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9. [2026合肥期中]若$2x+1$与$2x-1$互为倒数，则实数$x$的值为（
A.$\pm \dfrac{1}{2}$
B.$\pm 1$
C.$\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\pm \sqrt{2}$
C
）A.$\pm \dfrac{1}{2}$
B.$\pm 1$
C.$\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\pm \sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先利用倒数的性质：互为倒数的两个数乘积为1，列出关于x的方程；再观察方程左边的结构符合平方差公式的特征，展开后化简为x²=a（a≥0）的形式，最后用直接开平方法求解即可，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
∵ $2x+1$与$2x-1$互为倒数
∴ 根据倒数的定义可得：$(2x+1)(2x-1)=1$
利用平方差公式展开左边：
$4x^2-1=1$
移项、合并同类项得：
$4x^2=2$
两边同时除以4得：
$x^2=\frac{1}{2}$
直接开平方得：
$x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
C
【知识点】
倒数的定义；平方差公式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础运算题，将倒数的性质和一元二次方程的解法结合考查，解题的核心是正确根据数量关系列方程，计算时要注意开平方后根的正负性，根式化简要符合规范。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用倒数的性质：互为倒数的两个数乘积为1，列出关于x的方程；再观察方程左边的结构符合平方差公式的特征，展开后化简为x²=a（a≥0）的形式，最后用直接开平方法求解即可，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
∵ $2x+1$与$2x-1$互为倒数
∴ 根据倒数的定义可得：$(2x+1)(2x-1)=1$
利用平方差公式展开左边：
$4x^2-1=1$
移项、合并同类项得：
$4x^2=2$
两边同时除以4得：
$x^2=\frac{1}{2}$
直接开平方得：
$x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
C
【知识点】
倒数的定义；平方差公式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础运算题，将倒数的性质和一元二次方程的解法结合考查，解题的核心是正确根据数量关系列方程，计算时要注意开平方后根的正负性，根式化简要符合规范。
【难度系数】
0.7
10. 分类讨论思想 已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程$(x-3)^2=4$的一个根，则此三角形的周长为
$15$
。答案
15
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，先利用直接开平方法解出一元二次方程的两个根，得到第三边的可能取值；第二步，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，对两个根进行分类讨论，判断哪些根可以构成三角形，舍去不符合要求的根；第三步，将符合条件的第三边长度代入，计算三角形的周长即可。
【解析】
1. 解方程$(x-3)^2=4$：
直接开平方得：$x-3=\pm2$
解得：$x_1=5$，$x_2=1$，即第三边的长可能为5或1。
2. 验证能否构成三角形：
① 若第三边长为1：此时三边长为4、6、1，$\because1+4=5＜6$，不满足三角形三边关系，故舍去该情况；
② 若第三边长为5：此时三边长为4、6、5，满足任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，符合三角形三边关系。
3. 计算周长：
三角形周长为$4+6+5=15$。
【答案】
15
【知识点】
直接开平方法解方程；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是解出方程的根后，不要忽略验证根是否满足三角形三边的构成条件，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，先利用直接开平方法解出一元二次方程的两个根，得到第三边的可能取值；第二步，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，对两个根进行分类讨论，判断哪些根可以构成三角形，舍去不符合要求的根；第三步，将符合条件的第三边长度代入，计算三角形的周长即可。
【解析】
1. 解方程$(x-3)^2=4$：
直接开平方得：$x-3=\pm2$
解得：$x_1=5$，$x_2=1$，即第三边的长可能为5或1。
2. 验证能否构成三角形：
① 若第三边长为1：此时三边长为4、6、1，$\because1+4=5＜6$，不满足三角形三边关系，故舍去该情况；
