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8.【项目式学习】
如何裁剪出符合要求的矩形纸片？
素材1
如图①，$△ ABC$是腰长为40 cm的等腰直角三角形纸片。在学校艺术节上，甲、乙、丙三名同学分别试图用这样的纸片裁剪出不一样的矩形纸片，并使矩形的四个顶点都在$△ ABC$的边上。
素材2
甲同学按如图②所示的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的$\frac{7}{32}$的矩形纸片；
乙同学按如图③所示的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的$\frac{5}{8}$的矩形纸片；
丙同学想裁出面积最大的矩形纸片。
任务1
计算纸片周长
请帮甲同学计算他剪出的矩形纸片的周长。
续表
任务2
评价裁剪方案
请帮乙同学判断此裁剪方案能否实现，并说明理由。
任务3
计算最大面积
请帮助丙同学计算出矩形纸片面积的最大值。
如何裁剪出符合要求的矩形纸片？
素材1
如图①，$△ ABC$是腰长为40 cm的等腰直角三角形纸片。在学校艺术节上，甲、乙、丙三名同学分别试图用这样的纸片裁剪出不一样的矩形纸片，并使矩形的四个顶点都在$△ ABC$的边上。
素材2
甲同学按如图②所示的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的$\frac{7}{32}$的矩形纸片；
乙同学按如图③所示的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的$\frac{5}{8}$的矩形纸片；
丙同学想裁出面积最大的矩形纸片。
任务1
计算纸片周长
请帮甲同学计算他剪出的矩形纸片的周长。
续表
任务2
评价裁剪方案
请帮乙同学判断此裁剪方案能否实现，并说明理由。
任务3
计算最大面积
请帮助丙同学计算出矩形纸片面积的最大值。
答案
解:任务1:
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形,$∠ A=90°$,
$\therefore ∠ C=45°$。
$\because$ 四边形 $ADEF$ 是矩形,
$\therefore ∠ EFC=90°$。
$\therefore ∠ FEC=∠ C=45°$,
$\therefore EF=CF$。
设 $EF=CF=x\ \mathrm{cm}$,则 $AF=(40-x)\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 矩形 $ADEF$ 的面积为三角形面积的 $\frac{7}{32}$,
$\therefore x(40-x)=\frac{7}{32}×\frac{1}{2}×40×40$,
解得 $x_1=5,x_2=35$,
$\therefore$ 矩形 $ADEF$ 的周长为 $2×(5+35)=80(\mathrm{cm})$。
任务2:
乙同学的方案不能实现。理由如下:
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ A=90°,∠ B=∠ C=45°$。
$\because$ 四边形 $MNPQ$ 是矩形,$∠ B=∠ C=45°$,
$\therefore ∠ MQP=∠ NPQ=90°$,
$\therefore ∠ MQB=∠ NPC=90°$,
$\therefore ∠ QMB=∠ PNC=45°$,
$\therefore ∠ B=∠ QMB,∠ PNC=∠ C$,
$\therefore BQ=MQ=NP=CP$。
$\because ∠ A=90°,AB=AC=40\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
设 $BQ=MQ=NP=CP=y\ \mathrm{cm}$,
则 $PQ=(40\sqrt{2}-2y)\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 矩形 $MNPQ$ 的面积为三角形面积的 $\frac{5}{8}$,
$\therefore y(40\sqrt{2}-2y)=\frac{5}{8}×\frac{1}{2}×40×40$,
整理得 $y^2-20\sqrt{2}y+250=0$。
$\because \Delta=800-1000=-200＜0$,
$\therefore$ 方程没有实数根,
$\therefore$ 乙同学的裁剪方案不能实现。
任务3:
按甲同学的方式裁剪:$S=x(40-x)=-x^2+40x=-(x-20)^2+400$。
$\because -1＜0$,
$\therefore$ 当 $x=20$ 时,矩形的面积取得最大值,最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
按乙同学的方式裁剪:$S=y(40\sqrt{2}-2y)=-2y^2+40\sqrt{2}y=-2(y-10\sqrt{2})^2+400$。
$\because -2＜0$,
$\therefore$ 当 $y=10\sqrt{2}$ 时,矩形的面积取得最大值,最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
综上所述,矩形纸片面积的最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形,$∠ A=90°$,
$\therefore ∠ C=45°$。
$\because$ 四边形 $ADEF$ 是矩形,
$\therefore ∠ EFC=90°$。
$\therefore ∠ FEC=∠ C=45°$,
$\therefore EF=CF$。
设 $EF=CF=x\ \mathrm{cm}$,则 $AF=(40-x)\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 矩形 $ADEF$ 的面积为三角形面积的 $\frac{7}{32}$,
$\therefore x(40-x)=\frac{7}{32}×\frac{1}{2}×40×40$,
解得 $x_1=5,x_2=35$,
