物线与$x$轴的另一交点横坐标为$x$，则$\frac{x+5}{2}=2$，解得$x=-1$，即另一交点为$(-1,0)$。
3. 该抛物线开口向下，因此$ax^2+bx+c＜0$对应函数图象在$x$轴下方的部分，解集为$x＜-1$或$x＞5$。

3.已知$m＞n＞0$，若关于$x$的方程$x^2 + 2x - 3 - m = 0$的解为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，关于$x$的方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$的解为$x_3,x_4(x_3＜x_4)$，则下列结论正确的是()

A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$
C.$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$
D.$x_3＜x_4＜x_1＜x_2$

B

将方程转化为二次函数交点问题求解：
1. 设二次函数$y=x^2+2x-3$，该抛物线开口向上，对称轴为$x=-1$。
2. 方程$x^2+2x-3-m=0$的解$x_1,x_2$是抛物线与直线$y=m$的交点横坐标，由求根公式得$x_1=-1-\sqrt{m+4}$，$x_2=-1+\sqrt{m+4}$；
方程$x^2+2x-3-n=0$的解$x_3,x_4$是抛物线与直线$y=n$的交点横坐标，同理得$x_3=-1-\sqrt{n+4}$，$x_4=-1+\sqrt{n+4}$。
3. 已知$m＞n＞0$，则$m+4＞n+4＞0$，可得$\sqrt{m+4}＞\sqrt{n+4}$，因此：
$-1-\sqrt{m+4} ＜ -1-\sqrt{n+4} ＜ -1+\sqrt{n+4} ＜ -1+\sqrt{m+4}$，即$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。

4.若二次函数$y=x^2 -6x +c$的图象与x轴有两个公共点，则c的值可以是（填一个值即可）

解：
∵ 二次函数$y=x^2-6x+c$的图象与x轴有两个公共点，
∴ 一元二次方程$x^2-6x+c=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1× c ＞ 0$，
即$36 - 4c ＞ 0$，
解得$c ＜ 9$。
取$c=0$（答案不唯一，任意小于9的实数均可）。

5.如图,若直线$y=mx+n$与抛物线$y=ax^2+bx+c$相交于$A(-1,p),B(4,q)$两点,则关于$x$的不等式$mx+n＜ax^2+bx+c$的解集是________.

解：不等式$mx+n ＜ ax^2+bx+c$的几何意义是直线$y=mx+n$的图像在抛物线$y=ax^2+bx+c$图像下方时对应的自变量$x$的取值范围。
由题可知两函数图像的交点横坐标分别为$-1$和$4$，结合抛物线开口向下的图像特征，可得满足条件的$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 4$。
故答案为：$\boldsymbol{-1 ＜ x ＜ 4}$。

6. 提升题 已知二次函数$y=-x^2+x+6$及一次函数$y=-x+m$，将该二次函数在$x$轴上方的图象沿$x$轴翻折到$x$轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图).
(1)求二次函数$y=-x^2+x+6$的顶点坐标和与$x$轴的交点的坐标；
(2)直接写出新函数对应的解析式；
(3)当直线$y=-x+m$与新图象有4个交点时，求$m$的取值范围.

解：
(1) 将二次函数$y=-x^2+x+6$配方得：
$y=-(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{25}{4}$，
因此该二次函数的顶点坐标为$(\dfrac{1}{2},\dfrac{25}{4})$。
令$y=0$，即$-x^2+x+6=0$，
整理得$x^2-x-6=0$，
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=3$，
因此该二次函数与$x$轴的交点坐标为$(-2,0)$和$(3,0)$。
(2) 新函数对应的解析式为：
$y=\begin{cases}-x^2+x+6 & (x≤ -2 \mathrm{ 或 } x≥ 3) \\x^2-x-6 & (-2 ＜ x ＜ 3)\end{cases}$
(3) 当直线$y=-x+m$经过点$(-2,0)$时，代入得$0=2+m$，解得$m=-2$。
当直线$y=-x+m$与翻折后的抛物线$y=x^2-x-6$（$-2＜x＜3$）相切时，联立方程：
$\begin{cases}y=-x+m \\y=x^2-x-6\end{cases}$
消去$y$，整理得$x^2-(m+6)=0$，
由一元二次方程根的判别式，令$\Delta=0^2-4×1×[-(m+6)]=0$，解得$m=-6$。
结合图象可得，当直线$y=-x+m$与新图象有4个交点时，$m$的取值范围是$-6 ＜ m ＜ -2$。