② 若第三边长为5：此时三边长为4、6、5，满足任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，符合三角形三边关系。
3. 计算周长：
三角形周长为$4+6+5=15$。
【答案】
15
【知识点】
直接开平方法解方程；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是解出方程的根后，不要忽略验证根是否满足三角形三边的构成条件，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
11. [易错题] [2026 北京期中]若$(m^2 + n^2 - 1)^2 = 9$，则$m^2 + n^2 =$
$4$
.答案
4
解析
【分析】
解题时先将$m^2 + n^2 - 1$看作一个整体，运用直接开平方法得到两个等式，再结合平方的非负性可知$m^2≥0$、$n^2≥0$，因此$m^2 + n^2$的结果一定是非负的，据此对计算结果进行取舍即可得到正确答案。
【解析】
对等式$(m^2 + n^2 - 1)^2 = 9$两边直接开平方，得：
$m^2 + n^2 - 1 = \pm3$
分两种情况计算：
1. 当$m^2 + n^2 - 1 = 3$时，移项得$m^2 + n^2 = 3 + 1 = 4$；
2. 当$m^2 + n^2 - 1 = -3$时，移项得$m^2 + n^2 = -3 + 1 = -2$。
因为$m^2≥0$，$n^2≥0$，所以$m^2 + n^2≥0$，因此$m^2 + n^2 = -2$不符合实际，舍去。
综上，$m^2 + n^2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方的非负性，整体思想
【点评】
本题属于易错题，易错点是忽略$m^2$、$n^2$的非负性，直接保留两个计算结果，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对结果进行检验取舍。
【难度系数】
0.7
解题时先将$m^2 + n^2 - 1$看作一个整体，运用直接开平方法得到两个等式，再结合平方的非负性可知$m^2≥0$、$n^2≥0$，因此$m^2 + n^2$的结果一定是非负的，据此对计算结果进行取舍即可得到正确答案。
【解析】
对等式$(m^2 + n^2 - 1)^2 = 9$两边直接开平方，得：
$m^2 + n^2 - 1 = \pm3$
分两种情况计算：
1. 当$m^2 + n^2 - 1 = 3$时，移项得$m^2 + n^2 = 3 + 1 = 4$；
2. 当$m^2 + n^2 - 1 = -3$时，移项得$m^2 + n^2 = -3 + 1 = -2$。
因为$m^2≥0$，$n^2≥0$，所以$m^2 + n^2≥0$，因此$m^2 + n^2 = -2$不符合实际，舍去。
综上，$m^2 + n^2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方的非负性，整体思想
【点评】
本题属于易错题，易错点是忽略$m^2$、$n^2$的非负性，直接保留两个计算结果，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对结果进行检验取舍。
【难度系数】
0.7
12. 运算能力 用直接开平方法解下列方程：
(1)$x^2 + 6x + 9 = 7$；
(2)$4(2x - 1)^2 - 36 = 0$；
(3)$(y + 2)^2 = (3y - 1)^2$；
(4)$4(3x - 1)^2 - 9(3x + 1)^2 = 0$。
(1)$x^2 + 6x + 9 = 7$；
(2)$4(2x - 1)^2 - 36 = 0$；
(3)$(y + 2)^2 = (3y - 1)^2$；
(4)$4(3x - 1)^2 - 9(3x + 1)^2 = 0$。
答案
解: (1)$x_1=-3+\sqrt{7},x_2=-3-\sqrt{7}.$(2)$x_1=2,x_2=-1.$
(3)$y_1=\frac{3}{2},y_2=-\frac{1}{4}.$(4)$x_1=-\frac{5}{3},x_2=-\frac{1}{15}.$
(3)$y_1=\frac{3}{2},y_2=-\frac{1}{4}.$(4)$x_1=-\frac{5}{3},x_2=-\frac{1}{15}.$
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“左边是含未知数的完全平方式，右边为非负常数”或“左右两边均为含未知数的完全平方式”的形式，再根据平方根的性质开平方，将一元二次方程转化为一元一次方程求解。
(1)题左边本身是完全平方式，可直接写成平方形式后开方；(2)题先移项、系数化为1，将方程转化为完全平方式等于常数的形式再开方；(3)(4)题左右两边均为平方式，可直接开平方得到两个一次方程，分别求解即可，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏根。
【解析】
(1) 原方程变形为：$(x+3)^2=7$
开平方得：$x+3=\pm\sqrt{7}$
解得：$x_1=-3+\sqrt{7}$，$x_2=-3-\sqrt{7}$
(2) 移项得：$4(2x-1)^2=36$
两边同时除以4得：$(2x-1)^2=9$