$\therefore$ 矩形 $ADEF$ 的周长为 $2×(5+35)=80(\mathrm{cm})$。
任务2:
乙同学的方案不能实现。理由如下:
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ A=90°,∠ B=∠ C=45°$。
$\because$ 四边形 $MNPQ$ 是矩形,$∠ B=∠ C=45°$,
$\therefore ∠ MQP=∠ NPQ=90°$,
$\therefore ∠ MQB=∠ NPC=90°$,
$\therefore ∠ QMB=∠ PNC=45°$,
$\therefore ∠ B=∠ QMB,∠ PNC=∠ C$,
$\therefore BQ=MQ=NP=CP$。
$\because ∠ A=90°,AB=AC=40\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
设 $BQ=MQ=NP=CP=y\ \mathrm{cm}$,
则 $PQ=(40\sqrt{2}-2y)\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 矩形 $MNPQ$ 的面积为三角形面积的 $\frac{5}{8}$,
$\therefore y(40\sqrt{2}-2y)=\frac{5}{8}×\frac{1}{2}×40×40$,
整理得 $y^2-20\sqrt{2}y+250=0$。
$\because \Delta=800-1000=-200＜0$,
$\therefore$ 方程没有实数根,
$\therefore$ 乙同学的裁剪方案不能实现。
任务3:
按甲同学的方式裁剪:$S=x(40-x)=-x^2+40x=-(x-20)^2+400$。
$\because -1＜0$,
$\therefore$ 当 $x=20$ 时,矩形的面积取得最大值,最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
按乙同学的方式裁剪:$S=y(40\sqrt{2}-2y)=-2y^2+40\sqrt{2}y=-2(y-10\sqrt{2})^2+400$。
$\because -2＜0$,
$\therefore$ 当 $y=10\sqrt{2}$ 时,矩形的面积取得最大值,最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
综上所述,矩形纸片面积的最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
本题以等腰直角三角形裁剪矩形的实际情境为载体，综合考查几何与代数的综合应用，解题思路如下：
1. 任务1：先利用等腰直角三角形45°角的性质，推导出甲同学裁剪的矩形邻边与三角形直角边的数量关系，设未知数表示矩形的两组邻边，再根据面积关系列一元二次方程求解，最后代入周长公式计算即可，注意方程的两个解对应的邻边和固定，周长不变。
2. 任务2：先用勾股定理求出等腰直角三角形斜边BC的长度，结合45°角的性质推导乙同学裁剪的矩形边长与斜边的关系，设未知数表示矩形邻边，按面积要求列方程后，通过判别式判断方程是否有实数根，即可判断方案是否可行。
3. 任务3：分别针对甲、乙两种裁剪方式，将矩形面积表示为边长的二次函数，用配方法求出两种裁剪方式下的面积最大值，比较后得到最终的最大面积即可。
【解析】
任务1：
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，$∠ A=90°$，
$\therefore ∠ C=45°$。
$\because$ 四边形 $ADEF$ 是矩形，
$\therefore ∠ EFC=90°$，
$\therefore ∠ FEC=∠ C=45°$，
$\therefore EF=CF$。
设 $EF=CF=x\ \mathrm{cm}$，则 $AF=(40-x)\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 矩形 $ADEF$ 的面积为三角形面积的 $\frac{7}{32}$，
$\therefore x(40-x)=\frac{7}{32}×\frac{1}{2}×40×40$，
解得 $x_1=5,x_2=35$，
$\therefore$ 矩形 $ADEF$ 的周长为 $2×(5+35)=80(\mathrm{cm})$。
任务2：
乙同学的方案不能实现。理由如下：
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ A=90°,∠ B=∠ C=45°$。
$\because$ 四边形 $MNPQ$ 是矩形，$∠ B=∠ C=45°$，
$\therefore ∠ MQP=∠ NPQ=90°$，
$\therefore ∠ MQB=∠ NPC=90°$，
$\therefore ∠ QMB=∠ PNC=45°$，
$\therefore ∠ B=∠ QMB,∠ PNC=∠ C$，
$\therefore BQ=MQ=NP=CP$。
$\because ∠ A=90°,AB=AC=40\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
设 $BQ=MQ=NP=CP=y\ \mathrm{cm}$，
则 $PQ=(40\sqrt{2}-2y)\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 矩形 $MNPQ$ 的面积为三角形面积的 $\frac{5}{8}$，
$\therefore y(40\sqrt{2}-2y)=\frac{5}{8}×\frac{1}{2}×40×40$，
整理得 $y^2-20\sqrt{2}y+250=0$。
$\because \Delta=(20\sqrt{2})^2-4×1×250=800-1000=-200＜0$，
$\therefore$ 方程没有实数根，
$\therefore$ 乙同学的裁剪方案不能实现。
任务3：
按甲同学的方式裁剪：$S=x(40-x)=-x^2+40x=-(x-20)^2+400$，
$\because -1＜0$，
$\therefore$ 当 $x=20$ 时，矩形的面积取得最大值，最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
