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1.【数学应用】便民商店经营一种商品，在销售过程中发现一周利润$y$(元)与每件售价$x$(元)之间的关系满足$y=-2x^2+80x+758$，但每件售价需要满足$15≤ x≤19$，那么一周可获得的最大利润为(
A.758元
B.1 508元
C.1 556元
D.1 558元
C
)。A.758元
B.1 508元
C.1 556元
D.1 558元
答案
1.C
解析
【分析】
本题是二次函数在实际销售问题中的最值求解问题，解题思路如下：首先，二次函数的最值与开口方向、自变量取值范围相关，先根据二次项系数判断抛物线开口方向；其次计算抛物线的对称轴，判断给定的售价范围[15,19]在对称轴的左侧还是右侧，明确该区间内函数的增减性；最后根据增减性找到取最大利润时的售价，代入函数计算即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+80x+758$，其中$a=-2$，$b=80$。
1. 判断开口方向：因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
2. 计算对称轴：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2×(-2)}=20$。
3. 结合取值范围判断增减性：已知售价范围为$15≤ x≤19$，该区间全部在对称轴$x=20$的左侧，因此在$15≤ x≤19$范围内，$y$随$x$的增大而增大。
4. 计算最大值：当$x$取区间最大值19时，$y$取得最大值，代入得：
$y=-2×19^2 +80×19 +758=-2×361 +1520 +758=-722+1520+758=1556$（元）
【答案】
C
【知识点】
二次函数性质、区间最值求解、二次函数应用
【点评】
本题考查二次函数的实际应用，解题的核心是不能直接将顶点处的函数值作为最值，需要先结合自变量的取值范围判断函数在区间内的增减性，再确定对应的最值点，易错点是忽略售价的取值范围直接取顶点计算导致错选。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际销售问题中的最值求解问题，解题思路如下：首先，二次函数的最值与开口方向、自变量取值范围相关，先根据二次项系数判断抛物线开口方向；其次计算抛物线的对称轴，判断给定的售价范围[15,19]在对称轴的左侧还是右侧，明确该区间内函数的增减性；最后根据增减性找到取最大利润时的售价，代入函数计算即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+80x+758$，其中$a=-2$，$b=80$。
1. 判断开口方向：因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
2. 计算对称轴：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2×(-2)}=20$。
3. 结合取值范围判断增减性：已知售价范围为$15≤ x≤19$，该区间全部在对称轴$x=20$的左侧，因此在$15≤ x≤19$范围内，$y$随$x$的增大而增大。
4. 计算最大值：当$x$取区间最大值19时，$y$取得最大值，代入得：
$y=-2×19^2 +80×19 +758=-2×361 +1520 +758=-722+1520+758=1556$（元）
【答案】
C
【知识点】
二次函数性质、区间最值求解、二次函数应用
【点评】
本题考查二次函数的实际应用，解题的核心是不能直接将顶点处的函数值作为最值，需要先结合自变量的取值范围判断函数在区间内的增减性，再确定对应的最值点，易错点是忽略售价的取值范围直接取顶点计算导致错选。
【难度系数】
0.7
2. 某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，每盒售价每下降1元，日销售量会增加5盒。已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价$ x $元，商家每天的利润为$ y $元，则$ y $与$ x $之间的关系是(
A.$ y=(10-x)(200+5x) $
B.$ y=(15-x)(200+5x) $
C.$ y=(10-x)(200-5x) $
D.$ y=(15-x)(200-5x) $
A
)。A.$ y=(10-x)(200+5x) $
B.$ y=(15-x)(200+5x) $
C.$ y=(10-x)(200-5x) $
D.$ y=(15-x)(200-5x) $
答案
2.A
解析
【分析】
解决这道题的核心是牢记销售利润的基本公式：总利润=单件商品的利润×销售总量。我们只需要分别求出降价x元后每盒印花糕的利润和对应的日销售量，再代入公式就能得到y与x的关系式。第一步先算单件利润：原来每盒售价15元、成本5元，原本每盒利润是15-5=10元，降价x元后每盒利润减少x元，变成(10-x)元；第二步算日销售量：原本日销200盒，每降1元多卖5盒，降价x元后销量增加5x盒，变成(200+5x)盒；最后把两个量相乘就是总利润y。
【解析】
解：首先计算降价x元后每盒印花糕的利润：
原单盒利润 = 售价 - 成本 = $15 - 5 = 10$元
降价x元后，单盒利润为 $\boldsymbol{(10 - x)}$ 元
再计算降价x元后的日销售量：
