8. 提升题 如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,D是BC边上的一个动点(不与B,C重合).在AC上取一点E,使∠ADE=30°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数解析式并写出自变量x的取值范围;
(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.

解：
(1) 证明：
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C=30°。
∵ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 30° + ∠BAD，
又 ∠ADC = ∠ADE + ∠CDE，∠ADE=30°，
∴ 30° + ∠BAD = 30° + ∠CDE，即∠BAD=∠CDE。
又 ∠B=∠C=30°，
∴ △ABD∽△DCE。
(2) 过点A作AH⊥BC于H，
∵ AB=2，∠B=30°，
∴ BH = AB·cos30° = √3，
∴ BC = 2BH = 2√3，
∴ DC = 2√3 - x，EC = AC - AE = 2 - y。
∵ △ABD∽△DCE，
∴ $\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，即 $\frac{2}{2\sqrt{3}-x}=\frac{x}{2-y}$，
整理得：$y=\frac{1}{2}x^2-\sqrt{3}x+2$。
∵ D不与B、C重合，
∴ 自变量x的取值范围是 $0＜x＜2\sqrt{3}$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当AD=AE时，∠ADE=∠AED=30°，
∴ ∠DAE=120°，与∠BAC=120°重合，此时点D与点B重合，不符合题意，舍去。
② 当AD=DE时，
∵ △ABD∽△DCE，AD=DE，
∴ △ABD≌△DCE，
∴ AB=DC=2，即 $2\sqrt{3}-x=2$，解得 $x=2\sqrt{3}-2$，
代入 $y=\frac{1}{2}x^2-\sqrt{3}x+2$，得 $y=4-2\sqrt{3}$，即 $AE=4-2\sqrt{3}$。
③ 当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=30°，
∴ ∠BAD=∠BAC - ∠DAE=90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=2，
∴ $x·\cos30°=2$，解得 $x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
代入 $y=\frac{1}{2}x^2-\sqrt{3}x+2$，得 $y=\frac{2}{3}$，即 $AE=\frac{2}{3}$。
综上，AE的长为 $4-2\sqrt{3}$ 或 $\frac{2}{3}$。