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1. 已知菱形ABCD的周长为20 cm，∠ABC=2∠BCD，则对角线AC的长为（
A.6 cm
B.$5\sqrt{3}$ cm
C.$5\sqrt{2}$ cm
D.5 cm
B
）。A.6 cm
B.$5\sqrt{3}$ cm
C.$5\sqrt{2}$ cm
D.5 cm
答案
1.B
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：第一步，根据菱形四条边长度相等的性质，结合周长先算出菱形的边长；第二步，利用菱形邻角互补的特征，结合已知的两个内角的倍数关系，计算出内角的具体度数；第三步，根据菱形对角线互相垂直平分、且平分一组对角的性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出对角线一半的长度，进而得到AC的总长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，周长为20cm
∴菱形的边长AB=BC=CD=DA=20÷4=5cm，且AD//BC，对角线AC、BD互相垂直平分，BD平分∠ABC
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠BCD=180°
又
∵∠ABC=2∠BCD，代入得：2∠BCD+∠BCD=180°
解得∠BCD=60°，则∠ABC=120°
设AC、BD交于点O，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠BAO=90°-60°=30°
∴BO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×5=2.5cm
由勾股定理得：AO=$\sqrt{AB^2-BO^2}$=$\sqrt{5^2-2.5^2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$ cm
∴AC=2AO=2×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$5\sqrt{3}$ cm
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是菱形性质的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握菱形的边、角、对角线的相关性质，结合直角三角形的相关性质即可求解，是菱形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题可按以下步骤思考：第一步，根据菱形四条边长度相等的性质，结合周长先算出菱形的边长；第二步，利用菱形邻角互补的特征，结合已知的两个内角的倍数关系，计算出内角的具体度数；第三步，根据菱形对角线互相垂直平分、且平分一组对角的性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出对角线一半的长度，进而得到AC的总长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，周长为20cm
∴菱形的边长AB=BC=CD=DA=20÷4=5cm，且AD//BC，对角线AC、BD互相垂直平分，BD平分∠ABC
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠BCD=180°
又
∵∠ABC=2∠BCD，代入得：2∠BCD+∠BCD=180°
解得∠BCD=60°，则∠ABC=120°
设AC、BD交于点O，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠BAO=90°-60°=30°
∴BO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×5=2.5cm
由勾股定理得：AO=$\sqrt{AB^2-BO^2}$=$\sqrt{5^2-2.5^2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$ cm
∴AC=2AO=2×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$5\sqrt{3}$ cm
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是菱形性质的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握菱形的边、角、对角线的相关性质，结合直角三角形的相关性质即可求解，是菱形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点E是边BC的中点，若OE=3，则AB的长为(
A.5
B.6
C.7
D.8
B
)。A.5
B.6
C.7
D.8
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先结合已知图形回忆相关性质：首先菱形的对角线互相垂直，可得△BOC为直角三角形；其次点E是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可先求出BC的长度；最后根据菱形四条边相等的性质，即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AB=BC
∴△BOC是直角三角形
∵E是BC的中点
∴OE是Rt△BOC斜边BC的中线
∴$OE=\frac{1}{2}BC$
已知OE=3，代入得$BC=2×3=6$
又
∵AB=BC
∴AB=6
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查菱形性质与直角三角形斜边中线性质的综合运用，解题的突破口是识别出OE是直角三角形斜边的中线，进而建立已知量和待求边长的关系。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知图形回忆相关性质：首先菱形的对角线互相垂直，可得△BOC为直角三角形；其次点E是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可先求出BC的长度；最后根据菱形四条边相等的性质，即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AB=BC
