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1. 如图,已知正方形ABCD的边长为1, E,F,G,H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH.设小正方形EFGH的面积为S,AE=x,则S关于x的函数图象大致是()
答案
解：
∵ 正方形ABCD的边长为1，AE=x，且AE=BF=CG=DH，
∴ AH=BE=CF=DG=1-x。
在Rt△AEH中，由勾股定理得EH²=AE²+AH²=x²+(1-x)²，
∵ 小正方形EFGH的面积S=EH²，
∴ S=x²+(1-x)²=2x²-2x+1，
其中自变量x的取值范围是0＜x＜1。
该函数是二次函数，二次项系数2＞0，图象为开口向上的抛物线在0＜x＜1区间上的部分：当x=0和x=1时S=1，在x=1/2处取得最小值1/2，两端点为空心点，符合该特征的是选项B。
答：答案为B。
∵ 正方形ABCD的边长为1，AE=x，且AE=BF=CG=DH，
∴ AH=BE=CF=DG=1-x。
在Rt△AEH中，由勾股定理得EH²=AE²+AH²=x²+(1-x)²，
∵ 小正方形EFGH的面积S=EH²，
∴ S=x²+(1-x)²=2x²-2x+1，
其中自变量x的取值范围是0＜x＜1。
该函数是二次函数，二次项系数2＞0，图象为开口向上的抛物线在0＜x＜1区间上的部分：当x=0和x=1时S=1，在x=1/2处取得最小值1/2，两端点为空心点，符合该特征的是选项B。
答：答案为B。
2.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为14 m（其他两边足够长），则篱笆围成的矩形面积最大为 m$^2$.
答案
解：设AB的长度为$ x \, \mathrm{m} $，围成的矩形面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则BC的长度为$ (14 - x) \, \mathrm{m} $。
由题意得：
$\begin{aligned}S &= x(14 - x) \\&= -x^2 + 14x \\&= -(x-7)^2 + 49\end{aligned}$
因为二次项系数$ -1 ＜ 0 $，所以抛物线开口向下，当$ x=7 $时，$ S $取得最大值，最大值为49。
答：篱笆围成的矩形面积最大为$\boldsymbol{49}$ $ \mathrm{m}^2 $。
由题意得：
$\begin{aligned}S &= x(14 - x) \\&= -x^2 + 14x \\&= -(x-7)^2 + 49\end{aligned}$
因为二次项系数$ -1 ＜ 0 $，所以抛物线开口向下，当$ x=7 $时，$ S $取得最大值，最大值为49。
答：篱笆围成的矩形面积最大为$\boldsymbol{49}$ $ \mathrm{m}^2 $。
3.一个长20 m、宽16 m的矩形花园如图所示，根据需要，将它的长缩短x m、宽增加x m，要想使改建后的花园面积达到最大，则x的值为。
答案
解：设改建后的花园面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
根据题意，改建后花园的长为$ (20 - x)\, \mathrm{m} $，宽为$ (16 + x)\, \mathrm{m} $，且$ 0 ＜ x ＜ 20 $。
因此面积表达式为：
$\begin{aligned}S&=(20 - x)(16 + x)\\&=-x^2 + 4x + 320\end{aligned}$
因为二次项系数$ a=-1 ＜ 0 $，该二次函数图象开口向下，当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2 $时，$ S $取得最大值，且$ x=2 $满足$ 0＜x＜20 $。
答：x的值为$\boldsymbol{2}$。
根据题意，改建后花园的长为$ (20 - x)\, \mathrm{m} $，宽为$ (16 + x)\, \mathrm{m} $，且$ 0 ＜ x ＜ 20 $。
因此面积表达式为：
$\begin{aligned}S&=(20 - x)(16 + x)\\&=-x^2 + 4x + 320\end{aligned}$
因为二次项系数$ a=-1 ＜ 0 $，该二次函数图象开口向下，当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2 $时，$ S $取得最大值，且$ x=2 $满足$ 0＜x＜20 $。
答：x的值为$\boldsymbol{2}$。
4. 提升题 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且DG=BE，AH=CF=2BE.记四边形EFGH的面积为y，BE长为x.