每降价1元销量增加5盒，降价x元后销量增加$5x$盒，因此日销售量为 $\boldsymbol{(200 + 5x)}$ 盒
根据总利润=单盒利润×日销售量，可得：
$y=(10 - x)(200 + 5x)$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.销售利润计算 2.列函数关系式
【点评】
本题是销售类基础应用题，解题关键是明确总利润的计算逻辑，准确梳理出降价后单件利润和销售量的变化情况，避免误将售价当成利润代入计算。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是牢记销售利润的基本公式：总利润=单件商品的利润×销售总量。我们只需要分别求出降价x元后每盒印花糕的利润和对应的日销售量，再代入公式就能得到y与x的关系式。第一步先算单件利润：原来每盒售价15元、成本5元，原本每盒利润是15-5=10元，降价x元后每盒利润减少x元，变成(10-x)元；第二步算日销售量：原本日销200盒，每降1元多卖5盒，降价x元后销量增加5x盒，变成(200+5x)盒；最后把两个量相乘就是总利润y。
【解析】
解：首先计算降价x元后每盒印花糕的利润：
原单盒利润 = 售价 - 成本 = $15 - 5 = 10$元
降价x元后，单盒利润为 $\boldsymbol{(10 - x)}$ 元
再计算降价x元后的日销售量：
每降价1元销量增加5盒，降价x元后销量增加$5x$盒，因此日销售量为 $\boldsymbol{(200 + 5x)}$ 盒
根据总利润=单盒利润×日销售量，可得：
$y=(10 - x)(200 + 5x)$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.销售利润计算 2.列函数关系式
【点评】
本题是销售类基础应用题，解题关键是明确总利润的计算逻辑，准确梳理出降价后单件利润和销售量的变化情况，避免误将售价当成利润代入计算。
【难度系数】
0.8
3. 某文创店销售一种摆件，每个进价为50元。调查发现，当售价为80元时，平均每天能售出100个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出10个。当每个摆件的售价降低
10
元时，这种摆件平均每天的销售利润最大，为4 000
元。答案
3.10 4 000
解析
【分析】
要解决销售利润最大的问题，首先回忆销售利润的核心公式：总利润=单个商品利润×销售数量。我们可以设售价降低的金额为自变量，总利润为因变量，先分别表示出降价后的单个利润和销售数量，再列出总利润关于降价金额的二次函数表达式，最后结合二次函数的性质求最大值即可，需注意自变量要符合实际意义，不能使单个利润为负数。
【解析】
设每个摆件的售价降低$ x $元，平均每天的销售利润为$ y $元。
1. 表示单个利润：降价后每个摆件的利润为$ (80 - 50 - x)=(30 - x) $元，其中$ 0≤ x＜30 $（保证单个利润为正）。
2. 表示销售数量：每降价1元多售10个，降价$ x $元后销量为$ (100 + 10x) $个。
3. 列利润函数并整理：
$\begin{aligned}y&=(30 - x)(100 + 10x)\\&=-10x^2 + 200x + 3000\\&=-10(x^2 - 20x) + 3000\\&=-10(x - 10)^2 + 4000\end{aligned}$
4. 求最值：
因为二次项系数$ -10＜0 $，抛物线开口向下，当$ x=10 $时，$ y $取得最大值，最大值为4000元，且$ x=10 $符合自变量取值范围。
【答案】
10；4000
【知识点】
二次函数的应用；销售利润问题；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值的典型题型，解题的关键是结合题意找到总利润的等量关系，正确列出二次函数表达式，再利用二次函数的顶点式求最值，解题过程中要注意验证自变量取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决销售利润最大的问题，首先回忆销售利润的核心公式：总利润=单个商品利润×销售数量。我们可以设售价降低的金额为自变量，总利润为因变量，先分别表示出降价后的单个利润和销售数量，再列出总利润关于降价金额的二次函数表达式，最后结合二次函数的性质求最大值即可，需注意自变量要符合实际意义，不能使单个利润为负数。
【解析】
设每个摆件的售价降低$ x $元，平均每天的销售利润为$ y $元。
1. 表示单个利润：降价后每个摆件的利润为$ (80 - 50 - x)=(30 - x) $元，其中$ 0≤ x＜30 $（保证单个利润为正）。
2. 表示销售数量：每降价1元多售10个，降价$ x $元后销量为$ (100 + 10x) $个。
3. 列利润函数并整理：
$\begin{aligned}y&=(30 - x)(100 + 10x)\\&=-10x^2 + 200x + 3000\\&=-10(x^2 - 20x) + 3000\\&=-10(x - 10)^2 + 4000\end{aligned}$
4. 求最值：
因为二次项系数$ -10＜0 $，抛物线开口向下，当$ x=10 $时，$ y $取得最大值，最大值为4000元，且$ x=10 $符合自变量取值范围。
【答案】
10；4000
【知识点】