∴△BOC是直角三角形
∵E是BC的中点
∴OE是Rt△BOC斜边BC的中线
∴$OE=\frac{1}{2}BC$
已知OE=3，代入得$BC=2×3=6$
又
∵AB=BC
∴AB=6
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查菱形性质与直角三角形斜边中线性质的综合运用，解题的突破口是识别出OE是直角三角形斜边的中线，进而建立已知量和待求边长的关系。
【难度系数】
0.8
3. 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC=6，BD=8，过点O作OE⊥BC于点E，则下列结论正确的是（
A.$AB=7$
B.$OE=5$
C.$∠BAC=∠ABC$
D.$∠ABD=∠COE$
D
）。A.$AB=7$
B.$OE=5$
C.$∠BAC=∠ABC$
D.$∠ABD=∠COE$
答案
3.D
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆菱形的核心性质：对角线互相垂直平分、四边相等、对角线平分内角。首先根据对角线长度算出菱形边长，逐一验证选项A；再用面积法求OE的长度，验证选项B；根据三角形内角特点判断选项C；最后利用同角的余角相等结合菱形角的平分线性质验证选项D。
【解析】
已知四边形ABCD是菱形，根据菱形性质可得：
1. 对角线互相垂直平分：$AC⊥BD$，$AO=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$BO=OD=\frac{1}{2}BD=4$，$AB=BC=CD=AD$，$BD$平分$∠ABC$。
2. 验证选项A：在$Rt△AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故A错误。
3. 验证选项B：$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×BO×OC=\frac{1}{2}×4×3=6$，又$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×BC×OE$，$BC=AB=5$，代入得$\frac{1}{2}×5×OE=6$，解得$OE=\frac{12}{5}=2.4$，故B错误。
4. 验证选项C：$AB=BC=5$，$AC=6$，$△ABC$三边不相等，不是等边三角形，故$∠BAC≠∠ABC$，C错误。
5. 验证选项D：
∵$AC⊥BD$，
∴$∠OBC+∠OCB=90°$；
∵$OE⊥BC$，
∴$∠COE+∠OCB=90°$，根据同角的余角相等得$∠OBC=∠COE$。又
∵$BD$平分$∠ABC$，
∴$∠ABD=∠OBC$，故$∠ABD=∠COE$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；同角的余角相等
【点评】
本题围绕菱形的性质设计考点，需要学生灵活运用勾股定理、面积法、角的等量代换等知识逐一分析选项，是菱形相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要回忆菱形的核心性质：对角线互相垂直平分、四边相等、对角线平分内角。首先根据对角线长度算出菱形边长，逐一验证选项A；再用面积法求OE的长度，验证选项B；根据三角形内角特点判断选项C；最后利用同角的余角相等结合菱形角的平分线性质验证选项D。
【解析】
已知四边形ABCD是菱形，根据菱形性质可得：
1. 对角线互相垂直平分：$AC⊥BD$，$AO=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$BO=OD=\frac{1}{2}BD=4$，$AB=BC=CD=AD$，$BD$平分$∠ABC$。
2. 验证选项A：在$Rt△AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故A错误。
3. 验证选项B：$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×BO×OC=\frac{1}{2}×4×3=6$，又$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×BC×OE$，$BC=AB=5$，代入得$\frac{1}{2}×5×OE=6$，解得$OE=\frac{12}{5}=2.4$，故B错误。
4. 验证选项C：$AB=BC=5$，$AC=6$，$△ABC$三边不相等，不是等边三角形，故$∠BAC≠∠ABC$，C错误。
5. 验证选项D：
∵$AC⊥BD$，
∴$∠OBC+∠OCB=90°$；
∵$OE⊥BC$，
∴$∠COE+∠OCB=90°$，根据同角的余角相等得$∠OBC=∠COE$。又
∵$BD$平分$∠ABC$，
∴$∠ABD=∠OBC$，故$∠ABD=∠COE$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；同角的余角相等
【点评】
本题围绕菱形的性质设计考点，需要学生灵活运用勾股定理、面积法、角的等量代换等知识逐一分析选项，是菱形相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是CD的中点，F是OA的中点，连接EF，求EF的长。
答案
4.解:如图,取OC的中点G,连接EG。
∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=12,
∴AC⊥BD,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4,OD=$\frac{1}{2}$BD=6。
∵E是CD的中点,F是OA的中点,G是OC的中点,
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=2,OG=$\frac{1}{2}$OC=2,EG是△OCD的中位线,
∴GF=OF+OG=4,EG//OD,EG=$\frac{1}{2}$OD=3,
∴∠EGF=90°。
在Rt△EGF中,由勾股定理,得
EF=$\sqrt{GF^2+EG^2}$=$\sqrt{4^2+3^2}$=5,
∴EF的长是5。
解析
【分析】