(1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)求y的最小值.
(1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)求y的最小值.
答案
解：
(1) 在矩形ABCD中，$AB=3$，$BC=4$，因此矩形ABCD的面积为$3×4=12$。
已知$BE=x$，由题意得：$DG=BE=x$，$AH=CF=2x$，
则$AE=3-x$，$BF=4-2x$，$CG=3-x$，$DH=4-2x$。
四个角落的直角三角形面积分别为：
$S_{△ AEH}=\frac{1}{2}· AE· AH=\frac{1}{2}(3-x)·2x=3x-x^2$，
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}· BE· BF=\frac{1}{2}x·(4-2x)=2x-x^2$，
$S_{△ CFG}=\frac{1}{2}· CF· CG=\frac{1}{2}·2x·(3-x)=3x-x^2$，
$S_{△ DGH}=\frac{1}{2}· DG· DH=\frac{1}{2}x·(4-2x)=2x-x^2$。
因此四边形EFGH的面积：
$\begin{aligned}y&=12-(S_{△ AEH}+S_{△ BEF}+S_{△ CFG}+S_{△ DGH})\\&=12-[(3x-x^2)+(2x-x^2)+(3x-x^2)+(2x-x^2)]\\&=4x^2-10x+12\end{aligned}$
由各线段长度为正，得$\begin{cases}x＞0\\4-2x＞0\end{cases}$，解得自变量$x$的取值范围是$0＜x＜2$。
(2) 对于二次函数$y=4x^2-10x+12$，其中$a=4＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$，且$0＜\frac{5}{4}＜2$。
将$x=\frac{5}{4}$代入函数解析式：
$y=4×(\frac{5}{4})^2-10×\frac{5}{4}+12=\frac{25}{4}-\frac{50}{4}+12=\frac{23}{4}$
因此$y$的最小值为$\frac{23}{4}$。
答：(1) $y$关于$x$的函数解析式为$y=4x^2-10x+12$，自变量取值范围是$0＜x＜2$；(2) $y$的最小值为$\frac{23}{4}$。
(1) 在矩形ABCD中，$AB=3$，$BC=4$，因此矩形ABCD的面积为$3×4=12$。
已知$BE=x$，由题意得：$DG=BE=x$，$AH=CF=2x$，
则$AE=3-x$，$BF=4-2x$，$CG=3-x$，$DH=4-2x$。
四个角落的直角三角形面积分别为：
$S_{△ AEH}=\frac{1}{2}· AE· AH=\frac{1}{2}(3-x)·2x=3x-x^2$，
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}· BE· BF=\frac{1}{2}x·(4-2x)=2x-x^2$，
$S_{△ CFG}=\frac{1}{2}· CF· CG=\frac{1}{2}·2x·(3-x)=3x-x^2$，
$S_{△ DGH}=\frac{1}{2}· DG· DH=\frac{1}{2}x·(4-2x)=2x-x^2$。
因此四边形EFGH的面积：
$\begin{aligned}y&=12-(S_{△ AEH}+S_{△ BEF}+S_{△ CFG}+S_{△ DGH})\\&=12-[(3x-x^2)+(2x-x^2)+(3x-x^2)+(2x-x^2)]\\&=4x^2-10x+12\end{aligned}$
由各线段长度为正，得$\begin{cases}x＞0\\4-2x＞0\end{cases}$，解得自变量$x$的取值范围是$0＜x＜2$。
(2) 对于二次函数$y=4x^2-10x+12$，其中$a=4＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$，且$0＜\frac{5}{4}＜2$。
将$x=\frac{5}{4}$代入函数解析式：
$y=4×(\frac{5}{4})^2-10×\frac{5}{4}+12=\frac{25}{4}-\frac{50}{4}+12=\frac{23}{4}$
因此$y$的最小值为$\frac{23}{4}$。
答：(1) $y$关于$x$的函数解析式为$y=4x^2-10x+12$，自变量取值范围是$0＜x＜2$；(2) $y$的最小值为$\frac{23}{4}$。