二次函数的应用；销售利润问题；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值的典型题型，解题的关键是结合题意找到总利润的等量关系，正确列出二次函数表达式，再利用二次函数的顶点式求最值，解题过程中要注意验证自变量取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
1. 若一种服装的销售利润$y$(万元)与销售量$x$(件)满足$y=-2x^2+4x+5$，则销售利润(
A.最大值为5万元
B.最大值为7万元
C.最小值为5万元
D.最大值为6万元
B
)。A.最大值为5万元
B.最大值为7万元
C.最小值为5万元
D.最大值为6万元
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查二次函数的实际最值问题，解题思路如下：1. 首先观察二次函数的二次项系数，判断抛物线开口方向，确定函数有最大值还是最小值，可先排除错误选项；2. 利用配方法或者顶点坐标公式求出函数的最值，同时结合销售量x≥0的实际意义，验证最值对应的自变量是否符合要求，即可得出正确答案。
【解析】
对于二次函数$ y=-2x^2+4x+5 $，其中二次项系数$ a=-2＜0 $，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，无最小值，先排除C选项。
我们用配方法将函数变形为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+4x+5\\&=-2(x^2-2x)+5\\&=-2(x^2-2x+1-1)+5\\&=-2(x-1)^2 + 2 +5\\&=-2(x-1)^2 +7\end{aligned}$
当$ x=1 $时，$ y $取得最大值7，且销售量$ x=1 $符合实际意义，因此销售利润的最大值为7万元。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值；配方法；二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数应用的基础题，解题核心是先根据二次项系数判断最值类型，再通过配方法或顶点公式计算最值，解题时需注意结合实际问题中自变量的取值范围验证最值是否有效。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的实际最值问题，解题思路如下：1. 首先观察二次函数的二次项系数，判断抛物线开口方向，确定函数有最大值还是最小值，可先排除错误选项；2. 利用配方法或者顶点坐标公式求出函数的最值，同时结合销售量x≥0的实际意义，验证最值对应的自变量是否符合要求，即可得出正确答案。
【解析】
对于二次函数$ y=-2x^2+4x+5 $，其中二次项系数$ a=-2＜0 $，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，无最小值，先排除C选项。
我们用配方法将函数变形为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+4x+5\\&=-2(x^2-2x)+5\\&=-2(x^2-2x+1-1)+5\\&=-2(x-1)^2 + 2 +5\\&=-2(x-1)^2 +7\end{aligned}$
当$ x=1 $时，$ y $取得最大值7，且销售量$ x=1 $符合实际意义，因此销售利润的最大值为7万元。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值；配方法；二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数应用的基础题，解题核心是先根据二次项系数判断最值类型，再通过配方法或顶点公式计算最值，解题时需注意结合实际问题中自变量的取值范围验证最值是否有效。
【难度系数】
0.8
2.【数学应用】某公司销售一种藜麦，成本价为30元/kg，若以35元/kg的价格销售，每天可售出450 kg。当售价每涨0.5元/kg时，日销售量就会减少15 kg。设售价为x元/kg(x≥35，且x按0.5元的倍数上涨)，日销售量为y kg。给出下列说法：
①当x＝36时，y＝420；
②y与x之间的关系式为y＝－30x＋1500；
③若使日销售利润为2 880元，且销售量较大，则售价应定为42元/kg；
④若使日销售利润最大，售价应定为40元/kg。
其中正确的有(
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
①当x＝36时，y＝420；
②y与x之间的关系式为y＝－30x＋1500；
③若使日销售利润为2 880元，且销售量较大，则售价应定为42元/kg；
④若使日销售利润最大，售价应定为40元/kg。
其中正确的有(
C
)。A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
答案
2.C
解析
【分析】
本题为销售类的函数应用题，解题思路为逐个验证4个说法：①先计算售价36元时相对35元的涨幅，对应算出减少的销量，即可得到y的数值；②根据“销量=基础销量-涨价导致减少的销量”推导y与x的函数关系式；③根据“总利润=每千克利润×销量”列方程求解，再结合“销售量较大”的要求选取对应售价，判断说法正误；④将总利润表示为关于售价x的二次函数，利用二次函数顶点公式求利润最大值对应的售价即可。
【解析】
我们对四个说法逐一判断：