按乙同学的方式裁剪：$S=y(40\sqrt{2}-2y)=-2y^2+40\sqrt{2}y=-2(y-10\sqrt{2})^2+400$，
$\because -2＜0$，
$\therefore$ 当 $y=10\sqrt{2}$ 时，矩形的面积取得最大值，最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
综上所述，矩形纸片面积的最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{80\ \mathrm{cm}}$；
任务2：不能实现，理由见解析；
任务3：$\boldsymbol{400\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
等腰直角三角形性质、一元二次方程的应用、二次函数的最值
【点评】
本题以实际裁剪活动为背景，融合了几何性质推导、方程建模、函数求最值等多个考点，既考查了学生对基础知识的掌握程度，也锻炼了学生将实际问题转化为数学模型的应用能力，解题时需注意分类讨论两种不同的裁剪方式，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题以等腰直角三角形裁剪矩形的实际情境为载体，综合考查几何与代数的综合应用，解题思路如下：
1. 任务1：先利用等腰直角三角形45°角的性质，推导出甲同学裁剪的矩形邻边与三角形直角边的数量关系，设未知数表示矩形的两组邻边，再根据面积关系列一元二次方程求解，最后代入周长公式计算即可，注意方程的两个解对应的邻边和固定，周长不变。
2. 任务2：先用勾股定理求出等腰直角三角形斜边BC的长度，结合45°角的性质推导乙同学裁剪的矩形边长与斜边的关系，设未知数表示矩形邻边，按面积要求列方程后，通过判别式判断方程是否有实数根，即可判断方案是否可行。
3. 任务3：分别针对甲、乙两种裁剪方式，将矩形面积表示为边长的二次函数，用配方法求出两种裁剪方式下的面积最大值，比较后得到最终的最大面积即可。
【解析】
任务1：
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，$∠ A=90°$，
$\therefore ∠ C=45°$。
$\because$ 四边形 $ADEF$ 是矩形，
$\therefore ∠ EFC=90°$，
$\therefore ∠ FEC=∠ C=45°$，
$\therefore EF=CF$。
设 $EF=CF=x\ \mathrm{cm}$，则 $AF=(40-x)\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 矩形 $ADEF$ 的面积为三角形面积的 $\frac{7}{32}$，
$\therefore x(40-x)=\frac{7}{32}×\frac{1}{2}×40×40$，
解得 $x_1=5,x_2=35$，
$\therefore$ 矩形 $ADEF$ 的周长为 $2×(5+35)=80(\mathrm{cm})$。
任务2：
乙同学的方案不能实现。理由如下：
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ A=90°,∠ B=∠ C=45°$。
$\because$ 四边形 $MNPQ$ 是矩形，$∠ B=∠ C=45°$，
$\therefore ∠ MQP=∠ NPQ=90°$，
$\therefore ∠ MQB=∠ NPC=90°$，
$\therefore ∠ QMB=∠ PNC=45°$，
$\therefore ∠ B=∠ QMB,∠ PNC=∠ C$，
$\therefore BQ=MQ=NP=CP$。
$\because ∠ A=90°,AB=AC=40\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
设 $BQ=MQ=NP=CP=y\ \mathrm{cm}$，
则 $PQ=(40\sqrt{2}-2y)\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 矩形 $MNPQ$ 的面积为三角形面积的 $\frac{5}{8}$，
$\therefore y(40\sqrt{2}-2y)=\frac{5}{8}×\frac{1}{2}×40×40$，
整理得 $y^2-20\sqrt{2}y+250=0$。
$\because \Delta=(20\sqrt{2})^2-4×1×250=800-1000=-200＜0$，
$\therefore$ 方程没有实数根，
$\therefore$ 乙同学的裁剪方案不能实现。
任务3：
按甲同学的方式裁剪：$S=x(40-x)=-x^2+40x=-(x-20)^2+400$，
$\because -1＜0$，
$\therefore$ 当 $x=20$ 时，矩形的面积取得最大值，最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
按乙同学的方式裁剪：$S=y(40\sqrt{2}-2y)=-2y^2+40\sqrt{2}y=-2(y-10\sqrt{2})^2+400$，
$\because -2＜0$，
$\therefore$ 当 $y=10\sqrt{2}$ 时，矩形的面积取得最大值，最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
综上所述，矩形纸片面积的最大值为 $400\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{80\ \mathrm{cm}}$；
任务2：不能实现，理由见解析；
任务3：$\boldsymbol{400\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
等腰直角三角形性质、一元二次方程的应用、二次函数的最值
【点评】
本题以实际裁剪活动为背景，融合了几何性质推导、方程建模、函数求最值等多个考点，既考查了学生对基础知识的掌握程度，也锻炼了学生将实际问题转化为数学模型的应用能力，解题时需注意分类讨论两种不同的裁剪方式，避免漏解。
【难度系数】
0.6
