登录
1.某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利$y$(单位:元)与销售单价$x$(单位:元)之间满足关系$y=-x^2+70x-800$，要想获得最大利润，则销售单价为()
A.30元
B.35元
C.40元
D.45元
A.30元
B.35元
C.40元
D.45元
答案
B
解析
已知获利函数$y=-x^2+70x-800$，其中二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=70$，得$x=-\frac{70}{2×(-1)}=35$，即销售单价为35元时可获得最大利润。
2.某便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润$ y $（单位：元）与每件销售价$ x $（单位：元）之间满足关系$ y=-2(x-20)^2 + 1558 $，由于某种原因，价格区间为$ 15≤ x≤19 $，那么一周可获得的最大利润是()
A.1554元
B.1556元
C.1558元
D.1560元
A.1554元
B.1556元
C.1558元
D.1560元
答案
B
解析
已知二次函数$y=-2(x-20)^2 + 1558$，二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=20$。
在给定区间$15≤ x≤19$内，函数值$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=19$时，$y$取得最大值。
将$x=19$代入解析式：
$y=-2×(19-20)^2 + 1558=-2×1 + 1558=1556$，即一周最大利润为1556元。
在给定区间$15≤ x≤19$内，函数值$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=19$时，$y$取得最大值。
将$x=19$代入解析式：
$y=-2×(19-20)^2 + 1558=-2×1 + 1558=1556$，即一周最大利润为1556元。
3.某书店出售某种文具盒，若每个可获利x元，一天可售出$(8-x)$个.当一天出售该种文具盒的总利润$y$最大时，$x$的值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
根据总利润=单个利润×日销售量，可得总利润的函数关系式：
$y=x(8-x)=-x^2+8x$
该二次函数二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值。
由二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=8$，得：
$x=-\frac{8}{2×(-1)}=4$
即当$x=4$时，总利润$y$最大。
$y=x(8-x)=-x^2+8x$
该二次函数二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值。
由二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=8$，得：
$x=-\frac{8}{2×(-1)}=4$
即当$x=4$时，总利润$y$最大。
4.若某种设备的销售利润 y(单位:万元)关于销售数量 x(单位:万件)的函数解析式为 $y=-2x^2 + 4x + 5$，则利润的()
A.最大值为5万元
B.最大值为7万元
C.最小值为5万元
D.最小值为7万元
A.最大值为5万元
B.最大值为7万元
C.最小值为5万元
D.最小值为7万元
答案
B
解析
对于二次函数$y=-2x^2 + 4x + 5$，二次项系数$a=-2＜0$，函数图象开口向下，利润$y$存在最大值。
用配方法将函数变形：
$y=-2x^2+4x+5=-2(x^2-2x)+5=-2(x-1)^2 +7$
当$x=1$时，$y$取得最大值7万元。
用配方法将函数变形：
$y=-2x^2+4x+5=-2(x^2-2x)+5=-2(x-1)^2 +7$
当$x=1$时，$y$取得最大值7万元。
5.国庆期间，南昌万寿宫热闹非凡，游人如织，大学生小云在景区内卖气球，销售过程中发现每天的销量$y$(单位:个)与售价$x$(单位:元/个)之间满足关系$y=-2x+70$.已知一个气球的成本是5元，若不计其他成本，则小云每天获得的最大利润是元.
答案
解：设小云每天获得的利润为$W$元。
根据题意，单个气球的利润为$(x-5)$元，则总利润：
$\begin{aligned}W&=(x-5)y\\&=(x-5)(-2x+70)\\&=-2x^2 + 80x - 350\\&=-2(x-20)^2 + 450\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，二次函数开口向下，且售价$x$满足$x＞5$，销量$y=-2x+70＞0$即$x＜35$，
$\therefore$ 当$x=20$时，$W$取得最大值，最大值为450元。
答：小云每天获得的最大利润是450元。
根据题意，单个气球的利润为$(x-5)$元，则总利润：
$\begin{aligned}W&=(x-5)y\\&=(x-5)(-2x+70)\\&=-2x^2 + 80x - 350\\&=-2(x-20)^2 + 450\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，二次函数开口向下，且售价$x$满足$x＞5$，销量$y=-2x+70＞0$即$x＜35$，
$\therefore$ 当$x=20$时，$W$取得最大值，最大值为450元。
答：小云每天获得的最大利润是450元。
6. 提升题 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为每件120元时，每天可售出20件.经市场调查发现，若每件童装降价1元，则平均可多售出2件.设每件童装降价x元.
(1)每天可销售件，每件盈利元(用含x的代数式表示)；
(2)当平均每天盈利1200元时，求x的值；
(3)设平均每天可盈利y元，求y的最大值.
(1)每天可销售件，每件盈利元(用含x的代数式表示)；
(2)当平均每天盈利1200元时，求x的值；
(3)设平均每天可盈利y元，求y的最大值.
答案
解：
(1) 每天可销售$\boldsymbol{(20+2x)}$件，每件盈利$\boldsymbol{(40-x)}$元；
(2) 根据总盈利=每件盈利×销售量，列方程：
$(40-x)(20+2x)=1200$
整理得：$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
由实际意义可知$0＜x＜40$，两个解均符合要求。
(3) 由题意得：
$y=(40-x)(20+2x)$
整理得：$y=-2x^2 +60x +800$
配方得：$y=-2(x-15)^2 +1250$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=15$时，$y$取得最大值，最大值为1250。
答：(2) $x$的值为10或20；(3) $y$的最大值为1250元。
(1) 每天可销售$\boldsymbol{(20+2x)}$件，每件盈利$\boldsymbol{(40-x)}$元；
(2) 根据总盈利=每件盈利×销售量，列方程：
$(40-x)(20+2x)=1200$
整理得：$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
由实际意义可知$0＜x＜40$，两个解均符合要求。
(3) 由题意得：
$y=(40-x)(20+2x)$
整理得：$y=-2x^2 +60x +800$
配方得：$y=-2(x-15)^2 +1250$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=15$时，$y$取得最大值，最大值为1250。
答：(2) $x$的值为10或20；(3) $y$的最大值为1250元。
