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8. 新情境 如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，cobb角(∠O)是一个测量侧弯弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当cobb角＞10°时为脊柱侧弯。已知AC⊥BO，BD⊥AO，CO=DO，AD=BC。
(1)△ACO与△BDO全等吗？请说明理由。
(2)若小明是轻度脊柱侧弯(10°＜∠O＜25°)，写出图中与∠O相等的角：
(1)△ACO与△BDO全等吗？请说明理由。
(2)若小明是轻度脊柱侧弯(10°＜∠O＜25°)，写出图中与∠O相等的角：
∠APD，∠BPC
。答案
8.解：(1)△ACO与△BDO全等，理由：略.(2)∠APD，∠BPC
解析
【分析】
(1) 要判断△ACO和△BDO是否全等，先回忆全等三角形的判定定理。首先由垂直的性质可得两个三角形都是直角三角形，有公共角∠O；再结合已知AD=BC、CO=DO，可推出AO=BO，满足AAS全等判定的条件，即可证明全等。
(2) 要找与∠O相等的角，利用直角三角形两锐角互余的性质，可得∠O与∠OAC互余，∠APD与∠PAD（即∠OAC）互余，可推出∠APD=∠O；再根据对顶角相等，可得∠BPC与∠APD相等，即可得到所有和∠O相等的角。
【解析】
(1) △ACO与△BDO全等，理由如下：
∵ AC⊥BO，BD⊥AO，
∴ $∠ ACO=∠ BDO=90°$，
∵ AD=BC，CO=DO，
∴ $AD+DO=BC+CO$，即$AO=BO$，
在△ACO和△BDO中：
$\begin{cases}∠ ACO=∠ BDO \\∠ O=∠ O \\AO=BO\end{cases}$
∴ $△ ACO≌△ BDO$（AAS）。
(2)
∵ BD⊥AO，
∴ $∠ ADP=90°$，
∴ $∠ PAD+∠ APD=90°$，
∵ AC⊥BO，
∴ $∠ ACO=90°$，
∴ $∠ O+∠ OAC=90°$，
又
∵ $∠ PAD=∠ OAC$，
∴ $∠ APD=∠ O$，
∵ $∠ APD$与$∠ BPC$是对顶角，
∴ $∠ BPC=∠ APD=∠ O$，
故与∠O相等的角为∠APD、∠BPC。
【答案】
(1) 全等，理由见解析；(2) $∠ APD$，$∠ BPC$
【知识点】
全等三角形的判定，直角三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题结合脊柱侧弯测量的生活情境，考查三角形相关的几何知识，注重将数学知识应用于实际问题，解题时熟练掌握全等三角形判定、直角三角形和对顶角的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△ACO和△BDO是否全等，先回忆全等三角形的判定定理。首先由垂直的性质可得两个三角形都是直角三角形，有公共角∠O；再结合已知AD=BC、CO=DO，可推出AO=BO，满足AAS全等判定的条件，即可证明全等。
(2) 要找与∠O相等的角，利用直角三角形两锐角互余的性质，可得∠O与∠OAC互余，∠APD与∠PAD（即∠OAC）互余，可推出∠APD=∠O；再根据对顶角相等，可得∠BPC与∠APD相等，即可得到所有和∠O相等的角。
【解析】
(1) △ACO与△BDO全等，理由如下：
∵ AC⊥BO，BD⊥AO，
∴ $∠ ACO=∠ BDO=90°$，
∵ AD=BC，CO=DO，
∴ $AD+DO=BC+CO$，即$AO=BO$，
在△ACO和△BDO中：
$\begin{cases}∠ ACO=∠ BDO \\∠ O=∠ O \\AO=BO\end{cases}$
∴ $△ ACO≌△ BDO$（AAS）。
(2)
∵ BD⊥AO，
∴ $∠ ADP=90°$，
∴ $∠ PAD+∠ APD=90°$，
∵ AC⊥BO，
∴ $∠ ACO=90°$，
∴ $∠ O+∠ OAC=90°$，
又
∵ $∠ PAD=∠ OAC$，
∴ $∠ APD=∠ O$，
∵ $∠ APD$与$∠ BPC$是对顶角，
∴ $∠ BPC=∠ APD=∠ O$，
故与∠O相等的角为∠APD、∠BPC。
【答案】
(1) 全等，理由见解析；(2) $∠ APD$，$∠ BPC$
【知识点】
全等三角形的判定，直角三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题结合脊柱侧弯测量的生活情境，考查三角形相关的几何知识，注重将数学知识应用于实际问题，解题时熟练掌握全等三角形判定、直角三角形和对顶角的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（
A
）答案
9.A
解析
【分析】
要判断哪个作图痕迹正确，首先要明确过点C作AB平行线的尺规作图原理：我们要利用“同位角相等，两直线平行”的判定定理，通过尺规在点C处构造一个和∠BAC相等的同位角，就能得到AB的平行线。作图的核心步骤是：先在点A处作弧截得角的两边的线段长度，再在点C处用相同半径作弧，再截取和A处等长的弧段确定角的另一边，最终连线得到平行线，对照这个步骤逐一判断四个选项即可。
【解析】
过直线外一点作已知直线平行线的尺规作图依据是“同位角相等，两直线平行”，正确作图步骤为：
1. 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、A、C所在的底边（截线）于两个点；
2. 以点C为圆心，和步骤1相同的长度为半径画弧，交底边于一个点；
3. 以步骤2得到的交点为圆心，步骤1中弧与AB、底边的两个交点的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接点C和该交点，所得直线就是AB的平行线。
逐一分析选项：
选项A：作图痕迹完全符合上述步骤，构造出了与∠BAC相等的同位角，可得到AB的平行线，正确；
选项B：以C为圆心作弧时半径与A处弧的半径不同，且交点落在长方形上边缘，无法构造相等的同位角，错误；
选项C：未正确截取和A处等长的弧段，所作的角和∠BAC不相等，无法得到平行线，错误；
