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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$AB=4$，$AC=1$，则$\cos A$的值为（）
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{\sqrt{15}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{15}}{15}$
D.$\frac{4\sqrt{17}}{17}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{\sqrt{15}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{15}}{15}$
D.$\frac{4\sqrt{17}}{17}$
答案
A
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义：锐角$A$的余弦等于$∠ A$的邻边与斜边的比值，可得$\cos A=\frac{AC}{AB}$。已知$AB=4$，$AC=1$，代入得$\cos A=\frac{1}{4}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，则下列表达式正确的是（）
A.$c=\dfrac{a}{\cos A}$
B.$c=\dfrac{a}{\cos B}$
C.$c=a·\cos A$
D.$c=a·\cos B$
A.$c=\dfrac{a}{\cos A}$
B.$c=\dfrac{a}{\cos B}$
C.$c=a·\cos A$
D.$c=a·\cos B$
答案
B
解析
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}$，变形得$b=c·\cos A$，因此选项A、C错误；
$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，变形得$c=\frac{a}{\cos B}$，因此选项B正确，选项D错误。
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}$，变形得$b=c·\cos A$，因此选项A、C错误；
$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，变形得$c=\frac{a}{\cos B}$，因此选项B正确，选项D错误。
3. 在$△ ABC$中，若$AB=10$，$AC=6$，$BC=8$，则$\tan A$的值为.
答案
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
解析
解：
∵ 在△ABC中，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，
∴ $AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$AB^2 = 10^2 = 100$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$，
∴ $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
最终
∵ 在△ABC中，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，
∴ $AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$AB^2 = 10^2 = 100$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$，
∴ $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
最终
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$AB=3BC$，则$\tan B$的值为。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
解析
解：
设$BC = x$，则$AB = 3x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3x)^2 - x^2} = 2\sqrt{2}x$。
由正切的定义可得：
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{2}x}{x} = 2\sqrt{2}$。
最终
设$BC = x$，则$AB = 3x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3x)^2 - x^2} = 2\sqrt{2}x$。
由正切的定义可得：
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{2}x}{x} = 2\sqrt{2}$。
最终
5.《九章算术》中的《方田》章给出了公式:弧田面积=$\frac{1}{2}$(弦×矢+矢²).弧田(如图)是由圆弧和其对应的弦所围成的,"弦"即圆弧所对的弦长AB,"矢"等于半径与圆心O到弦的距离的差.若"弦"为8,"矢"为2,则$\cos∠OAB$的值为.
答案
$\boldsymbol{\frac{4}{5}}$
解析
解：过点O作OC⊥AB于点C，
由垂径定理得：$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
设圆O的半径为r，由题意“矢”为2，得$r - OC = 2$，即$OC = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = AC^2 + OC^2$
即$r^2 = 4^2 + (r - 2)^2$
展开整理得$4r = 20$，解得$r = 5$，即$OA = 5$。
由余弦的定义得：$\cos∠ OAB = \frac{AC}{OA} = \frac{4}{5}$。
最终
由垂径定理得：$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
设圆O的半径为r，由题意“矢”为2，得$r - OC = 2$，即$OC = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = AC^2 + OC^2$
即$r^2 = 4^2 + (r - 2)^2$
展开整理得$4r = 20$，解得$r = 5$，即$OA = 5$。
由余弦的定义得：$\cos∠ OAB = \frac{AC}{OA} = \frac{4}{5}$。
最终
6.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$BC=2AC$,分别求 $\sin B,\cos B,\tan B$ 的值.
答案
解：设$AC = x$，则$BC = 2AC = 2x$。
$\because ∠ C = 90°$，
$\therefore$ 由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5}x$。
根据三角函数的定义：
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{2x}{\sqrt{5}x} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$。
$\because ∠ C = 90°$，
$\therefore$ 由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5}x$。
根据三角函数的定义：
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{2x}{\sqrt{5}x} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$。
7. 提升题＞如图,在平面直角坐标系中,已知$C(0,4),P(2,0),D(0,3m+1),Q(2,1-m)$.
(1)$\frac{PQ}{CD}=$;
(2)当四边形$CDPQ$是直角梯形时,求其最小内角的正切值.
(1)$\frac{PQ}{CD}=$;
(2)当四边形$CDPQ$是直角梯形时,求其最小内角的正切值.