开平方得：$2x-1=\pm3$
当$2x-1=3$时，解得$x=2$；当$2x-1=-3$时，解得$x=-1$
即$x_1=2$，$x_2=-1$
(3) 开平方得：$y+2=\pm(3y-1)$
当$y+2=3y-1$时，移项得$-2y=-3$，解得$y=\frac{3}{2}$
当$y+2=-(3y-1)$时，去括号得$y+2=-3y+1$，移项合并得$4y=-1$，解得$y=-\frac{1}{4}$
即$y_1=\frac{3}{2}$，$y_2=-\frac{1}{4}$
(4) 移项得：$4(3x-1)^2=9(3x+1)^2$
开平方得：$2(3x-1)=\pm3(3x+1)$
当$2(3x-1)=3(3x+1)$时，去括号得$6x-2=9x+3$，移项合并得$-3x=5$，解得$x=-\frac{5}{3}$
当$2(3x-1)=-3(3x+1)$时，去括号得$6x-2=-9x-3$，移项合并得$15x=-1$，解得$x=-\frac{1}{15}$
即$x_1=-\frac{5}{3}$，$x_2=-\frac{1}{15}$
【答案】
(1)$x_1=-3+\sqrt{7},x_2=-3-\sqrt{7}$；(2)$x_1=2,x_2=-1$；(3)$y_1=\frac{3}{2},y_2=-\frac{1}{4}$；(4)$x_1=-\frac{5}{3},x_2=-\frac{1}{15}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质，完全平方公式
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题的关键是熟练掌握直接开平方法的适用形式，开平方时注意不要遗漏负根的情况，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
用直接开平方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“左边是含未知数的完全平方式，右边为非负常数”或“左右两边均为含未知数的完全平方式”的形式，再根据平方根的性质开平方，将一元二次方程转化为一元一次方程求解。
(1)题左边本身是完全平方式，可直接写成平方形式后开方；(2)题先移项、系数化为1，将方程转化为完全平方式等于常数的形式再开方；(3)(4)题左右两边均为平方式，可直接开平方得到两个一次方程，分别求解即可，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏根。
【解析】
(1) 原方程变形为：$(x+3)^2=7$
开平方得：$x+3=\pm\sqrt{7}$
解得：$x_1=-3+\sqrt{7}$，$x_2=-3-\sqrt{7}$
(2) 移项得：$4(2x-1)^2=36$
两边同时除以4得：$(2x-1)^2=9$
开平方得：$2x-1=\pm3$
当$2x-1=3$时，解得$x=2$；当$2x-1=-3$时，解得$x=-1$
即$x_1=2$，$x_2=-1$
(3) 开平方得：$y+2=\pm(3y-1)$
当$y+2=3y-1$时，移项得$-2y=-3$，解得$y=\frac{3}{2}$
当$y+2=-(3y-1)$时，去括号得$y+2=-3y+1$，移项合并得$4y=-1$，解得$y=-\frac{1}{4}$
即$y_1=\frac{3}{2}$，$y_2=-\frac{1}{4}$
(4) 移项得：$4(3x-1)^2=9(3x+1)^2$
开平方得：$2(3x-1)=\pm3(3x+1)$
当$2(3x-1)=3(3x+1)$时，去括号得$6x-2=9x+3$，移项合并得$-3x=5$，解得$x=-\frac{5}{3}$
当$2(3x-1)=-3(3x+1)$时，去括号得$6x-2=-9x-3$，移项合并得$15x=-1$，解得$x=-\frac{1}{15}$
即$x_1=-\frac{5}{3}$，$x_2=-\frac{1}{15}$
【答案】
(1)$x_1=-3+\sqrt{7},x_2=-3-\sqrt{7}$；(2)$x_1=2,x_2=-1$；(3)$y_1=\frac{3}{2},y_2=-\frac{1}{4}$；(4)$x_1=-\frac{5}{3},x_2=-\frac{1}{15}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质，完全平方公式
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题的关键是熟练掌握直接开平方法的适用形式，开平方时注意不要遗漏负根的情况，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
13. 中考趋势·过程性学习 【阅读】小明同学遇到这样一个问题:已知关于$x$的一元二次方程$a(x+m)^2+b=0$的两个根是$x_1=-3$，$x_2=2$，求关于$x$的一元二次方程$a(x+m+1)^2+b=0$的根.他用“换元法”解决了这个问题.我们一起来看看小明同学的具体做法.
解:在方程$a(x+m+1)^2+b=0$中，令$y=x+1$，则方程可变形为$a(y+m)^2+b=0$.
根据关于$x$的一元二次方程$a(x+m)^2+b=0$的两个根是$x_1=-3$，$x_2=2$，
可得方程$a(y+m)^2+b=0$的两个根是$y_1=-3$，$y_2=2$.