选项D：缺少截取等长弧段的步骤，无法构造相等的同位角，错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行线的判定
2. 尺规作相等角
【点评】
本题考查尺规作平行线的方法，解题关键是理解作平行线的本质是构造相等的同位角，需要熟练掌握基本尺规作图的步骤和对应的几何原理，避免混淆弧的半径、遗漏作图步骤。
【难度系数】
0.7
要判断哪个作图痕迹正确，首先要明确过点C作AB平行线的尺规作图原理：我们要利用“同位角相等，两直线平行”的判定定理，通过尺规在点C处构造一个和∠BAC相等的同位角，就能得到AB的平行线。作图的核心步骤是：先在点A处作弧截得角的两边的线段长度，再在点C处用相同半径作弧，再截取和A处等长的弧段确定角的另一边，最终连线得到平行线，对照这个步骤逐一判断四个选项即可。
【解析】
过直线外一点作已知直线平行线的尺规作图依据是“同位角相等，两直线平行”，正确作图步骤为：
1. 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、A、C所在的底边（截线）于两个点；
2. 以点C为圆心，和步骤1相同的长度为半径画弧，交底边于一个点；
3. 以步骤2得到的交点为圆心，步骤1中弧与AB、底边的两个交点的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接点C和该交点，所得直线就是AB的平行线。
逐一分析选项：
选项A：作图痕迹完全符合上述步骤，构造出了与∠BAC相等的同位角，可得到AB的平行线，正确；
选项B：以C为圆心作弧时半径与A处弧的半径不同，且交点落在长方形上边缘，无法构造相等的同位角，错误；
选项C：未正确截取和A处等长的弧段，所作的角和∠BAC不相等，无法得到平行线，错误；
选项D：缺少截取等长弧段的步骤，无法构造相等的同位角，错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行线的判定
2. 尺规作相等角
【点评】
本题考查尺规作平行线的方法，解题关键是理解作平行线的本质是构造相等的同位角，需要熟练掌握基本尺规作图的步骤和对应的几何原理，避免混淆弧的半径、遗漏作图步骤。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=30°$，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B，E为圆心，大于$\frac{1}{2}BE$的长为半径画弧，两弧在$∠ BAC$的内部交于点F，作射线AF，则$∠ DAF=$
10°
.答案
10.10°
解析
【分析】
解题首先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再结合尺规作图的特征判断AF是∠BAC的角平分线，进而求出∠BAF的度数；接着利用AD是高的性质，在直角三角形ABD中求出∠BAD的度数，最后通过角的和差关系计算∠DAF的度数即可。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠B=50°，∠C=30°，则$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-30°=100°$。
2. 判断AF的性质并求∠BAF：
由题中的尺规作图步骤可知，AF是∠BAC的角平分线，因此$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
3. 求∠BAD的度数：
因为AD是BC边上的高，所以$∠ ADB=90°$，在Rt△ABD中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ BAD=90°-∠ B=90°-50°=40°$。
4. 计算∠DAF：
$∠ DAF=∠ BAF-∠ BAD=50°-40°=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的尺规作图，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查学生对尺规作图的识别能力和三角形角度计算的掌握程度，解题的关键是准确判断出AF为∠BAC的角平分线，再结合三角形相关性质逐步计算角度。
【难度系数】
0.7
解题首先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再结合尺规作图的特征判断AF是∠BAC的角平分线，进而求出∠BAF的度数；接着利用AD是高的性质，在直角三角形ABD中求出∠BAD的度数，最后通过角的和差关系计算∠DAF的度数即可。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠B=50°，∠C=30°，则$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-30°=100°$。
2. 判断AF的性质并求∠BAF：
由题中的尺规作图步骤可知，AF是∠BAC的角平分线，因此$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
3. 求∠BAD的度数：
因为AD是BC边上的高，所以$∠ ADB=90°$，在Rt△ABD中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ BAD=90°-∠ B=90°-50°=40°$。
4. 计算∠DAF：
$∠ DAF=∠ BAF-∠ BAD=50°-40°=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的尺规作图，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查学生对尺规作图的识别能力和三角形角度计算的掌握程度，解题的关键是准确判断出AF为∠BAC的角平分线，再结合三角形相关性质逐步计算角度。
【难度系数】
0.7
11.如图,已知线段a,b和∠α,用直尺和圆规作一个△ABC,使得∠A=∠α,AB=a+b,AC=b.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
11.解：图略.
