1.若一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$有两个实数根，则抛物线$y=2x^2 + bx + c$与$x$轴的交点个数为。

解：
对于一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4×2× c = b^2 - 8c$。
由该方程有两个实数根，可得$\Delta ≥ 0$。
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根，抛物线$y=2x^2+bx+c$与$x$轴有2个交点；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根，抛物线$y=2x^2+bx+c$与$x$轴有1个交点。
因此抛物线$y=2x^2 + bx + c$与$x$轴的交点个数为1或2。

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+3$与x轴相交于点A，B，点B的坐标为(3,0)。若点C(2,3)在抛物线上，则AB的长为。

$\boldsymbol{4}$

解：
将点B(3,0)和点C(2,3)代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+3$，得：
$\begin{cases}9a+3b+3=0 \\4a+2b+3=3 \end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}3a+b=-1 \\2a+b=0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-1 \\b=2 \end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
所以点A的坐标为$(-1,0)$，
$AB$的长度为$3 - (-1) = 4$。
最终

3. 提升题 某班数学兴趣小组对函数 $ y = |x^2 - 2x| $ 的图象和性质进行了探究.
(1)自变量 $ x $ 的取值范围为全体实数，$ x $ 与 $ y $ 的几组对应值列表如下，则 $ m = $ .

(2)根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.

(3)观察函数图象，写出该函数的一条性质：.
.
(4)进一步探究函数图象解决问题：
①方程 $ |x^2 - 2x| = \frac{1}{2} $ 有 个实数根；
②在(2)问的平面直角坐标系中画出直线 $ y = -x + 1 $，写出方程 $ |x^2 - 2x| = -x + 1 $ 的一个正数根约为 (精确到0.1).

解：
(1) 将$x=-0.5$代入$y=|x^2-2x|$，得：
$m=|(-0.5)^2 - 2×(-0.5)|=|0.25+1|=1.25$
(2) 用平滑曲线依次连接点$(2,0),(2.5,1.25),(3,3)$，补全$x≥2$区间的图象，得到完整函数图象。
(3) 函数图象关于直线$x=1$对称（答案不唯一，合理即可，例如：函数最小值为0；当$x＜0$时，$y$随$x$增大而减小等）
(4) ① 观察图象，直线$y=\frac{1}{2}$与函数$y=|x^2-2x|$共有4个交点，因此方程有$\boldsymbol{4}$个实数根。
② 画出过$(0,1)$和$(1,0)$的直线$y=-x+1$，可得方程的一个正数根约为$\boldsymbol{0.4}$（或2.6，符合精度即可）

4. 提升题▶二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象如图所示，根据图象解答下列问题.
(1)方程 $ ax^2+bx+c=0 $ 的两个根为，不等式 $ ax^2+bx+c＞0 $ 的解集为；
(2)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2+bx+c=k $ 有两个不相等的实数根，则 $ k $ 的取值范围为；
(3)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2+bx+c-t=0 $，在 $ -1＜x＜3 $ 的范围内有实数根，求 $ t $ 的取值范围.

解：
(1) 由二次函数图象与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，可知方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$\boldsymbol{x_1=1,\ x_2=3}$；
抛物线位于x轴上方时对应x的取值范围是$1＜x＜3$，因此不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$\boldsymbol{1＜x＜3}$。
(2) 由图象可知二次函数的最大值为2，方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根，等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有两个不同交点，因此$k$的取值范围为$\boldsymbol{k＜2}$。
(3) 设二次函数的顶点式为$y=a(x-2)^2+2$，将点$(1,0)$代入解析式：
$0=a(1-2)^2+2$
解得$a=-2$，因此二次函数解析式为$y=-2(x-2)^2+2$。
方程$ax^2+bx+c-t=0$在$-1＜x＜3$范围内有实数根，等价于直线$y=t$与抛物线$y=-2(x-2)^2+2$在$-1＜x＜3$范围内有交点，即求$x\in(-1,3)$时函数$y=-2(x-2)^2+2$的值域：
当$x=2$时，$y$取得最大值$2$；
当$x=-1$时，$y=-2×(-1-2)^2+2=-16$；
当$x=3$时，$y=-2×(3-2)^2+2=0$。
结合抛物线开口向下的性质，在$-1＜x＜3$范围内函数值满足$-16＜y≤2$，因此$t$的取值范围是$\boldsymbol{-16＜t≤2}$。