1. 验证①：当x=36时，售价比35元上涨了$36-35=1$元，已知每涨0.5元销量减少15kg，因此涨1元销量减少$15×(1÷0.5)=30$kg，可得$y=450-30=420$，①正确。
2. 验证②：售价为x元时，相对35元的涨幅为$(x-35)$元，减少的销量为$15×[(x-35)÷0.5]=30(x-35)$kg，因此$y=450-30(x-35)=-30x+1500$，②正确。
3. 验证③：设日销售利润为W元，每千克利润为$(x-30)$元，因此$W=(x-30)y=(x-30)(-30x+1500)$。令$W=2880$，列方程：
$(x-30)(-30x+1500)=2880$
整理得$x^2-80x+1596=0$，解得$x_1=38$，$x_2=42$。
要求销售量较大，因$y=-30x+1500$随x增大而减小，故应选取更小的售价$x=38$元/kg，③错误。
4. 验证④：总利润$W=(x-30)(-30x+1500)=-30x^2+2400x-45000$，该二次函数开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2400}{2×(-30)}=40$时，W取得最大值，即售价定为40元/kg时日利润最大，④正确。
综上，①②④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
销售利润问题，二次函数最值，一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查了函数与方程在实际销售场景中的应用，解题核心是理清售价、销量、利润三者的数量关系，同时要注意题目中“销售量较大”这类限制条件，避免漏看条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题为销售类的函数应用题，解题思路为逐个验证4个说法：①先计算售价36元时相对35元的涨幅，对应算出减少的销量，即可得到y的数值；②根据“销量=基础销量-涨价导致减少的销量”推导y与x的函数关系式；③根据“总利润=每千克利润×销量”列方程求解，再结合“销售量较大”的要求选取对应售价，判断说法正误；④将总利润表示为关于售价x的二次函数，利用二次函数顶点公式求利润最大值对应的售价即可。
【解析】
我们对四个说法逐一判断：
1. 验证①：当x=36时，售价比35元上涨了$36-35=1$元，已知每涨0.5元销量减少15kg，因此涨1元销量减少$15×(1÷0.5)=30$kg，可得$y=450-30=420$，①正确。
2. 验证②：售价为x元时，相对35元的涨幅为$(x-35)$元，减少的销量为$15×[(x-35)÷0.5]=30(x-35)$kg，因此$y=450-30(x-35)=-30x+1500$，②正确。
3. 验证③：设日销售利润为W元，每千克利润为$(x-30)$元，因此$W=(x-30)y=(x-30)(-30x+1500)$。令$W=2880$，列方程：
$(x-30)(-30x+1500)=2880$
整理得$x^2-80x+1596=0$，解得$x_1=38$，$x_2=42$。
要求销售量较大，因$y=-30x+1500$随x增大而减小，故应选取更小的售价$x=38$元/kg，③错误。
4. 验证④：总利润$W=(x-30)(-30x+1500)=-30x^2+2400x-45000$，该二次函数开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2400}{2×(-30)}=40$时，W取得最大值，即售价定为40元/kg时日利润最大，④正确。
综上，①②④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
销售利润问题，二次函数最值，一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查了函数与方程在实际销售场景中的应用，解题核心是理清售价、销量、利润三者的数量关系，同时要注意题目中“销售量较大”这类限制条件，避免漏看条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3.【数学应用】某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y(个)与售价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系。
(1)求y与x之间的关系式。
(2)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
(1)求y与x之间的关系式。
(2)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
答案
3.解:(1)设 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b。
∵函数图象过点(25,50)和点(35,30)，
∴将它们的坐标分别代入，得$\begin{cases}25k+b=50,\\35k+b=30,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2,\\b=100,\end{cases}$
∴y 与 x 之间的关系式为 y=-2x+100。
(2)根据题意得 w=(x-10)(-2x+100)，
即 w=-2(x-30)²+800。
∵-2＜0，
∴当 x=30 时，w 取得最大值，$w_{最大}=800$。
故当玩具的售价定为 30 元时，日销售利润最大，最大利润是 800 元。
