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概念建构
用配方法解一元二次方程的步骤如下：
①将方程化为一般形式：$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$；
②把二次项系数化为1：$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$；
③把常数项移到方程右边，得 $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$；
④配方：在方程的两边分别加上一次项系数的一半的平方，使方程左边成为完全平方式，得 $x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}$，即
⑤求解：如果方程的右边是非负数，那么就用直接开平方法解，如果方程的右边是负数，那么原方程无实根。
基础巩固
用配方法解一元二次方程的步骤如下：
①将方程化为一般形式：$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$；
②把二次项系数化为1：$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$；
③把常数项移到方程右边，得 $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$；
④配方：在方程的两边分别加上一次项系数的一半的平方，使方程左边成为完全平方式，得 $x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}$，即
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
；⑤求解：如果方程的右边是非负数，那么就用直接开平方法解，如果方程的右边是负数，那么原方程无实根。
基础巩固
答案
④$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
解析
【分析】
解题时需要分两步处理等式两边：第一步处理左边的二次三项式，观察发现其符合完全平方和公式的结构特征，可直接利用完全平方公式化简为完全平方式；第二步处理右边的代数式，先计算乘方，再通过通分将两个分式化为同分母分式，合并后即可得到化简结果。
【解析】
首先化简等式左边：
根据完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，其中$m=x$，$n=\frac{b}{2a}$，可得：
$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (x + \frac{b}{2a})^2$
再化简等式右边：
先计算乘方得$(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}$，再将$\frac{c}{a}$通分为分母为$4a^2$的分式，即$\frac{c}{a}=\frac{4ac}{4a^2}$，因此：
$(\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a} = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
联立左右两边的化简结果，即可得到最终的等式。
【答案】
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
【知识点】
完全平方公式，分式运算，配方法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的核心变形步骤，熟练掌握完全平方公式的结构和分式的基本运算，是顺利完成配方的关键，也为后续推导求根公式打下基础。
【难度系数】
0.7
解题时需要分两步处理等式两边：第一步处理左边的二次三项式，观察发现其符合完全平方和公式的结构特征，可直接利用完全平方公式化简为完全平方式；第二步处理右边的代数式，先计算乘方，再通过通分将两个分式化为同分母分式，合并后即可得到化简结果。
【解析】
首先化简等式左边：
根据完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，其中$m=x$，$n=\frac{b}{2a}$，可得：
$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (x + \frac{b}{2a})^2$
再化简等式右边：
先计算乘方得$(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}$，再将$\frac{c}{a}$通分为分母为$4a^2$的分式，即$\frac{c}{a}=\frac{4ac}{4a^2}$，因此：
$(\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a} = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
联立左右两边的化简结果，即可得到最终的等式。
【答案】
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
【知识点】
完全平方公式，分式运算，配方法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的核心变形步骤，熟练掌握完全平方公式的结构和分式的基本运算，是顺利完成配方的关键，也为后续推导求根公式打下基础。
【难度系数】
0.7
知识点1 配方的方法
1. 填空：
(1)$x^2 - 4x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 + 7x + \frac{49}{4} = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2 - \frac{2}{5}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
1. 填空：
(1)$x^2 - 4x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 + 7x + \frac{49}{4} = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2 - \frac{2}{5}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