解析
【分析】
本题是已知两边及其夹角作三角形的尺规作图题，解题思路遵循“SAS”作三角形的逻辑：首先先确定夹角的大小，即先作出等于∠α的角作为△ABC的∠A；再分别在角的两条边上确定两条边的长度，其中长度为a+b的边需通过两次截取已知线段得到，长度为b的边直接截取即可；最后连接两条边的非公共端点即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作∠MAN=∠α；
2. 在射线AM上顺次截取AD=a，DB=b，可得AB=AD+DB=a+b；
3. 在射线AN上截取AC=b；
4. 连接BC，△ABC即为所求作的三角形。
作图需保留全部作图痕迹，无需书写操作步骤。
【答案】
图略
【知识点】
作一个角等于已知角；作一条线段等于已知线段；尺规作三角形
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心考查基本尺规作图的操作能力，解题关键是熟练掌握作等角、作等线段的方法，按照“先定角、再定边、后连线”的顺序操作即可，注意作图时要保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
本题是已知两边及其夹角作三角形的尺规作图题，解题思路遵循“SAS”作三角形的逻辑：首先先确定夹角的大小，即先作出等于∠α的角作为△ABC的∠A；再分别在角的两条边上确定两条边的长度，其中长度为a+b的边需通过两次截取已知线段得到，长度为b的边直接截取即可；最后连接两条边的非公共端点即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作∠MAN=∠α；
2. 在射线AM上顺次截取AD=a，DB=b，可得AB=AD+DB=a+b；
3. 在射线AN上截取AC=b；
4. 连接BC，△ABC即为所求作的三角形。
作图需保留全部作图痕迹，无需书写操作步骤。
【答案】
图略
【知识点】
作一个角等于已知角；作一条线段等于已知线段；尺规作三角形
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心考查基本尺规作图的操作能力，解题关键是熟练掌握作等角、作等线段的方法，按照“先定角、再定边、后连线”的顺序操作即可，注意作图时要保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
12.在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是 （
A.M点
B.N点
C.P点
D.Q点
(第12题) (第13题)
A
）A.M点
B.N点
C.P点
D.Q点
(第12题) (第13题)
答案
12.A
解析
【分析】
首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在角的平分线上。因此本题的解题思路可以转化为：判断四个点中哪个点位于∠AOB的角平分线上。结合正方形网格的特点，先观察∠AOB两条边的倾斜程度，确定角平分线的大致位置，再匹配四个点的位置即可得出结论。
【解析】
解：根据角平分线的性质可知：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，因此到∠AOB两边距离相等的点一定在∠AOB的角平分线上。
观察正方形网格中∠AOB的位置，画出∠AOB的角平分线，可发现只有M点在这条角平分线上，P、Q、N三点均不在∠AOB的角平分线上，因此满足条件的是M点。
【答案】
A
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是将“到角两边距离相等”的条件，转化为判断点是否在角平分线上的问题，结合网格的直观性可以快速得到结果，侧重考查对基础性质的理解和灵活转化的能力。
【难度系数】
0.8
首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在角的平分线上。因此本题的解题思路可以转化为：判断四个点中哪个点位于∠AOB的角平分线上。结合正方形网格的特点，先观察∠AOB两条边的倾斜程度，确定角平分线的大致位置，再匹配四个点的位置即可得出结论。
【解析】
解：根据角平分线的性质可知：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，因此到∠AOB两边距离相等的点一定在∠AOB的角平分线上。
观察正方形网格中∠AOB的位置，画出∠AOB的角平分线，可发现只有M点在这条角平分线上，P、Q、N三点均不在∠AOB的角平分线上，因此满足条件的是M点。
【答案】
A
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是将“到角两边距离相等”的条件，转化为判断点是否在角平分线上的问题，结合网格的直观性可以快速得到结果，侧重考查对基础性质的理解和灵活转化的能力。
【难度系数】
0.8
13. [2026芜湖期末]如图，在平面直角坐标系中，AD是$\mathrm{Rt}△ OAB$的角平分线，点D的纵坐标是$-2$，$AB=9$，则$△ ABD$的面积为（
A.36
B.18
C.9
D.27
C
）A.36
B.18
C.9
D.27
答案
13.C
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确Rt△OAB中∠AOB是直角，AD是∠OAB的角平分线，因此点D到OA的距离等于点D到AB的距离。结合点D的纵坐标可求出D到OA的距离，也就是△ABD中AB边上的高，最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E。
