登录
15.如图,在$△ ABC$中,点 D 在 BC 边上, $∠ BAD=100°,∠ ABC$ 的平分线交 AC 于点 E,过点 E 作 $EF ⊥ BA$ 的延长线,垂足为 F,且 $∠ AEF=50°$,连接 DE.求证:
(1)AE 平分$∠ FAD$;
(2)DE 平分$∠ ADC$.
(1)AE 平分$∠ FAD$;
(2)DE 平分$∠ ADC$.
答案
15.证明：(1)略. (2)略.
解析
【分析】
(1) 要证AE平分∠FAD，只需证明∠FAE=∠EAD。先利用直角三角形两锐角互余求出∠FAE的度数，再结合平角定义求出∠FAD的度数，计算得∠EAD的度数，对比两个角的度数即可得证。
(2) 要证DE平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到AD、CD的距离相等。过E作AD、BC的垂线，结合第一问的结论和BE是角平分线的条件，利用角平分线的性质推导两条垂线段相等，即可完成证明。
【解析】
证明：
(1)
∵ EF⊥BA，
∴ ∠F=90°
在Rt△AEF中，∠AEF=50°，
∴ ∠FAE=90°-∠AEF=40°
∵ ∠BAD=100°，∠FAD与∠BAD组成平角
∴ ∠FAD=180°-∠BAD=80°
∴ ∠EAD=∠FAD-∠FAE=80°-40°=40°
∴ ∠FAE=∠EAD，即AE平分∠FAD。
(2) 过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H。
∵ AE平分∠FAD，EF⊥BF，EG⊥AD
∴ EF=EG（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC
∴ EF=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴ EG=EH
又
∵ EG⊥AD，EH⊥BC
∴ 点E在∠ADC的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）
即DE平分∠ADC。
【答案】
(1) AE平分∠FAD得证；(2) DE平分∠ADC得证。
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角平分线相关的基础综合题，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质和判定，合理构造辅助线转化线段相等关系，是角平分线应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
(1) 要证AE平分∠FAD，只需证明∠FAE=∠EAD。先利用直角三角形两锐角互余求出∠FAE的度数，再结合平角定义求出∠FAD的度数，计算得∠EAD的度数，对比两个角的度数即可得证。
(2) 要证DE平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到AD、CD的距离相等。过E作AD、BC的垂线，结合第一问的结论和BE是角平分线的条件，利用角平分线的性质推导两条垂线段相等，即可完成证明。
【解析】
证明：
(1)
∵ EF⊥BA，
∴ ∠F=90°
在Rt△AEF中，∠AEF=50°，
∴ ∠FAE=90°-∠AEF=40°
∵ ∠BAD=100°，∠FAD与∠BAD组成平角
∴ ∠FAD=180°-∠BAD=80°
∴ ∠EAD=∠FAD-∠FAE=80°-40°=40°
∴ ∠FAE=∠EAD，即AE平分∠FAD。
(2) 过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H。
∵ AE平分∠FAD，EF⊥BF，EG⊥AD
∴ EF=EG（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC
∴ EF=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴ EG=EH
又
∵ EG⊥AD，EH⊥BC
∴ 点E在∠ADC的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）
即DE平分∠ADC。
【答案】
(1) AE平分∠FAD得证；(2) DE平分∠ADC得证。
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角平分线相关的基础综合题，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质和判定，合理构造辅助线转化线段相等关系，是角平分线应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
16. 转化思想 如图，锐角三角形ABC的面积是15，AB=5，BD平分∠ABC，若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是
6
。答案
16.6
解析
【分析】
这是结合角平分线性质的最短路径问题，解题思路如下：1. 看到角平分线BD，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可利用该性质将线段MN转化为点M到AB边的距离；2. 求CM+MN的最小值，需将两条线段转化为共线的线段，根据“垂线段最短”可知，CM+MN的最小值就是点C到AB边的垂线段长度；3. 最后利用三角形面积公式求出这条垂线段的长度即可。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N。
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB，MN⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得：$MN=ME$，
∴$CM+MN=CM+ME=CE$，
根据垂线段最短可知，此时CE的长度就是CM+MN的最小值。
已知锐角三角形ABC的面积是15，$AB=5$，
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CE$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×5× CE=15$，
解得$CE=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；最短路径问题；三角形面积计算