1.(1)4；2 (2)$\frac{7}{2}$ (3)$\frac{1}{25}$；$\frac{1}{5}$
解析
【分析】
本题考查二次项系数为1时的完全平方式配方，解题思路依据完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。对于形如$x^2+bx$的式子，配方时需添加的常数项是一次项系数$b$一半的平方，即$(\frac{b}{2})^2$，配方后括号内的常数为$\frac{b}{2}$，符号与一次项系数的符号一致。我们可以按照“找一次项系数→算系数的一半→求一半的平方得常数项”的步骤求解每一问。
【解析】
根据完全平方公式$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=(x+\frac{b}{2})^2$逐一计算：
(1) 一次项系数为$-4$，则$\frac{-4}{2}=-2$，$(-2)^2=4$，因此$x^2-4x+4=(x-2)^2$，依次填4、2；
(2) 一次项系数为$7$，则$\frac{7}{2}$就是配方后括号内的常数，因此$x^2+7x+\frac{49}{4}=(x+\frac{7}{2})^2$，填$\frac{7}{2}$；
(3) 一次项系数为$-\frac{2}{5}$，则$\frac{-\frac{2}{5}}{2}=-\frac{1}{5}$，$(-\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，因此$x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=(x-\frac{1}{5})^2$，依次填$\frac{1}{25}$、$\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)$4$；$2$ (2)$\frac{7}{2}$ (3)$\frac{1}{25}$；$\frac{1}{5}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，核心考查二次项系数为1时完全平方式的构造规律，掌握“常数项是一次项系数一半的平方”这一核心规则即可快速解题，是后续运用配方法解一元二次方程、求最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次项系数为1时的完全平方式配方，解题思路依据完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。对于形如$x^2+bx$的式子，配方时需添加的常数项是一次项系数$b$一半的平方，即$(\frac{b}{2})^2$，配方后括号内的常数为$\frac{b}{2}$，符号与一次项系数的符号一致。我们可以按照“找一次项系数→算系数的一半→求一半的平方得常数项”的步骤求解每一问。
【解析】
根据完全平方公式$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=(x+\frac{b}{2})^2$逐一计算：
(1) 一次项系数为$-4$，则$\frac{-4}{2}=-2$，$(-2)^2=4$，因此$x^2-4x+4=(x-2)^2$，依次填4、2；
(2) 一次项系数为$7$，则$\frac{7}{2}$就是配方后括号内的常数，因此$x^2+7x+\frac{49}{4}=(x+\frac{7}{2})^2$，填$\frac{7}{2}$；
(3) 一次项系数为$-\frac{2}{5}$，则$\frac{-\frac{2}{5}}{2}=-\frac{1}{5}$，$(-\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，因此$x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=(x-\frac{1}{5})^2$，依次填$\frac{1}{25}$、$\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)$4$；$2$ (2)$\frac{7}{2}$ (3)$\frac{1}{25}$；$\frac{1}{5}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，核心考查二次项系数为1时完全平方式的构造规律，掌握“常数项是一次项系数一半的平方”这一核心规则即可快速解题，是后续运用配方法解一元二次方程、求最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
元认知·归纳
$x^2 + bx + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2.$
2. 把代数式$2x^2 - 4x - 1$化成$a(x + m)^2 + k$的形式为$\_\_\_\_\_\_.$
$x^2 + bx + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2.$
2. 把代数式$2x^2 - 4x - 1$化成$a(x + m)^2 + k$的形式为$\_\_\_\_\_\_.$
答案
$\frac{b^2}{4}$；$\frac{b}{2}$
2.$2(x-1)^2 -3$
2.$2(x-1)^2 -3$
解析
【分析】
第1题考查完全平方公式的逆用，对照完全平方展开式的结构即可推导：完全平方公式$(x+p)^2=x^2+2px+p^2$，等式左边一次项系数为$2p$，对应题目中的$b$，先算出$p$的值，再求常数项$p^2$即可。
第2题考查二次项系数不为1的代数式配方，步骤为：①先提取二次项系数，将二次项和一次项放在括号内，把括号内的二次项系数化为1；②对括号内的二次式配方，凑成完全平方形式；③去括号整理为$a(x+m)^2+k$的形式即可。
【解析】
1. 根据完全平方公式$(x+p)^2=x^2+2px+p^2$，对比$x^2+bx$可得：$2p=b$，解得$p=\frac{b}{2}$，则需要补充的常数项为$p^2=(\frac{b}{2})^2=\frac{b^2}{4}$。
2. 对$2x^2-4x-1$配方：
第一步：提取二次项系数2，得$2(x^2 - 2x) - 1$；
第二步：对括号内$x^2-2x$配方，加1凑成完全平方，同时为了保持式子值不变，括号内要减1，即$x^2-2x=(x^2-2x+1)-1=(x-1)^2-1$；
第三步：代入原式整理：$2[(x-1)^2-1]-1=2(x-1)^2-2-1=2(x-1)^2-3$。
【答案】