把$y=-3$代入$y=x+1$，得$x=-4$；
把$y=2$代入$y=x+1$，得$x=1$.
所以方程$a(x+m+1)^2+b=0$的两个根是$x_1=-4$，$x_2=1$.
【应用】若关于$x$的一元二次方程$a(x+m)^2+n=0$的两个根是$x_1=-2$，$x_2=1$，求关于$x$的一元二次方程$a(x+m-2026)^2+n=0$的根.
解:在方程$a(x+m+1)^2+b=0$中，令$y=x+1$，则方程可变形为$a(y+m)^2+b=0$.
根据关于$x$的一元二次方程$a(x+m)^2+b=0$的两个根是$x_1=-3$，$x_2=2$，
可得方程$a(y+m)^2+b=0$的两个根是$y_1=-3$，$y_2=2$.
把$y=-3$代入$y=x+1$，得$x=-4$；
把$y=2$代入$y=x+1$，得$x=1$.
所以方程$a(x+m+1)^2+b=0$的两个根是$x_1=-4$，$x_2=1$.
【应用】若关于$x$的一元二次方程$a(x+m)^2+n=0$的两个根是$x_1=-2$，$x_2=1$，求关于$x$的一元二次方程$a(x+m-2026)^2+n=0$的根.
答案
解: $x_1=2024,x_2=2027.$
解析
【分析】
本题可类比阅读材料中的换元法求解：首先观察待求方程与已知根的方程的结构，发现二者形式高度相似，仅含x的部分相差常数2026，因此考虑将待求方程中$(x-2026)$看作整体换元，把待求方程转化为已知根的方程形式，先求出整体的值，再反解得到x的取值即可。
【解析】
在关于$x$的一元二次方程$a(x+m-2026)^2+n=0$中，令$y=x-2026$，则方程可变形为$a(y+m)^2+n=0$。
已知关于$x$的一元二次方程$a(x+m)^2+n=0$的两个根是$x_1=-2$，$x_2=1$，因此方程$a(y+m)^2+n=0$的两个根为$y_1=-2$，$y_2=1$。
将$y$的值代入$y=x-2026$求解$x$：
当$y=-2$时，$x-2026=-2$，解得$x=2024$；
当$y=1$时，$x-2026=1$，解得$x=2027$。
所以方程$a(x+m-2026)^2+n=0$的两个根为$x_1=2024$，$x_2=2027$。
【答案】
$x_1=2024,x_2=2027$
【知识点】
换元法解一元二次方程；一元二次方程的根的定义；整体思想
【点评】
本题属于过程性学习类的阅读应用题，核心考查类比迁移能力和整体代换思想，通过观察方程结构的相似性进行换元，将未知问题转化为已知问题求解，是一元二次方程解法的灵活应用。
【难度系数】
0.7
本题可类比阅读材料中的换元法求解：首先观察待求方程与已知根的方程的结构，发现二者形式高度相似，仅含x的部分相差常数2026，因此考虑将待求方程中$(x-2026)$看作整体换元，把待求方程转化为已知根的方程形式，先求出整体的值，再反解得到x的取值即可。
【解析】
在关于$x$的一元二次方程$a(x+m-2026)^2+n=0$中，令$y=x-2026$，则方程可变形为$a(y+m)^2+n=0$。
已知关于$x$的一元二次方程$a(x+m)^2+n=0$的两个根是$x_1=-2$，$x_2=1$，因此方程$a(y+m)^2+n=0$的两个根为$y_1=-2$，$y_2=1$。
将$y$的值代入$y=x-2026$求解$x$：
当$y=-2$时，$x-2026=-2$，解得$x=2024$；
当$y=1$时，$x-2026=1$，解得$x=2027$。
所以方程$a(x+m-2026)^2+n=0$的两个根为$x_1=2024$，$x_2=2027$。
【答案】
$x_1=2024,x_2=2027$
【知识点】
换元法解一元二次方程；一元二次方程的根的定义；整体思想
【点评】
本题属于过程性学习类的阅读应用题，核心考查类比迁移能力和整体代换思想，通过观察方程结构的相似性进行换元，将未知问题转化为已知问题求解，是一元二次方程解法的灵活应用。
【难度系数】
0.7
