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4. 关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是(
A.频率就是概率
B.随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近
C.试验得到的频率一定会等于概率
D.在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同
B
)。A.频率就是概率
B.随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近
C.试验得到的频率一定会等于概率
D.在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先要明确频率和概率的核心概念：频率是试验中事件发生次数与总试验次数的比值，属于随机波动的数值；概率是事件固有、固定不变的，用于衡量事件发生可能性大小。再结合频率的稳定性规律，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
先明确相关概念：
1. 频率：相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数为m，则频率为$\frac{m}{n}$，会随每次试验的结果发生变化。
2. 概率：是随机事件本身固有的属性，是固定不变的数值，代表事件发生的可能性大小。
3. 频率的稳定性：当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐步稳定在对应的概率值附近，因此可以用频率估计概率。
逐一分析选项：
A. 频率是试验得到的波动值，概率是固定的固有值，二者概念不同，不是同一事物，该选项错误；
B. 符合频率的稳定性规律，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，该选项正确；
C. 试验得到的频率只是概率的近似值，并非一定会等于概率，该选项错误；
D. 随机试验的结果具有随机性，即使试验条件、试验次数完全相同，不同试验的结果也可能有差异，因此所得频率不一定相同，该选项错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
频率与概率的关系；频率的稳定性
【点评】
本题是概率部分的基础概念题，重点考查对频率、概率概念的区分，以及对频率稳定性规律的理解，掌握核心概念的异同是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确频率和概率的核心概念：频率是试验中事件发生次数与总试验次数的比值，属于随机波动的数值；概率是事件固有、固定不变的，用于衡量事件发生可能性大小。再结合频率的稳定性规律，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
先明确相关概念：
1. 频率：相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数为m，则频率为$\frac{m}{n}$，会随每次试验的结果发生变化。
2. 概率：是随机事件本身固有的属性，是固定不变的数值，代表事件发生的可能性大小。
3. 频率的稳定性：当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐步稳定在对应的概率值附近，因此可以用频率估计概率。
逐一分析选项：
A. 频率是试验得到的波动值，概率是固定的固有值，二者概念不同，不是同一事物，该选项错误；
B. 符合频率的稳定性规律，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，该选项正确；
C. 试验得到的频率只是概率的近似值，并非一定会等于概率，该选项错误；
D. 随机试验的结果具有随机性，即使试验条件、试验次数完全相同，不同试验的结果也可能有差异，因此所得频率不一定相同，该选项错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
频率与概率的关系；频率的稳定性
【点评】
本题是概率部分的基础概念题，重点考查对频率、概率概念的区分，以及对频率稳定性规律的理解，掌握核心概念的异同是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 木箱中装有14个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同。随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7附近，估计木箱中蓝球的个数。
答案
5.解:设有$x$个蓝球。
根据题意得$\frac{14}{14+x}=0.7$,解得$x=6$。
经检验,$x=6$是原方程的根。
故估计木箱中有6个蓝球。
根据题意得$\frac{14}{14+x}=0.7$,解得$x=6$。
经检验,$x=6$是原方程的根。
故估计木箱中有6个蓝球。
解析
【分析】
首先，根据大量重复试验的频率稳定性规律，当摸到红球的频率稳定在0.7附近时，可估计摸到红球的概率为0.7。其次，概率的计算公式为“事件发生的概率=对应事件的数量÷总数量”，本题中摸到红球的概率等于红球个数除以红球与蓝球的总个数。我们可以设蓝球的个数为未知数，根据上述等量关系列分式方程求解，最后要检验所得的根是否符合实际意义，同时满足分式方程的要求。
【解析】
解：设木箱中有$x$个蓝球。
根据题意，摸到红球的概率可估计为0.7，列方程得：
$\frac{14}{14+x}=0.7$
解方程：
$14=0.7×(14+x)$
$14=9.8+0.7x$
$0.7x=14-9.8$
$0.7x=4.2$
$x=6$
经检验，当$x=6$时，$14+x=20≠0$，所以$x=6$是原方程的根，且符合实际意义。
【答案】
估计木箱中有6个蓝球。
【知识点】
1.用频率估计概率
2.概率计算
3.分式方程求解
【点评】
