1.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{3}{5}$，$BC=9$，则$AB$的长为。

解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由正弦的定义可得
$\sin A = \frac{BC}{AB}$
将$\sin A=\dfrac{3}{5}$，$BC=9$代入得：
$\frac{3}{5} = \frac{9}{AB}$
解得$AB=15$。

2. 在 Rt△ABC 中，AC=5，BC=12，则 sin B 的值为。

解：分两种情况讨论：
1. 当$∠ C=90°$时，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$。
2. 当$∠ A=90°$时，
此时$BC$为斜边，根据正弦的定义，$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$。
若$∠ B=90°$，则斜边为$AC$，$AC=5＜BC=12$，不符合直角三角形斜边大于直角边的性质，该情况不存在。
综上，$\sin B$的值为$\frac{5}{13}$或$\frac{5}{12}$。

3. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$, $CD⊥ AB$,垂足为 D.若 $AC=\sqrt{5},BC=2$,则 $\sin∠ ACD$ 的值为()

A.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

A

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+2^2}=3$。
由∠ACB=90°，CD⊥AB，可得∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，根据同角的余角相等，得∠ACD=∠B。
因此$\sin∠ ACD=\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。

4.如图，若网格小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）

A.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$

B

1. 过点A作AD⊥OB，交OB的延长线于点D；
2. 根据网格小正方形边长为1，由勾股定理计算得：$OA=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
3. 在Rt△AOD中，由正弦的定义：$\sin∠ AOB=\frac{AD}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。

5.如图,在$△ ABC$中,$BD\bot AC$于点$D$,$CE\bot AB$于点$E$,$BD$与$CE$相交于点$O$.下列线段的比不能表示$\sin A$的是 ()


A.$\frac{BD}{AB}$
B.$\frac{CD}{OC}$
C.$\frac{AE}{AD}$
D.$\frac{BE}{OB}$

C

根据正弦的定义逐一分析：
1. 在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$\sin A=\frac{BD}{AB}$，选项A可表示$\sin A$；
2. 由$BD⊥ AC$，$CE⊥ AB$，得$∠ A + ∠ ACE=90°$，$∠ COD + ∠ ACE=90°$，因此$∠ A=∠ COD$，在$Rt△ COD$中，$\sin∠ COD=\frac{CD}{OC}$，即$\sin A=\frac{CD}{OC}$，选项B可表示$\sin A$；
3. 由$∠ AEC=∠ ADB=90°$，$△ AEC∽△ ADB$，得$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，不等于$\sin A$，选项C不能表示$\sin A$；
4. 同理可得$∠ A=∠ BOE$，在$Rt△ BOE$中，$\sin∠ BOE=\frac{BE}{OB}$，即$\sin A=\frac{BE}{OB}$，选项D可表示$\sin A$。

6. 提升题 解答下列问题.
(1)【问题背景】如图①,锐角三角形ABC内接于半径为r的$\odot O$,求证:$\frac{BC}{\sin A}=2r$.
(2)【问题解决】如图②,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=9$,$AC=12$,经过点B的$\odot O$交AB于点D,交CB的延长线于点E.
①$\sin∠ ABC=$;
②连接DE,若$\odot O$的半径为5,求DE的长.

解：
(1) 证明：
连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BCD=90°。
∵ ∠A和∠D都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠A=∠D。
在Rt△BCD中，$\sin D=\frac{BC}{BD}$，
又 $BD=2r$，代入得 $\sin A=\frac{BC}{2r}$，
整理得 $\frac{BC}{\sin A}=2r$，得证。
(2) ① 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=9$，$AC=12$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$，
$\therefore \sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$。
② ∵ 点D、B、E都在⊙O上，
∴ $△ BDE$内接于⊙O。
由(1)的结论可得：$\frac{DE}{\sin∠ DBE}=2×5=10$。
∵ $∠ DBE$与$∠ ABC$是对顶角，
∴ $∠ DBE=∠ ABC$，
$\therefore \sin∠ DBE=\sin∠ ABC=\frac{4}{5}$，
$\therefore DE=10×\frac{4}{5}=8$。
综上，①的结果为$\frac{4}{5}$，②中DE的长为8。