∵函数图象过点(25,50)和点(35,30)，
∴将它们的坐标分别代入，得$\begin{cases}25k+b=50,\\35k+b=30,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2,\\b=100,\end{cases}$
∴y 与 x 之间的关系式为 y=-2x+100。
(2)根据题意得 w=(x-10)(-2x+100)，
即 w=-2(x-30)²+800。
∵-2＜0，
∴当 x=30 时，w 取得最大值，$w_{最大}=800$。
故当玩具的售价定为 30 元时，日销售利润最大，最大利润是 800 元。
解析
【分析】
(1) 已知y与x满足一次函数关系，解题时先设一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），从图象中提取两个已知点的坐标$(25,50)$和$(35,30)$，代入解析式得到二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可得到$y$与$x$的关系式。
(2) 销售总利润的等量关系为“总利润=单个利润×日销售量”，单个利润为售价$x$减去进价10元，日销售量为第一问求出的$y$，代入等量关系得到$w$关于$x$的函数表达式，整理为二次函数顶点式，结合二次项系数的符号判断开口方向，即可求出最值对应的售价和最大利润。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的关系式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
∵函数图象过点$(25,50)$和$(35,30)$，
∴将两点坐标代入解析式，得$\begin{cases}25k+b=50\\35k+b=30\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-2\\b=100\end{cases}$，
∴$y$与$x$之间的关系式为$y=-2x+100$。
(2) 根据题意，单个玩具的利润为$(x-10)$元，日销售量为$y$个，
∴日销售利润$w=(x-10)y=(x-10)(-2x+100)$，
整理得$w=-2x^2+120x-1000=-2(x-30)^2+800$，
∵$-2＜0$，
∴抛物线开口向下，当$x=30$时，$w$取得最大值，最大值为800。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+100}$
(2) 当玩具的售价定为30元时，日销售利润最大，最大利润是800元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 二次函数求最值
【点评】
本题是函数实际应用的常规题型，结合销售场景考察一次函数解析式的求解和二次函数最值的应用，只要掌握函数的基本性质和销售问题的等量关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 已知y与x满足一次函数关系，解题时先设一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），从图象中提取两个已知点的坐标$(25,50)$和$(35,30)$，代入解析式得到二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可得到$y$与$x$的关系式。
(2) 销售总利润的等量关系为“总利润=单个利润×日销售量”，单个利润为售价$x$减去进价10元，日销售量为第一问求出的$y$，代入等量关系得到$w$关于$x$的函数表达式，整理为二次函数顶点式，结合二次项系数的符号判断开口方向，即可求出最值对应的售价和最大利润。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的关系式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
∵函数图象过点$(25,50)$和$(35,30)$，
∴将两点坐标代入解析式，得$\begin{cases}25k+b=50\\35k+b=30\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-2\\b=100\end{cases}$，
∴$y$与$x$之间的关系式为$y=-2x+100$。
(2) 根据题意，单个玩具的利润为$(x-10)$元，日销售量为$y$个，
∴日销售利润$w=(x-10)y=(x-10)(-2x+100)$，
整理得$w=-2x^2+120x-1000=-2(x-30)^2+800$，
∵$-2＜0$，
∴抛物线开口向下，当$x=30$时，$w$取得最大值，最大值为800。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+100}$
(2) 当玩具的售价定为30元时，日销售利润最大，最大利润是800元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 二次函数求最值
【点评】
本题是函数实际应用的常规题型，结合销售场景考察一次函数解析式的求解和二次函数最值的应用，只要掌握函数的基本性质和销售问题的等量关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