本题是概率与方程结合的基础题型，解题关键是理解大量重复试验下频率可作为概率的估计值，结合概率公式建立等量关系列方程求解，注意分式方程求解后需要验根，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先，根据大量重复试验的频率稳定性规律，当摸到红球的频率稳定在0.7附近时，可估计摸到红球的概率为0.7。其次，概率的计算公式为“事件发生的概率=对应事件的数量÷总数量”，本题中摸到红球的概率等于红球个数除以红球与蓝球的总个数。我们可以设蓝球的个数为未知数，根据上述等量关系列分式方程求解，最后要检验所得的根是否符合实际意义，同时满足分式方程的要求。
【解析】
解：设木箱中有$x$个蓝球。
根据题意，摸到红球的概率可估计为0.7，列方程得：
$\frac{14}{14+x}=0.7$
解方程：
$14=0.7×(14+x)$
$14=9.8+0.7x$
$0.7x=14-9.8$
$0.7x=4.2$
$x=6$
经检验，当$x=6$时，$14+x=20≠0$，所以$x=6$是原方程的根，且符合实际意义。
【答案】
估计木箱中有6个蓝球。
【知识点】
1.用频率估计概率
2.概率计算
3.分式方程求解
【点评】
本题是概率与方程结合的基础题型，解题关键是理解大量重复试验下频率可作为概率的估计值，结合概率公式建立等量关系列方程求解，注意分式方程求解后需要验根，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
6.【跨学科】生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只。估计这片山林中雀鸟的数量为（
A.1 000只
B.10 000只
C.5 000只
D.50 000只
B
）。A.1 000只
B.10 000只
C.5 000只
D.50 000只
答案
6.B
解析
【分析】
本题是利用频率估计概率解决实际估算问题，解题思路如下：首先，做过标记的雀鸟放回山林后会均匀分布在种群中，因此整个山林中带标记的雀鸟数量占总雀鸟数量的比例，与随机捕捉的样本中带标记雀鸟占样本总量的比例近似相等。我们可以设山林中雀鸟总数量为未知数，根据上述比例关系列方程求解即可。
【解析】
设这片山林中雀鸟的数量约为$ x $只。
根据用频率估计概率的原理，带标记雀鸟占总数量的比例等于样本中带标记雀鸟占样本数量的比例，可列方程：
$\frac{100}{x} = \frac{5}{500}$
交叉相乘得：$ 5x = 100 × 500 $
计算得：$ 5x = 50000 $
解得：$ x = 10000 $
经检验，$ x=10000 $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；分式方程的实际应用
【点评】
本题结合生物学科的标记重捕法背景，考查统计知识在实际问题中的应用，解题核心是抓住“标记个体占总体的比例与样本中标记个体占比近似相等”这一关系建立方程，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
本题是利用频率估计概率解决实际估算问题，解题思路如下：首先，做过标记的雀鸟放回山林后会均匀分布在种群中，因此整个山林中带标记的雀鸟数量占总雀鸟数量的比例，与随机捕捉的样本中带标记雀鸟占样本总量的比例近似相等。我们可以设山林中雀鸟总数量为未知数，根据上述比例关系列方程求解即可。
【解析】
设这片山林中雀鸟的数量约为$ x $只。
根据用频率估计概率的原理，带标记雀鸟占总数量的比例等于样本中带标记雀鸟占样本数量的比例，可列方程：
$\frac{100}{x} = \frac{5}{500}$
交叉相乘得：$ 5x = 100 × 500 $
计算得：$ 5x = 50000 $
解得：$ x = 10000 $
经检验，$ x=10000 $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；分式方程的实际应用
【点评】
本题结合生物学科的标记重捕法背景，考查统计知识在实际问题中的应用，解题核心是抓住“标记个体占总体的比例与样本中标记个体占比近似相等”这一关系建立方程，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
7.【跨学科】在地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为200 $\mathrm{cm}^2$ 的长方形卡片上绘制了山西省地形图，为计算该地形图的面积，他们采取了如下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录球落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）。他们将若干次有效试验结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积为
110
$\mathrm{cm}^2$。答案
7.110
解析
【分析】
解题时首先要明确：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。第一步观察折线统计图，随着试验次数增多，小球落在地形图上的频率稳定在0.55附近，因此可估计该事件的概率为0.55；第二步结合几何概率的计算逻辑：小球落在地形图上的概率=地形图面积÷长方形卡片总面积，已知长方形面积为200$\mathrm{cm}^2$，代入概率值即可求出地形图的面积。
【解析】
观察折线统计图可知，当试验次数足够大时，小球落在地形图上的频率稳定在0.55附近，因此估计小球落在地形图上的概率为0.55。
设该地形图的面积为$ S\ \mathrm{cm}^2 $，根据几何概率公式可得：
$ \frac{S}{200}=0.55 $
解得：$ S=200×0.55=110 $
【答案】
110
【知识点】
用频率估计概率；几何概率；概率计算
【点评】
本题结合实际实践场景和折线统计图，考查了频率与概率的关系以及几何概率的应用，需要具备从统计图表中提取有效信息的能力，体现了数学知识在实际问题中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。第一步观察折线统计图，随着试验次数增多，小球落在地形图上的频率稳定在0.55附近，因此可估计该事件的概率为0.55；第二步结合几何概率的计算逻辑：小球落在地形图上的概率=地形图面积÷长方形卡片总面积，已知长方形面积为200$\mathrm{cm}^2$，代入概率值即可求出地形图的面积。