答案
解：
(1) ∵ $P(2,0)$，$Q(2,1-m)$，两点横坐标相同，
∴ $PQ = |(1-m)-0| = |1-m|$。
∵ $C(0,4)$，$D(0,3m+1)$，两点横坐标相同，
∴ $CD = |4-(3m+1)| = |3-3m| = 3|1-m|$。
∴ $\frac{PQ}{CD} = \frac{|1-m|}{3|1-m|} = \frac{1}{3}$。
(2) 由题意，$CD$在$y$轴上，$PQ$在直线$x=2$上，故$CD // PQ$，四边形$CDPQ$为梯形。
要使四边形$CDPQ$为直角梯形，需垂直于$x$轴的平行线的腰平行于$x$轴，分两种情况：
① 当腰$DP ⊥ CD$时，$DP // x$轴，即$D$与$P$纵坐标相等：
$3m+1 = 0$，解得$m=-\frac{1}{3}$。
此时$D(0,0)$，$Q(2,\frac{4}{3})$。
过$Q$作$QE ⊥ y$轴于$E$，则$E(0,\frac{4}{3})$，$CE = 4-\frac{4}{3} = \frac{8}{3}$，$QE=2$。
在$\mathrm{Rt}△ CQE$中，$\tan∠ DCQ = \frac{QE}{CE} = \frac{2}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{4}$。
此时四边形两个非直角内角均为锐角，正切值为$\frac{3}{4}$，其余两个内角为直角，最小内角的正切值为$\frac{3}{4}$。
② 当腰$CQ ⊥ CD$时，$CQ // x$轴，即$C$与$Q$纵坐标相等：
$1-m = 4$，解得$m=-3$。
此时$D(0,-8)$，$Q(2,4)$。
过$P$作$PF ⊥ y$轴于$F$，则$F(0,0)$，$DF = 0 - (-8) = 8$，$PF=2$。
在$\mathrm{Rt}△ DPF$中，$\tan∠ CDP = \frac{PF}{DF} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。
此时四边形一个内角为钝角，两个内角为直角，最小内角为$∠ D$，其正切值为$\frac{1}{4}$。
综上，直角梯形$CDPQ$最小内角的正切值为$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$。
$\boxed{(1)\ \dfrac{1}{3}}$
$\boxed{(2)\ \dfrac{1}{4}或\dfrac{3}{4}}$
(1) ∵ $P(2,0)$，$Q(2,1-m)$，两点横坐标相同，
∴ $PQ = |(1-m)-0| = |1-m|$。
∵ $C(0,4)$，$D(0,3m+1)$，两点横坐标相同，
∴ $CD = |4-(3m+1)| = |3-3m| = 3|1-m|$。
∴ $\frac{PQ}{CD} = \frac{|1-m|}{3|1-m|} = \frac{1}{3}$。
(2) 由题意，$CD$在$y$轴上，$PQ$在直线$x=2$上，故$CD // PQ$，四边形$CDPQ$为梯形。
要使四边形$CDPQ$为直角梯形，需垂直于$x$轴的平行线的腰平行于$x$轴，分两种情况：
① 当腰$DP ⊥ CD$时，$DP // x$轴，即$D$与$P$纵坐标相等：
$3m+1 = 0$，解得$m=-\frac{1}{3}$。
此时$D(0,0)$，$Q(2,\frac{4}{3})$。
过$Q$作$QE ⊥ y$轴于$E$，则$E(0,\frac{4}{3})$，$CE = 4-\frac{4}{3} = \frac{8}{3}$，$QE=2$。
在$\mathrm{Rt}△ CQE$中，$\tan∠ DCQ = \frac{QE}{CE} = \frac{2}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{4}$。
此时四边形两个非直角内角均为锐角，正切值为$\frac{3}{4}$，其余两个内角为直角，最小内角的正切值为$\frac{3}{4}$。
② 当腰$CQ ⊥ CD$时，$CQ // x$轴，即$C$与$Q$纵坐标相等：
$1-m = 4$，解得$m=-3$。
此时$D(0,-8)$，$Q(2,4)$。
过$P$作$PF ⊥ y$轴于$F$，则$F(0,0)$，$DF = 0 - (-8) = 8$，$PF=2$。
在$\mathrm{Rt}△ DPF$中，$\tan∠ CDP = \frac{PF}{DF} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。
此时四边形一个内角为钝角，两个内角为直角，最小内角为$∠ D$，其正切值为$\frac{1}{4}$。
综上，直角梯形$CDPQ$最小内角的正切值为$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$。
$\boxed{(1)\ \dfrac{1}{3}}$
$\boxed{(2)\ \dfrac{1}{4}或\dfrac{3}{4}}$