求解本题可按以下思路展开：首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，得到AC与BD的垂直关系以及半段对角线的长度；题中出现多个中点，可联想到三角形中位线定理，因此添加辅助线取OC的中点G，连接EG，构造△OCD的中位线；再利用中位线的性质得到EG的长度与位置关系，推出△EGF为直角三角形，求出直角边GF的长度后，通过勾股定理即可计算EF的长度。
【解析】
解：如图，取OC的中点G，连接EG。
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=12，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OD=$\frac{1}{2}$BD=6。
∵E是CD的中点，F是OA的中点，G是OC的中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=2，OG=$\frac{1}{2}$OC=2，EG是△OCD的中位线，
∴GF=OF+OG=4，EG//OD，EG=$\frac{1}{2}$OD=3，
∴EG⊥AC，即∠EGF=90°。
在Rt△EGF中，由勾股定理得：
EF=$\sqrt{GF^2+EG^2}$=$\sqrt{4^2+3^2}$=5。
【答案】
EF的长是5。
【知识点】
菱形的性质；三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题重点考查几何基础性质的综合运用，核心是通过添加辅助线构造中位线和直角三角形，将所求线段转化到直角三角形中求解，是一类典型的中点类几何计算题型。
【难度系数】
0.7
求解本题可按以下思路展开：首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，得到AC与BD的垂直关系以及半段对角线的长度；题中出现多个中点，可联想到三角形中位线定理，因此添加辅助线取OC的中点G，连接EG，构造△OCD的中位线；再利用中位线的性质得到EG的长度与位置关系，推出△EGF为直角三角形，求出直角边GF的长度后，通过勾股定理即可计算EF的长度。
【解析】
解：如图，取OC的中点G，连接EG。
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=12，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OD=$\frac{1}{2}$BD=6。
∵E是CD的中点，F是OA的中点，G是OC的中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=2，OG=$\frac{1}{2}$OC=2，EG是△OCD的中位线，
∴GF=OF+OG=4，EG//OD，EG=$\frac{1}{2}$OD=3，
∴EG⊥AC，即∠EGF=90°。
在Rt△EGF中，由勾股定理得：
EF=$\sqrt{GF^2+EG^2}$=$\sqrt{4^2+3^2}$=5。
【答案】
EF的长是5。
【知识点】
菱形的性质；三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题重点考查几何基础性质的综合运用，核心是通过添加辅助线构造中位线和直角三角形，将所求线段转化到直角三角形中求解，是一类典型的中点类几何计算题型。
【难度系数】
0.7
1. 菱形具有的性质是(
A.对角线相等
B.一条对角线平分一组对角
C.邻角相等
D.对角互补
B
)。A.对角线相等
B.一条对角线平分一组对角
C.邻角相等
D.对角互补
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以采用“性质回忆+选项逐一排除”的思路：首先明确菱形的所有基本性质，再将每个选项的描述和菱形性质进行比对，判断是否是所有菱形都普遍具备的性质，排除仅特殊菱形（如正方形）才具备、或是其他特殊四边形（如矩形）具备的性质，最终选出正确答案。
【解析】
首先回顾菱形的通用性质：
①边：对边平行，四条边长度相等；
②角：对角相等，邻角互补；
③对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
接下来逐一分析选项：
A. 对角线相等是矩形的性质，菱形的对角线仅满足互相垂直平分，不一定相等，故A错误；
B. 菱形的任意一条对角线都平分一组对角，这是所有菱形都具备的性质，故B正确；
C. 菱形的邻角为互补关系，仅当菱形为特殊的正方形时邻角才相等，不属于菱形普遍具有的性质，故C错误；
D. 菱形的对角为相等关系，仅当菱形为特殊的正方形时对角才互补，不属于菱形普遍具有的性质，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；特殊四边形性质辨析
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对菱形性质的记忆与理解，解题时要注意区分普通菱形和特殊菱形的性质差异，同时不要混淆菱形与矩形等其他特殊平行四边形的性质。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以采用“性质回忆+选项逐一排除”的思路：首先明确菱形的所有基本性质，再将每个选项的描述和菱形性质进行比对，判断是否是所有菱形都普遍具备的性质，排除仅特殊菱形（如正方形）才具备、或是其他特殊四边形（如矩形）具备的性质，最终选出正确答案。
【解析】
首先回顾菱形的通用性质：
①边：对边平行，四条边长度相等；
②角：对角相等，邻角互补；
③对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
接下来逐一分析选项：
A. 对角线相等是矩形的性质，菱形的对角线仅满足互相垂直平分，不一定相等，故A错误；
B. 菱形的任意一条对角线都平分一组对角，这是所有菱形都具备的性质，故B正确；
C. 菱形的邻角为互补关系，仅当菱形为特殊的正方形时邻角才相等，不属于菱形普遍具有的性质，故C错误；
D. 菱形的对角为相等关系，仅当菱形为特殊的正方形时对角才互补，不属于菱形普遍具有的性质，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；特殊四边形性质辨析
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对菱形性质的记忆与理解，解题时要注意区分普通菱形和特殊菱形的性质差异，同时不要混淆菱形与矩形等其他特殊平行四边形的性质。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠ABC=60°$,$AE⊥BC$于点$E$,若$AE=3\ \mathrm{cm}$,则边$AD$的长为(
