登录
10.新考法 如图，这是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图.
(1)甲折出的AD是边BC上的
(2)乙折出的AD是△ABC的
(3)丙折出的点D是边BC的
(1)甲折出的AD是边BC上的
高
；(2)乙折出的AD是△ABC的
角平分线
；(3)丙折出的点D是边BC的
中点
，线段AD是△ABC的中线
.答案
10.(1)高 (2)角平分线 (3)中点;中线
解析
【分析】
解题时需结合折叠的性质（折叠前后对应角相等、对应边相等），匹配三角形的高、角平分线、中线、中点的定义逐一判断：首先回忆各概念：①三角形的高是从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足的连线；②三角形的角平分线是内角平分线与对边相交，顶点和交点的连线；③线段中点是将线段分成两条等长线段的点；④三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段。再对应三幅图的折叠特征分别判断即可。
【解析】
(1) 甲图折叠后点C落在BC边上的C'处，可得∠ADC=∠ADC'=90°，即AD⊥BC，根据三角形高的定义，AD是边BC上的高。
(2) 乙图折叠后点C落在AB边上的C'处，可得∠CAD=∠C'AD，即AD平分∠BAC，根据三角形角平分线的定义，AD是△ABC的角平分线。
(3) 丙图折叠后点C与点B重合，可得BD=DC，因此点D是边BC的中点；根据三角形中线的定义，连接顶点A和BC中点D的线段AD是△ABC的中线。
【答案】
(1)高 (2)角平分线 (3)中点；中线
【知识点】
三角形的高、三角形的角平分线、三角形的中线
【点评】
本题结合折纸操作考查三角形基础线段的定义，解题核心是将折叠的相等关系对应到几何概念中，能帮助大家提升对基础几何概念的辨析能力。
【难度系数】
0.9
解题时需结合折叠的性质（折叠前后对应角相等、对应边相等），匹配三角形的高、角平分线、中线、中点的定义逐一判断：首先回忆各概念：①三角形的高是从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足的连线；②三角形的角平分线是内角平分线与对边相交，顶点和交点的连线；③线段中点是将线段分成两条等长线段的点；④三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段。再对应三幅图的折叠特征分别判断即可。
【解析】
(1) 甲图折叠后点C落在BC边上的C'处，可得∠ADC=∠ADC'=90°，即AD⊥BC，根据三角形高的定义，AD是边BC上的高。
(2) 乙图折叠后点C落在AB边上的C'处，可得∠CAD=∠C'AD，即AD平分∠BAC，根据三角形角平分线的定义，AD是△ABC的角平分线。
(3) 丙图折叠后点C与点B重合，可得BD=DC，因此点D是边BC的中点；根据三角形中线的定义，连接顶点A和BC中点D的线段AD是△ABC的中线。
【答案】
(1)高 (2)角平分线 (3)中点；中线
【知识点】
三角形的高、三角形的角平分线、三角形的中线
【点评】
本题结合折纸操作考查三角形基础线段的定义，解题核心是将折叠的相等关系对应到几何概念中，能帮助大家提升对基础几何概念的辨析能力。
【难度系数】
0.9
11. [2026马鞍山期末]如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F.已知AB=2AC，DE=12，则DF的长为（
A.3
B.4
C.6
D.8
C
）A.3
B.4
C.6
D.8
答案
11.C
解析
【分析】
首先我们观察题目条件，AD是△ABC的中线，根据三角形中线的性质，中线可将原三角形分为两个面积相等的三角形，即△ABD和△ACD面积相等。接下来我们可以分别用底和高表示这两个三角形的面积：△ABD以AB为底时，高是DF；△ACD以AC为底时，高是DE。已知AB和AC的数量关系以及DE的长度，通过面积相等建立等式就可以求出DF的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DF$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DE$，
∴$\frac{1}{2} × AB × DF = \frac{1}{2} × AC × DE$，化简得$AB · DF = AC · DE$。
将AB=2AC，DE=12代入上式：
$2AC · DF = AC × 12$，
∵AC≠0，两边同时除以AC得：$2DF=12$，解得$DF=6$。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.三角形面积计算
3.等面积法
【点评】
本题核心是利用三角形中线平分面积的特点，结合等面积法建立边长和高的等量关系求解，解题时要准确找到两个等面积三角形对应的底和高，代入已知条件即可快速计算。
【难度系数】
0.7
首先我们观察题目条件，AD是△ABC的中线，根据三角形中线的性质，中线可将原三角形分为两个面积相等的三角形，即△ABD和△ACD面积相等。接下来我们可以分别用底和高表示这两个三角形的面积：△ABD以AB为底时，高是DF；△ACD以AC为底时，高是DE。已知AB和AC的数量关系以及DE的长度，通过面积相等建立等式就可以求出DF的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DF$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DE$，
∴$\frac{1}{2} × AB × DF = \frac{1}{2} × AC × DE$，化简得$AB · DF = AC · DE$。