$\frac{b^2}{4}$；$\frac{b}{2}$
2.$2(x-1)^2 -3$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
这两道题是配方法的基础应用题型，第一题帮助理解配方的核心逻辑，第二题掌握二次项系数不为1时的配方操作，是后续解一元二次方程、推导二次函数顶点式的必备基础，需要熟练掌握配方的步骤和注意事项。
【难度系数】
0.8
第1题考查完全平方公式的逆用，对照完全平方展开式的结构即可推导：完全平方公式$(x+p)^2=x^2+2px+p^2$，等式左边一次项系数为$2p$，对应题目中的$b$，先算出$p$的值，再求常数项$p^2$即可。
第2题考查二次项系数不为1的代数式配方，步骤为：①先提取二次项系数，将二次项和一次项放在括号内，把括号内的二次项系数化为1；②对括号内的二次式配方，凑成完全平方形式；③去括号整理为$a(x+m)^2+k$的形式即可。
【解析】
1. 根据完全平方公式$(x+p)^2=x^2+2px+p^2$，对比$x^2+bx$可得：$2p=b$，解得$p=\frac{b}{2}$，则需要补充的常数项为$p^2=(\frac{b}{2})^2=\frac{b^2}{4}$。
2. 对$2x^2-4x-1$配方：
第一步：提取二次项系数2，得$2(x^2 - 2x) - 1$；
第二步：对括号内$x^2-2x$配方，加1凑成完全平方，同时为了保持式子值不变，括号内要减1，即$x^2-2x=(x^2-2x+1)-1=(x-1)^2-1$；
第三步：代入原式整理：$2[(x-1)^2-1]-1=2(x-1)^2-2-1=2(x-1)^2-3$。
【答案】
$\frac{b^2}{4}$；$\frac{b}{2}$
2.$2(x-1)^2 -3$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
这两道题是配方法的基础应用题型，第一题帮助理解配方的核心逻辑，第二题掌握二次项系数不为1时的配方操作，是后续解一元二次方程、推导二次函数顶点式的必备基础，需要熟练掌握配方的步骤和注意事项。
【难度系数】
0.8
3.(新知回顾)用配方法解方程:$x^2+6x+4=0.$
解:将常数项移到方程右边，
得$x^2+6x=\_\_\_\_\_\_$，
配方,得$x^2+6x+\_\_\_\_\_\_=-4+\_\_\_\_\_\_$，
即$(x+\_\_\_\_\_\_)^2=\_\_\_\_\_\_$，
由此得$x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=\_\_\_\_\_\_.$
解:将常数项移到方程右边，
得$x^2+6x=\_\_\_\_\_\_$，
配方,得$x^2+6x+\_\_\_\_\_\_=-4+\_\_\_\_\_\_$，
即$(x+\_\_\_\_\_\_)^2=\_\_\_\_\_\_$，
由此得$x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=\_\_\_\_\_\_.$
答案
3.$-4;9;9;3;5;-3+\sqrt{5};-3-\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程，解题需遵循配方法的标准步骤：第一步先移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第二步配方，给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式；第三步将方程整理为$(x+m)^2=n$的形式，当$n≥0$时直接开平方即可求出方程的解。本题中一次项系数为6，其一半的平方为9，按步骤逐步计算即可。
【解析】
第一步：移项，将常数项4移到方程右侧，移项变号，得$x^2+6x=-4$；
第二步：配方，一次项系数为6，其一半的平方为$(\frac{6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9，得$x^2+6x+9=-4+9$；
第三步：左侧整理为完全平方形式，右侧计算结果，即$(x+3)^2=5$；
第四步：开平方得$x+3=\pm\sqrt{5}$，移项求解得$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
【答案】
$-4;9;9;3;5;-3+\sqrt{5};-3-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础题，重点考查配方法的核心操作步骤，熟练掌握移项、凑完全平方的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程，解题需遵循配方法的标准步骤：第一步先移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第二步配方，给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式；第三步将方程整理为$(x+m)^2=n$的形式，当$n≥0$时直接开平方即可求出方程的解。本题中一次项系数为6，其一半的平方为9，按步骤逐步计算即可。
【解析】
第一步：移项，将常数项4移到方程右侧，移项变号，得$x^2+6x=-4$；
第二步：配方，一次项系数为6，其一半的平方为$(\frac{6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9，得$x^2+6x+9=-4+9$；
第三步：左侧整理为完全平方形式，右侧计算结果，即$(x+3)^2=5$；
第四步：开平方得$x+3=\pm\sqrt{5}$，移项求解得$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
【答案】
$-4;9;9;3;5;-3+\sqrt{5};-3-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础题，重点考查配方法的核心操作步骤，熟练掌握移项、凑完全平方的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.用配方法解方程$x^2 -8x +8=0$，配方后得到的方程是（
A.$(x+8)^2=56$
B.$(x-8)^2=56$
C.$(x+4)^2=8$
D.$(x-4)^2=8$
D
）A.$(x+8)^2=56$
B.$(x-8)^2=56$
C.$(x+4)^2=8$
D.$(x-4)^2=8$
答案
4.D