∵ AD是Rt△OAB的角平分线，∠AOB=90°（即DO⊥OA），
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ DE = OD。
∵ 点D的纵坐标是-2，
∴ OD = |-2| = 2，即DE = 2。
已知AB=9，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 9 × 2 = 9$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，平面直角坐标系的坐标
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是结合坐标和角平分线的性质，快速得到三角形对应边上的高，再代入面积公式求解，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确Rt△OAB中∠AOB是直角，AD是∠OAB的角平分线，因此点D到OA的距离等于点D到AB的距离。结合点D的纵坐标可求出D到OA的距离，也就是△ABD中AB边上的高，最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E。
∵ AD是Rt△OAB的角平分线，∠AOB=90°（即DO⊥OA），
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ DE = OD。
∵ 点D的纵坐标是-2，
∴ OD = |-2| = 2，即DE = 2。
已知AB=9，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 9 × 2 = 9$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，平面直角坐标系的坐标
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是结合坐标和角平分线的性质，快速得到三角形对应边上的高，再代入面积公式求解，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
14.如图，点D到△ABC三边的距离相等，连接BD，AD，BD的延长线交AC于点E.若∠ADE=50°，则∠C=
80
°答案
14.80
解析
【分析】
首先，由“点D到△ABC三边的距离相等”，根据角平分线的判定可知D是△ABC的内角平分线交点（内心），因此AD平分∠BAC、BD平分∠ABC。其次，观察∠ADE的位置，它是△ABD的外角，根据三角形外角性质可得到∠ADE与∠BAD、∠ABD的数量关系。再结合角平分线的性质，将∠BAD、∠ABD转化为△ABC两个内角的一半，求出∠BAC+∠ABC的度数，最后利用三角形内角和定理即可算出∠C的大小。
【解析】
解：
∵点D到△ABC三边的距离相等，
∴D是△ABC的内心，即AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC$。
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴$∠ ADE=∠ BAD+∠ ABD=50°$，
代入得$\frac{1}{2}∠ BAC+\frac{1}{2}∠ ABC=50°$，
∴$∠ BAC+∠ ABC=100°$。
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$，
∴$∠ C=180°-(∠ BAC+∠ ABC)=180°-100°=80°$。
【答案】
80
【知识点】
三角形内心的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的突破口是根据点到三边距离相等判断出点D为三角形的内心，再结合外角性质和内角和定理逐步推导计算，解题时要注意角的转化关系。
【难度系数】
0.65
首先，由“点D到△ABC三边的距离相等”，根据角平分线的判定可知D是△ABC的内角平分线交点（内心），因此AD平分∠BAC、BD平分∠ABC。其次，观察∠ADE的位置，它是△ABD的外角，根据三角形外角性质可得到∠ADE与∠BAD、∠ABD的数量关系。再结合角平分线的性质，将∠BAD、∠ABD转化为△ABC两个内角的一半，求出∠BAC+∠ABC的度数，最后利用三角形内角和定理即可算出∠C的大小。
【解析】
解：
∵点D到△ABC三边的距离相等，
∴D是△ABC的内心，即AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC$。
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴$∠ ADE=∠ BAD+∠ ABD=50°$，
代入得$\frac{1}{2}∠ BAC+\frac{1}{2}∠ ABC=50°$，
∴$∠ BAC+∠ ABC=100°$。
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$，
∴$∠ C=180°-(∠ BAC+∠ ABC)=180°-100°=80°$。
【答案】
80
【知识点】
三角形内心的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的突破口是根据点到三边距离相等判断出点D为三角形的内心，再结合外角性质和内角和定理逐步推导计算，解题时要注意角的转化关系。
【难度系数】
0.65
