1. $2\sin 45°$的值等于（）

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

B

根据特殊角的三角函数值，可得$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，将其代入计算：$2\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。

2.在$△ ABC$中，若$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，则这个三角形一定是()

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形

A

根据特殊角的三角函数值：由$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$∠ A=45°$；由$\tan B=\sqrt{3}$，可得$∠ B=60°$。根据三角形内角和为$180°$，计算得$∠ C=180°-45°-60°=75°$。三个内角均小于$90°$，因此该三角形是锐角三角形。

3. 在$△ ABC$中，若$∠ A = 105°$，$∠ B = 45°$，则$\cos C$的值为.

解：在△ABC中，
∵ ∠A=105°，∠B=45°，
∴ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 105° - 45° = 30°，
∴ $\cos C = \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

4.若$20°＜α＜90°$，且$\sin(α - 20°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则$α=$

$\boldsymbol{80°}$

解：
∵ $20°＜α＜90°$，
∴ $0°＜α-20°＜70°$。
又∵ $\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin(α-20°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $α - 20° = 60°$，
解得 $α=80°$。
最终

5.在$△ ABC$中,若$∠ A,∠ B$均为锐角,且满足$(1-\tan A)^2 + \left|\cos B - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right| = 0$,则$∠ C$的度数为________.

$\boldsymbol{105°}$

解：
∵ $(1-\tan A)^2 ≥ 0$，$\left|\cos B - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right| ≥ 0$，且$(1-\tan A)^2 + \left|\cos B - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right| = 0$
∴ $1-\tan A = 0$，$\cos B - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0$
即 $\tan A = 1$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
∵ ∠A，∠B均为锐角
∴ ∠A = 45°，∠B = 30°
∴ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 30° = 105°

6.计算：
(1)$3\sin 60° - 2\cos 30° + \tan 60°$；
(2)$\sqrt{2}(2\cos 45° - \frac{3}{2}\tan 30°) + \frac{\sqrt{6}}{2}$；
(3)$\tan^2 30° - \cos^2 30° - \sin^2 45° · \tan 45°$；
(4)$(2\cos 45°)^{-1} + (π - \tan 60°)^0$。

解：
(1) 原式$=3×\frac{\sqrt{3}}{2} - 2×\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}$
$=\frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} + \sqrt{3}$
$=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
(2) 原式$=\sqrt{2}×(2×\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{\sqrt{6}}{2}$
$=\sqrt{2}×(\sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{6}}{2}$
$=2 - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$
$=2$
(3) 原式$=(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 × 1$
$=\frac{1}{3} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$
$=-\frac{11}{12}$
(4) 原式$=(2×\frac{\sqrt{2}}{2})^{-1} + 1$
$=(\sqrt{2})^{-1} + 1$
$=\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

7. 提升题 如图，AB是$\odot O$的直径，半径$OC⊥ AB$，垂足为$O$，$P$是$BA$延长线上一点，连接$CP$，交$\odot O$于点$D$，连接$AD$，且$∠ BAD=75°$。
(1)求$∠ C$的度数；
(2)过点$P$作$\odot O$的切线，切点为$E$，交$CO$的延长线于点$F$，求$\cos∠ OFP$的值。

解：
(1) 连接OD。
∵ OA、OD都是⊙O的半径，
∴ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ODA=75°，
∴ ∠AOD=180° - 75°×2=30°。
∵ OC⊥AB，
∴ ∠AOC=90°，
∴ ∠COD=∠AOC - ∠AOD=90° - 30°=60°。
又∵ OC=OD，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ ∠C=60°。
(2) 设⊙O的半径为r，则OC=OE=r。
∵ OC⊥AB，
∴ ∠COP=90°，
在Rt△COP中，∠C=60°，
∴ OP=OC·tan∠C = r·tan60° = √3 r。
∵ PE是⊙O的切线，E为切点，
∴ OE⊥PF，即∠OEP=90°。
在Rt△OEP中，$\sin∠ OPF = \frac{OE}{OP} = \frac{r}{\sqrt{3}r} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
∵ F在CO的延长线上，OC⊥AB，
∴ ∠FOP=90°，
∴ ∠OFP + ∠OPF = 90°，
∴ $\cos∠ OFP = \cos(90° - ∠ OPF) = \sin∠ OPF = \frac{\sqrt{3}}{3}$。