【解析】
观察折线统计图可知，当试验次数足够大时，小球落在地形图上的频率稳定在0.55附近，因此估计小球落在地形图上的概率为0.55。
设该地形图的面积为$ S\ \mathrm{cm}^2 $，根据几何概率公式可得：
$ \frac{S}{200}=0.55 $
解得：$ S=200×0.55=110 $
【答案】
110
【知识点】
用频率估计概率；几何概率；概率计算
【点评】
本题结合实际实践场景和折线统计图，考查了频率与概率的关系以及几何概率的应用，需要具备从统计图表中提取有效信息的能力，体现了数学知识在实际问题中的应用价值。
【难度系数】
0.7
8. 在一个不透明的袋子里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是摸球试验的统计数据：
(1)表中的$a=$
(2)摸到白球的概率的估计值是
(3)若袋中有12个白球，估计袋中一共有多少个球。
(4)在(3)的条件下，小明说：“取出4个白球，此时从袋中随机摸出一个球，是白球的概率为$\frac{2}{5}$。”小明的说法对吗？请说明理由。
(1)表中的$a=$
0.59
，$b=$116
。(2)摸到白球的概率的估计值是
0.6
。(精确到0.1)(3)若袋中有12个白球，估计袋中一共有多少个球。
(4)在(3)的条件下，小明说：“取出4个白球，此时从袋中随机摸出一个球，是白球的概率为$\frac{2}{5}$。”小明的说法对吗？请说明理由。
答案
8.(1)0.59 116 (2)0.6
(3)解:$12÷0.6=20$(个)。
故估计袋中一共有20个球。
(4)解:小明的说法错误。理由如下:
由题意知,取出4个白球后,剩余的白球有$12-4=8$(个),袋中共有球$20-4=16$(个),
所以从袋中随机摸出一个球,是白球的概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
(3)解:$12÷0.6=20$(个)。
故估计袋中一共有20个球。
(4)解:小明的说法错误。理由如下:
由题意知,取出4个白球后,剩余的白球有$12-4=8$(个),袋中共有球$20-4=16$(个),
所以从袋中随机摸出一个球,是白球的概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 根据频率的计算公式“频率=摸到白球的次数÷摸球总次数”，计算a时直接用59除以100；计算b时用摸球总次数200乘对应频率0.58即可。
(2) 当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势，找到稳定的数值即可。
(3) 已知白球个数和摸到白球的概率，根据“总球数=白球数÷摸到白球的概率”列式计算即可。
(4) 先计算取出4个白球后剩余的白球数量、剩余的总球数，再根据概率公式算出此时摸到白球的概率，和小明给出的概率对比即可判断说法是否正确。
【解析】
(1) $a=\frac{59}{100}=0.59$，$b=200×0.58=116$。
(2) 观察表格数据，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此摸到白球的概率估计值为0.6。
(3) 已知摸到白球的概率约为0.6，袋中有12个白球，总球数为：$12÷0.6=20$（个）。
(4) 小明的说法错误，理由如下：
取出4个白球后，剩余白球数量为$12-4=8$（个），袋中剩余总球数为$20-4=16$（个），此时随机摸出一个球是白球的概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}≠\frac{2}{5}$，因此小明的说法错误。
【答案】
(1) 0.59；116
(2) 0.6
(3) 估计袋中一共有20个球。
(4) 小明的说法不对，理由见解析。
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，简单概率计算
【点评】
本题考查频率与概率的相关知识，重点是理解大量重复试验下频率的稳定值就是概率的估计值，解题时要注意计算概率时，对应总数量和符合条件的数量要匹配，是概率模块的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 根据频率的计算公式“频率=摸到白球的次数÷摸球总次数”，计算a时直接用59除以100；计算b时用摸球总次数200乘对应频率0.58即可。
(2) 当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势，找到稳定的数值即可。
(3) 已知白球个数和摸到白球的概率，根据“总球数=白球数÷摸到白球的概率”列式计算即可。
(4) 先计算取出4个白球后剩余的白球数量、剩余的总球数，再根据概率公式算出此时摸到白球的概率，和小明给出的概率对比即可判断说法是否正确。
【解析】
(1) $a=\frac{59}{100}=0.59$，$b=200×0.58=116$。
(2) 观察表格数据，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此摸到白球的概率估计值为0.6。
(3) 已知摸到白球的概率约为0.6，袋中有12个白球，总球数为：$12÷0.6=20$（个）。
(4) 小明的说法错误，理由如下：
取出4个白球后，剩余白球数量为$12-4=8$（个），袋中剩余总球数为$20-4=16$（个），此时随机摸出一个球是白球的概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}≠\frac{2}{5}$，因此小明的说法错误。
【答案】
(1) 0.59；116
(2) 0.6
(3) 估计袋中一共有20个球。
(4) 小明的说法不对，理由见解析。
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，简单概率计算
【点评】
本题考查频率与概率的相关知识，重点是理解大量重复试验下频率的稳定值就是概率的估计值，解题时要注意计算概率时，对应总数量和符合条件的数量要匹配，是概率模块的基础题型。
【难度系数】
0.7