A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
D.$\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}$
B
)。A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
D.$\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先从已知的菱形性质入手：菱形的四条边相等，因此AD=AB，我们只需要求出AB的长度即可得到AD的长。已知AE⊥BC，可得△ABE是直角三角形，结合∠ABC=60°的条件，可利用特殊直角三角形的边角关系或勾股定理计算AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB（菱形的四条边相等）。
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
设BE=x cm，则AB=2x cm，
由勾股定理得：$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
代入AE=3 cm，可得：$3^2 + x^2 = (2x)^2$，
整理得：$9 + x^2 = 4x^2$，即$3x^2=9$，
解得$x=\sqrt{3}$（边长为正数，舍去负根），
∴AB=2x=$2\sqrt{3}$ cm，
∴AD=AB=$2\sqrt{3}$ cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，结合特殊直角三角形的边角关系即可求解，解题的关键是利用菱形四边相等的性质将求AD的长度转化为求AB的长度。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的菱形性质入手：菱形的四条边相等，因此AD=AB，我们只需要求出AB的长度即可得到AD的长。已知AE⊥BC，可得△ABE是直角三角形，结合∠ABC=60°的条件，可利用特殊直角三角形的边角关系或勾股定理计算AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB（菱形的四条边相等）。
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
设BE=x cm，则AB=2x cm，
由勾股定理得：$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
代入AE=3 cm，可得：$3^2 + x^2 = (2x)^2$，
整理得：$9 + x^2 = 4x^2$，即$3x^2=9$，
解得$x=\sqrt{3}$（边长为正数，舍去负根），
∴AB=2x=$2\sqrt{3}$ cm，
∴AD=AB=$2\sqrt{3}$ cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，结合特殊直角三角形的边角关系即可求解，解题的关键是利用菱形四边相等的性质将求AD的长度转化为求AB的长度。
【难度系数】
0.7
3. 如图，O是平面直角坐标系的原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3,4)，则顶点A的坐标为（
A.$(-4,2)$
B.$(-\sqrt{3},4)$
C.$(-2,4)$
D.$(-4,\sqrt{3})$
C
）。A.$(-4,2)$
B.$(-\sqrt{3},4)$
C.$(-2,4)$
D.$(-4,\sqrt{3})$
答案
3.C
解析
【分析】
解决这道题我们可以按以下思路思考：首先回忆菱形的核心性质：四条边长度相等，对边互相平行。第一步先根据点C的坐标，用勾股定理计算出菱形的边长OC的长度；第二步根据菱形对边相等的性质得到AC的长度，再结合AC和x轴上的OB平行，可知点A的纵坐标和点C的纵坐标相同；最后根据AC的长度，结合点C的横坐标就能算出点A的横坐标，得到A的坐标。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵点C的坐标为(3,4)，
∴OD=3，CD=4，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵四边形ABOC是菱形，
∴$AC=OC=5$，且$AC// OB$，
又
∵OB在x轴上，
∴AC平行于x轴，即点A的纵坐标与点C的纵坐标相等，为4，
∵点A在点C的左侧，AC长度为5，
∴点A的横坐标为$3-5=-2$，
∴顶点A的坐标为$(-2,4)$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是菱形性质和平面直角坐标系结合的基础题，解题的关键是利用菱形边长相等和对边平行的性质，结合勾股定理求出边长，进而推导出未知点的坐标，是坐标与几何结合的常见题型。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以按以下思路思考：首先回忆菱形的核心性质：四条边长度相等，对边互相平行。第一步先根据点C的坐标，用勾股定理计算出菱形的边长OC的长度；第二步根据菱形对边相等的性质得到AC的长度，再结合AC和x轴上的OB平行，可知点A的纵坐标和点C的纵坐标相同；最后根据AC的长度，结合点C的横坐标就能算出点A的横坐标，得到A的坐标。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵点C的坐标为(3,4)，
∴OD=3，CD=4，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵四边形ABOC是菱形，
∴$AC=OC=5$，且$AC// OB$，
又
∵OB在x轴上，
∴AC平行于x轴，即点A的纵坐标与点C的纵坐标相等，为4，
∵点A在点C的左侧，AC长度为5，
∴点A的横坐标为$3-5=-2$，
∴顶点A的坐标为$(-2,4)$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是菱形性质和平面直角坐标系结合的基础题，解题的关键是利用菱形边长相等和对边平行的性质，结合勾股定理求出边长，进而推导出未知点的坐标，是坐标与几何结合的常见题型。
【难度系数】
0.7