【点评】
本题将最短路径问题和角平分线的性质结合考查，核心是利用转化思想将两条动线段的和转化为点到直线的距离，再结合三角形面积公式求解，解题时要注意“垂线段最短”这一结论的应用。
【难度系数】
0.6
这是结合角平分线性质的最短路径问题，解题思路如下：1. 看到角平分线BD，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可利用该性质将线段MN转化为点M到AB边的距离；2. 求CM+MN的最小值，需将两条线段转化为共线的线段，根据“垂线段最短”可知，CM+MN的最小值就是点C到AB边的垂线段长度；3. 最后利用三角形面积公式求出这条垂线段的长度即可。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N。
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB，MN⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得：$MN=ME$，
∴$CM+MN=CM+ME=CE$，
根据垂线段最短可知，此时CE的长度就是CM+MN的最小值。
已知锐角三角形ABC的面积是15，$AB=5$，
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CE$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×5× CE=15$，
解得$CE=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；最短路径问题；三角形面积计算
【点评】
本题将最短路径问题和角平分线的性质结合考查，核心是利用转化思想将两条动线段的和转化为点到直线的距离，再结合三角形面积公式求解，解题时要注意“垂线段最短”这一结论的应用。
【难度系数】
0.6
17. 分类讨论思想 如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE=90°，且AC=5 cm，CE=6 cm，点P从点A开始以2 cm/s的速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3 cm/s的速度从点E出发，沿E→C→E运动，当点P到达终点时，P，Q同时停止运动。过P，Q分别作BD的垂线，垂足分别为M，N。设运动的时间为t s，当以P，C，M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t 的值为（
A.1
B.1或2
C.1或$\frac{11}{5}$
D.1或$\frac{11}{5}$或$\frac{23}{5}$
C
）A.1
B.1或2
C.1或$\frac{11}{5}$
D.1或$\frac{11}{5}$或$\frac{23}{5}$
答案
17.C
解析
【分析】首先判断△PCM和△QCN均为直角三角形，通过角度互余可证两组角对应相等，因此两三角形全等的核心条件为斜边PC=CQ；再分析动点的运动范围：点P从A到C的总运动时间为5÷2=2.5s，即t的取值范围是0≤t≤2.5；点Q先沿E→C运动，走完CE段需6÷3=2s，2s后沿C→E返回，因此分Q在EC段、Q在返回段两种情况列方程求解，最后检验解是否符合对应时间段的要求即可。
【解析】
解：
∵PM⊥BD，QN⊥BD，
∴∠PMC=∠QNC=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠PCM+∠QCN=90°，
又
∵∠PCM+∠CPM=90°，
∴∠CPM=∠QCN，
若△PCM≌△CQN，则需PC=CQ。
点P运动总时间：$5÷2=2.5\ \mathrm{s}$，即$0≤ t≤2.5$；
点Q从E到C的时间：$6÷3=2\ \mathrm{s}$，分两种情况讨论：
① 当$0≤ t≤2$时，Q在EC上运动，$CQ=CE-EQ=6-3t$，
$PC=AC-AP=5-2t$，
列方程：$5-2t=6-3t$，解得$t=1$，符合$0≤ t≤2$；
② 当$2＜t≤2.5$时，Q从C向E返回，$CQ=3t-6$，
列方程：$5-2t=3t-6$，解得$t=\frac{11}{5}=2.2$，符合$2＜t≤2.5$；
$t=\frac{23}{5}=4.6＞2.5$，超出点P运动总时间，舍去。
综上，t的值为1或$\frac{11}{5}$。
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定，动点问题，分类讨论
【点评】本题考查动点背景下的全等三角形应用，解题关键是根据动点的运动方向分段讨论，同时要结合运动的总时长排除不符合取值范围的解，侧重对分类讨论思想的考查。
【难度系数】0.6
【解析】
解：
∵PM⊥BD，QN⊥BD，
∴∠PMC=∠QNC=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠PCM+∠QCN=90°，
又
∵∠PCM+∠CPM=90°，
∴∠CPM=∠QCN，
若△PCM≌△CQN，则需PC=CQ。
点P运动总时间：$5÷2=2.5\ \mathrm{s}$，即$0≤ t≤2.5$；
点Q从E到C的时间：$6÷3=2\ \mathrm{s}$，分两种情况讨论：
① 当$0≤ t≤2$时，Q在EC上运动，$CQ=CE-EQ=6-3t$，
$PC=AC-AP=5-2t$，
列方程：$5-2t=6-3t$，解得$t=1$，符合$0≤ t≤2$；
② 当$2＜t≤2.5$时，Q从C向E返回，$CQ=3t-6$，
列方程：$5-2t=3t-6$，解得$t=\frac{11}{5}=2.2$，符合$2＜t≤2.5$；
$t=\frac{23}{5}=4.6＞2.5$，超出点P运动总时间，舍去。
综上，t的值为1或$\frac{11}{5}$。
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定，动点问题，分类讨论
【点评】本题考查动点背景下的全等三角形应用，解题关键是根据动点的运动方向分段讨论，同时要结合运动的总时长排除不符合取值范围的解，侧重对分类讨论思想的考查。
【难度系数】0.6
18. [2025 芜湖三模] 如图，$△ ABC$ 的 2 个内角$∠ ABC$与$∠ ACB$ 的平分线相交于点 $I$.