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程左侧凑成完全平方式，常规解题思路为：第一步先把常数项移到方程右侧，第二步在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧转化为完全平方的形式，得到配方后的方程。本题按照该步骤逐步计算即可得出结果。
【解析】
对原方程$x^2 -8x +8=0$按配方法步骤变形：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 -8x = -8$；
2. 配方：一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(-4)^2=16$，在方程左右两边同时加16，得$x^2 -8x +16 = -8 +16$；
3. 整理：左侧根据完全平方公式可写成$(x-4)^2$，右侧计算得$8$，即配方后得到的方程为$(x-4)^2=8$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题，熟练掌握配方法的操作步骤就能快速解题。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程左侧凑成完全平方式，常规解题思路为：第一步先把常数项移到方程右侧，第二步在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧转化为完全平方的形式，得到配方后的方程。本题按照该步骤逐步计算即可得出结果。
【解析】
对原方程$x^2 -8x +8=0$按配方法步骤变形：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 -8x = -8$；
2. 配方：一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(-4)^2=16$，在方程左右两边同时加16，得$x^2 -8x +16 = -8 +16$；
3. 整理：左侧根据完全平方公式可写成$(x-4)^2$，右侧计算得$8$，即配方后得到的方程为$(x-4)^2=8$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题，熟练掌握配方法的操作步骤就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5. [2026合肥期中]用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 4x = 3$；
(2)$y^2 + y - 1 = 0$。
(1)$x^2 - 4x = 3$；
(2)$y^2 + y - 1 = 0$。
答案
5.解: (1)$x_1=2+\sqrt{7},x_2=2-\sqrt{7}.$
(2)$y_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},y_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.$
(2)$y_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},y_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程左边转化为完全平方式，右边为常数，再通过直接开平方求解。通用步骤为：①移项，将常数项移到方程右侧，使左侧仅含二次项和一次项；②配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；③开平方，得到两个一元一次方程；④求解得到原方程的根。本题第(1)问已经完成移项步骤，可直接配方；第(2)问需先移项再配方。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4x = 3$配方：
一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-2)^2=4$，方程两边同时加4得：
$x^2 -4x +4 = 3 +4$
即$(x-2)^2 =7$
开平方得：$x-2 = \pm\sqrt{7}$
解得：$x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$
(2) 对$y^2 + y - 1 = 0$先移项：
将常数项移到右侧得$y^2 + y =1$
一次项系数为$1$，其一半的平方为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，方程两边同时加$\frac{1}{4}$得：
$y^2 + y +\frac{1}{4} = 1 +\frac{1}{4}$
即$(y+\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$
开平方得：$y+\frac{1}{2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
解得：$y_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$y_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{7},x_2=2-\sqrt{7}$
(2)$y_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},y_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方的操作步骤，解题时需注意配方时方程左右两边必须同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程左边转化为完全平方式，右边为常数，再通过直接开平方求解。通用步骤为：①移项，将常数项移到方程右侧，使左侧仅含二次项和一次项；②配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；③开平方，得到两个一元一次方程；④求解得到原方程的根。本题第(1)问已经完成移项步骤，可直接配方；第(2)问需先移项再配方。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4x = 3$配方：
一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-2)^2=4$，方程两边同时加4得：
$x^2 -4x +4 = 3 +4$
即$(x-2)^2 =7$
开平方得：$x-2 = \pm\sqrt{7}$