将AB=2AC，DE=12代入上式：
$2AC · DF = AC × 12$，
∵AC≠0，两边同时除以AC得：$2DF=12$，解得$DF=6$。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.三角形面积计算
3.等面积法
【点评】
本题核心是利用三角形中线平分面积的特点，结合等面积法建立边长和高的等量关系求解，解题时要准确找到两个等面积三角形对应的底和高，代入已知条件即可快速计算。
【难度系数】
0.7
12. 几何直观 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$AB=10\ \mathrm{cm}$。若动点$P$从点$C$开始，按$C \to A \to B \to C$的路径运动，且速度为每秒$2\ \mathrm{cm}$。设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$。
(1)当$CP ⊥ AB$时，$CP$的长度为
(2)当$t=$
(3)当$t$为何值时，$△ BCP$的面积恰好等于$△ ABC$面积的一半？
(1)当$CP ⊥ AB$时，$CP$的长度为
$\frac{24}{5}$
$\mathrm{cm}$；(2)当$t=$
6
时，$CP$把$△ ABC$的周长分成相等的两部分；(3)当$t$为何值时，$△ BCP$的面积恰好等于$△ ABC$面积的一半？
答案
12.解：(1)$\frac{24}{5}$ (2)6 (3)当$t$的值为$\frac{13}{2}$或2时，$△ BCP$的面积恰好等于$△ ABC$面积的一半.
解析
【分析】
(1) 求CP⊥AB时的CP长度，可利用直角三角形面积的两种计算方法：△ABC的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高（即CP）的一半计算，列等式即可求解。
(2) 先计算△ABC的总周长，周长的一半即为点P运动的路程，结合运动速度即可求出时间t。
(3) 要使△BCP的面积为△ABC面积的一半，需分两种情况讨论：①点P在AC边上时，以BC为底、CP为高列面积等式求解；②点P在AB边上时，根据同高的两个三角形面积比等于底的比，求出BP的长度，再计算点P运动的总路程，进而求出时间t。
【解析】
已知△ABC中∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，点P运动速度为2cm/s。
先计算基础量：
△ABC周长：$8+6+10=24\ \mathrm{cm}$
△ABC面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm^2}$
(1) 当$CP⊥ AB$时，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CP$，代入数值得：
$24=\frac{1}{2}×10× CP$，解得$CP=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$。
(2) CP把△ABC周长分成相等的两部分，则每部分周长为$24÷2=12\ \mathrm{cm}$，即点P运动路程为12cm，因此：
$t=12÷2=6\ \mathrm{s}$。
(3) 要使$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm^2}$，分情况讨论：
① 当点P在AC边上时，$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}× BC× CP$，其中$CP=2t$，代入得：
$\frac{1}{2}×6×2t=12$，解得$t=2$；
② 当点P在AB边上时，△BCP和△ABC同高，面积比等于底的比，即$\frac{BP}{AB}=\frac{1}{2}$，因此$BP=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，此时点P运动总路程为$CA+AP=8+(10-5)=13\ \mathrm{cm}$，因此$t=13÷2=\frac{13}{2}$；
点P在BC边上时，B、C、P共线，无法构成三角形，不做考虑。
综上，t的值为2或$\frac{13}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{24}{5}$；(2) $6$；(3) $2$或$\frac{13}{2}$
【知识点】
直角三角形面积计算，动点问题，分类讨论思想
【点评】
本题是直角三角形背景下的动点综合题，解题时要注意结合图形分情况讨论点P的位置，灵活运用面积法求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求CP⊥AB时的CP长度，可利用直角三角形面积的两种计算方法：△ABC的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高（即CP）的一半计算，列等式即可求解。
(2) 先计算△ABC的总周长，周长的一半即为点P运动的路程，结合运动速度即可求出时间t。
(3) 要使△BCP的面积为△ABC面积的一半，需分两种情况讨论：①点P在AC边上时，以BC为底、CP为高列面积等式求解；②点P在AB边上时，根据同高的两个三角形面积比等于底的比，求出BP的长度，再计算点P运动的总路程，进而求出时间t。
【解析】
已知△ABC中∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，点P运动速度为2cm/s。
先计算基础量：
△ABC周长：$8+6+10=24\ \mathrm{cm}$