(1)设$∠ A=α$，则$∠ BIC=$
(2)过 $I$ 的直线分别交 $AB$，$AC$ 于 $D$，$E$ 两点，$△ ADE$，$△ ABC$ 的面积分别记为 $S_{△ ADE}$，$S_{△ ABC}$. 若$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{2}{5}$，$△ ABC$ 的周长为 8，则 $AD+AE$ 的值为
(1)设$∠ A=α$，则$∠ BIC=$
$90°+\frac{1}{2}α$
；(用含$α$的式子表示)(2)过 $I$ 的直线分别交 $AB$，$AC$ 于 $D$，$E$ 两点，$△ ADE$，$△ ABC$ 的面积分别记为 $S_{△ ADE}$，$S_{△ ABC}$. 若$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{2}{5}$，$△ ABC$ 的周长为 8，则 $AD+AE$ 的值为
$\frac{16}{5}$
.答案
18.(1)$90°+\frac{1}{2}α$ (2)$\frac{16}{5}$
解析
【分析】
(1) 要求∠BIC的度数，先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线的定义得到∠IBC与∠ICB的和，最后在△BIC中再次运用三角形内角和定理即可推导∠BIC的表达式。
(2) I是△ABC的内心，根据内心性质可知I到三角形三边的距离相等，设该距离为r。将△ADE的面积拆分为△ADI和△AEI的面积之和，即可建立S△ADE和AD+AE的关系；再利用“三角形面积=1/2×内切圆半径×周长”表示出S△ABC，结合已知的面积比代入计算即可求出AD+AE的值。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=α，由三角形内角和定理可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - α$
∵ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB
∴ $∠ IBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴ $∠ IBC + ∠ ICB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - α) = 90° - \frac{1}{2}α$
在△BIC中，由内角和定理可得：
$∠ BIC = 180° - (∠ IBC + ∠ ICB) = 180° - (90° - \frac{1}{2}α) = 90° + \frac{1}{2}α$
(2) 设点I到AB、AC边的距离为r（即△ABC内切圆半径）。
$S_{△ ADE} = S_{△ ADI} + S_{△ AEI} = \frac{1}{2}· AD· r + \frac{1}{2}· AE· r = \frac{1}{2}r(AD + AE)$
又
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 周长 × r = \frac{1}{2} × 8 × r = 4r$
已知$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{2}{5}$，代入得：
$\frac{\frac{1}{2}r(AD+AE)}{4r} = \frac{2}{5}$
约去r后化简得：$\frac{AD+AE}{8} = \frac{2}{5}$
解得：$AD+AE = \frac{16}{5}$
【答案】
(1) $90°+\frac{1}{2}α$；(2) $\frac{16}{5}$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角平分线的性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题围绕三角形内心的性质展开考查，第一问是三角形内心角度计算的经典结论，第二问通过拆分三角形面积，结合内切圆半径关联线段和与面积的关系，解题关键是灵活运用内心到三边距离相等的性质转化条件。
【难度系数】
0.6
(1) 要求∠BIC的度数，先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线的定义得到∠IBC与∠ICB的和，最后在△BIC中再次运用三角形内角和定理即可推导∠BIC的表达式。
(2) I是△ABC的内心，根据内心性质可知I到三角形三边的距离相等，设该距离为r。将△ADE的面积拆分为△ADI和△AEI的面积之和，即可建立S△ADE和AD+AE的关系；再利用“三角形面积=1/2×内切圆半径×周长”表示出S△ABC，结合已知的面积比代入计算即可求出AD+AE的值。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=α，由三角形内角和定理可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - α$
∵ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB
∴ $∠ IBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴ $∠ IBC + ∠ ICB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - α) = 90° - \frac{1}{2}α$
在△BIC中，由内角和定理可得：
$∠ BIC = 180° - (∠ IBC + ∠ ICB) = 180° - (90° - \frac{1}{2}α) = 90° + \frac{1}{2}α$
(2) 设点I到AB、AC边的距离为r（即△ABC内切圆半径）。
$S_{△ ADE} = S_{△ ADI} + S_{△ AEI} = \frac{1}{2}· AD· r + \frac{1}{2}· AE· r = \frac{1}{2}r(AD + AE)$
又
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 周长 × r = \frac{1}{2} × 8 × r = 4r$
已知$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{2}{5}$，代入得：
$\frac{\frac{1}{2}r(AD+AE)}{4r} = \frac{2}{5}$
约去r后化简得：$\frac{AD+AE}{8} = \frac{2}{5}$
解得：$AD+AE = \frac{16}{5}$
【答案】
(1) $90°+\frac{1}{2}α$；(2) $\frac{16}{5}$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角平分线的性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题围绕三角形内心的性质展开考查，第一问是三角形内心角度计算的经典结论，第二问通过拆分三角形面积，结合内切圆半径关联线段和与面积的关系，解题关键是灵活运用内心到三边距离相等的性质转化条件。
【难度系数】
0.6
19. [2025马鞍山三模改编]如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点为网格线交点).