△ABC面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm^2}$
(1) 当$CP⊥ AB$时，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CP$，代入数值得：
$24=\frac{1}{2}×10× CP$，解得$CP=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$。
(2) CP把△ABC周长分成相等的两部分，则每部分周长为$24÷2=12\ \mathrm{cm}$，即点P运动路程为12cm，因此：
$t=12÷2=6\ \mathrm{s}$。
(3) 要使$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm^2}$，分情况讨论：
① 当点P在AC边上时，$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}× BC× CP$，其中$CP=2t$，代入得：
$\frac{1}{2}×6×2t=12$，解得$t=2$；
② 当点P在AB边上时，△BCP和△ABC同高，面积比等于底的比，即$\frac{BP}{AB}=\frac{1}{2}$，因此$BP=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，此时点P运动总路程为$CA+AP=8+(10-5)=13\ \mathrm{cm}$，因此$t=13÷2=\frac{13}{2}$；
点P在BC边上时，B、C、P共线，无法构成三角形，不做考虑。
综上，t的值为2或$\frac{13}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{24}{5}$；(2) $6$；(3) $2$或$\frac{13}{2}$
【知识点】
直角三角形面积计算，动点问题，分类讨论思想
【点评】
本题是直角三角形背景下的动点综合题，解题时要注意结合图形分情况讨论点P的位置，灵活运用面积法求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
1. 如图，BD是△ABC的中线，G是BD的中点，连接AG，若△BCD的面积为20，则图中阴影部分的面积是。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，题目给出了两条和中点相关的条件（BD是△ABC的中线、G是BD的中点），要求阴影部分面积，可结合三角形中线的面积性质推导：第一步，根据BD是△ABC的中线，可知BD将△ABC分为面积相等的两部分，由此可求出△ABD的面积；第二步，根据G是BD的中点，可知AG是△ABD的中线，AG将△ABD分为面积相等的两部分，阴影部分为其中一份，即可求出阴影部分面积。
【解析】
解：
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=DC，△ABD和△BCD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=20$。
又
∵G是BD的中点，
∴BG=GD，△ABG和△ADG等底同高，
∴$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于三角形面积计算的基础题型，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，只要掌握中线的面积性质，逐步推导已知面积和阴影面积的关系即可快速求解，是三角形面积相关的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，题目给出了两条和中点相关的条件（BD是△ABC的中线、G是BD的中点），要求阴影部分面积，可结合三角形中线的面积性质推导：第一步，根据BD是△ABC的中线，可知BD将△ABC分为面积相等的两部分，由此可求出△ABD的面积；第二步，根据G是BD的中点，可知AG是△ABD的中线，AG将△ABD分为面积相等的两部分，阴影部分为其中一份，即可求出阴影部分面积。
【解析】
解：
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=DC，△ABD和△BCD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=20$。
又
∵G是BD的中点，
∴BG=GD，△ABG和△ADG等底同高，
∴$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于三角形面积计算的基础题型，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，只要掌握中线的面积性质，逐步推导已知面积和阴影面积的关系即可快速求解，是三角形面积相关的常考基础题。
【难度系数】
0.7
2.如图，AD是$△ ABC$的中线，BE是$△ ABD$的中线，$EF ⊥ BC$于点F.若$S_{△ ABC}=24$，$BD=4$，则EF的长为.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，逐步推导得到△BDE的面积；再结合EF⊥BC的条件，可知EF是△BDE中底边BD对应的高，最后利用三角形面积公式即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=24$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×24=12$。
又
∵BE是△ABD的中线，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×12=6$。
∵$EF⊥BC$，
∴EF是△BDE中底边BD上的高，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×BD×EF$，
已知$BD=4$，代入得：
$6=\frac{1}{2}×4×EF$，
解得$EF=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
三角形中线的面积性质，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的与三角形中线相关的面积问题，核心是掌握三角形中线等分三角形面积的规律，结合面积公式即可求解，解题时注意找准对应三角形的底和高。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，逐步推导得到△BDE的面积；再结合EF⊥BC的条件，可知EF是△BDE中底边BD对应的高，最后利用三角形面积公式即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=24$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×24=12$。
又
∵BE是△ABD的中线，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×12=6$。
∵$EF⊥BC$，
∴EF是△BDE中底边BD上的高，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×BD×EF$，
已知$BD=4$，代入得：
$6=\frac{1}{2}×4×EF$，
解得$EF=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
三角形中线的面积性质，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的与三角形中线相关的面积问题，核心是掌握三角形中线等分三角形面积的规律，结合面积公式即可求解，解题时注意找准对应三角形的底和高。
【难度系数】
0.7
3.如图，在$△ ABC$中，已知$D$，$E$，$F$分别为$BC$，$AD$，$CE$的中点，且$S_{△ BEF}=4$，则$△ ABC$的面积是________.
答案
$\boldsymbol{16}$
解析
【分析】
题目中出现多个中点，对应多条三角形中线，我们可以利用“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高的三角形面积相等）”这一性质解题。首先从已知面积的$△ BEF$出发，利用F是CE中点求出$△ BCE$的面积，再利用E是AD中点推出$△ BCE$和$△ ABC$的面积关系，最终求出$△ ABC$的面积。
【解析】
解：$\because$ F是CE的中点，
$\therefore$ BF是$△ BCE$的中线，可得$S_{△ BCE}=2S_{△ BEF}$，
已知$S_{△ BEF}=4$，代入得$S_{△ BCE}=2×4=8$。
又$\because$ E是AD的中点，
$\therefore$ BE是$△ ABD$的中线，CE是$△ ACD$的中线，
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
则$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
$\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ BCE}=2×8=16$。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
三角形中线的性质、等底同高三角形面积关系
【点评】
本题是典型的和三角形中线相关的面积计算问题，多次运用中线分三角形为等面积两部分的性质即可求解，解题的关键是理清各个三角形之间的面积推导关系。
【难度系数】
0.7
题目中出现多个中点，对应多条三角形中线，我们可以利用“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高的三角形面积相等）”这一性质解题。首先从已知面积的$△ BEF$出发，利用F是CE中点求出$△ BCE$的面积，再利用E是AD中点推出$△ BCE$和$△ ABC$的面积关系，最终求出$△ ABC$的面积。
【解析】
解：$\because$ F是CE的中点，
$\therefore$ BF是$△ BCE$的中线，可得$S_{△ BCE}=2S_{△ BEF}$，
已知$S_{△ BEF}=4$，代入得$S_{△ BCE}=2×4=8$。
又$\because$ E是AD的中点，
$\therefore$ BE是$△ ABD$的中线，CE是$△ ACD$的中线，
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
则$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
$\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ BCE}=2×8=16$。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
三角形中线的性质、等底同高三角形面积关系
【点评】
本题是典型的和三角形中线相关的面积计算问题，多次运用中线分三角形为等面积两部分的性质即可求解，解题的关键是理清各个三角形之间的面积推导关系。
【难度系数】
0.7