(1)将△ABC向右平移8个单位长度,再向上平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)请画出△B₁A₁C₂,使得△B₁A₁C₂≌△A₁B₁C₁.(点C₂在格点上)
(1)将△ABC向右平移8个单位长度,再向上平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)请画出△B₁A₁C₂,使得△B₁A₁C₂≌△A₁B₁C₁.(点C₂在格点上)
答案
19.解：(1)图略. (2)图略.
解析
【分析】
(1)解决平移作图问题，首先明确平移规则：向右平移8个单位即每个顶点的水平位置向右移动8格，向上平移5个单位即每个顶点的竖直位置向上移动5格。只需先确定△ABC三个顶点平移后的对应点位置，再顺次连接即可得到平移后的△A₁B₁C₁。
(2)要作与△A₁B₁C₁全等的△B₁A₁C₂，两个三角形有公共边A₁B₁，根据全等三角形三边对应相等的判定条件，只需找到格点C₂，使得A₁C₂=B₁C₁、B₁C₂=A₁C₁即可，通常可以通过作C₁关于A₁B₁的对称点，或在A₁B₁另一侧数格点匹配边长的方式找到C₂的位置。
【解析】
(1)①分别将点A、B、C按照平移规则，向右平移8个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应点A₁、B₁、C₁；②顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得图形即为所求的△A₁B₁C₁。
(2)①根据全等三角形SSS判定准则，结合网格特征，在A₁B₁的另一侧找到满足A₁C₂=B₁C₁、B₁C₂=A₁C₁的格点C₂；②顺次连接B₁A₁、A₁C₂、C₂B₁，所得图形即为所求的△B₁A₁C₂。
【答案】
(1)作图见解析（图略）
(2)作图见解析（图略）
【知识点】
平移的性质；全等三角形的判定；格点作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查对平移规则的掌握和全等三角形判定的灵活应用，作图时需注意所有顶点均落在格点上，保证作图的规范性。
【难度系数】
0.8
(1)解决平移作图问题，首先明确平移规则：向右平移8个单位即每个顶点的水平位置向右移动8格，向上平移5个单位即每个顶点的竖直位置向上移动5格。只需先确定△ABC三个顶点平移后的对应点位置，再顺次连接即可得到平移后的△A₁B₁C₁。
(2)要作与△A₁B₁C₁全等的△B₁A₁C₂，两个三角形有公共边A₁B₁，根据全等三角形三边对应相等的判定条件，只需找到格点C₂，使得A₁C₂=B₁C₁、B₁C₂=A₁C₁即可，通常可以通过作C₁关于A₁B₁的对称点，或在A₁B₁另一侧数格点匹配边长的方式找到C₂的位置。
【解析】
(1)①分别将点A、B、C按照平移规则，向右平移8个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应点A₁、B₁、C₁；②顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得图形即为所求的△A₁B₁C₁。
(2)①根据全等三角形SSS判定准则，结合网格特征，在A₁B₁的另一侧找到满足A₁C₂=B₁C₁、B₁C₂=A₁C₁的格点C₂；②顺次连接B₁A₁、A₁C₂、C₂B₁，所得图形即为所求的△B₁A₁C₂。
【答案】
(1)作图见解析（图略）
(2)作图见解析（图略）
【知识点】
平移的性质；全等三角形的判定；格点作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查对平移规则的掌握和全等三角形判定的灵活应用，作图时需注意所有顶点均落在格点上，保证作图的规范性。
【难度系数】
0.8