解得：$x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$
(2) 对$y^2 + y - 1 = 0$先移项：
将常数项移到右侧得$y^2 + y =1$
一次项系数为$1$，其一半的平方为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，方程两边同时加$\frac{1}{4}$得：
$y^2 + y +\frac{1}{4} = 1 +\frac{1}{4}$
即$(y+\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$
开平方得：$y+\frac{1}{2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
解得：$y_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$y_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{7},x_2=2-\sqrt{7}$
(2)$y_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},y_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方的操作步骤，解题时需注意配方时方程左右两边必须同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误。
【难度系数】
0.8
6.(新知回顾)用配方法解方程:$3x^2 + 6x + 2 = 0.$
解:移项,得
二次项系数化为1,得
配方,得
开平方,得
所以$x_1=$
解:移项,得
$3x^2 + 6x = -2$
,二次项系数化为1,得
$x^2 + 2x = -\frac{2}{3}$
,配方,得
$(x+1)^2 = \frac{1}{3}$
,开平方,得
$x+1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
,所以$x_1=$
$\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
,$x_2=$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
.答案
6.$3x^2 + 6x = -2;x^2 + 2x = -\frac{2}{3};(x+1)^2 = \frac{1}{3};x+1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3}-1;-\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题时严格遵循配方法的固定步骤即可：①移项：将常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在等号左侧；②化二次项系数为1：方程左右两边同时除以二次项系数，将方程化为$x^2+bx=c$的形式，方便后续配方；③配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数；④开平方：利用平方根的定义对左右两边同时开平方，将二次方程降次为一元一次方程；⑤求解一元一次方程，得到原方程的两个根。
【解析】
1. 移项：将常数项$+2$移到等号右侧，符号改变，得$3x^2 + 6x = -2$；
2. 二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数3，得$x^2 + 2x = -\frac{2}{3}$；
3. 配方：一次项系数为2，它的一半是1，平方为1，方程两边同时加1，左边$x^2+2x+1=(x+1)^2$，右边$-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}$，得$(x+1)^2 = \frac{1}{3}$；
4. 开平方：根据平方根的定义，等号两边同时开平方，化简右侧根式，得$x+1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$；
5. 求解一元一次方程：
当$x+1=\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}-1$；
当$x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$x_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}-1$。
【答案】
$3x^2 + 6x = -2$；$x^2 + 2x = -\frac{2}{3}$；$(x+1)^2 = \frac{1}{3}$；$x+1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$；$\frac{\sqrt{3}}{3}-1$；$-\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的标准操作步骤，熟练掌握每一步的操作要求即可准确解题，配方法是推导一元二次方程求根公式的基础，也常用于代数式最值求解等问题，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解一元二次方程，解题时严格遵循配方法的固定步骤即可：①移项：将常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在等号左侧；②化二次项系数为1：方程左右两边同时除以二次项系数，将方程化为$x^2+bx=c$的形式，方便后续配方；③配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数；④开平方：利用平方根的定义对左右两边同时开平方，将二次方程降次为一元一次方程；⑤求解一元一次方程，得到原方程的两个根。
【解析】
1. 移项：将常数项$+2$移到等号右侧，符号改变，得$3x^2 + 6x = -2$；
2. 二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数3，得$x^2 + 2x = -\frac{2}{3}$；
3. 配方：一次项系数为2，它的一半是1，平方为1，方程两边同时加1，左边$x^2+2x+1=(x+1)^2$，右边$-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}$，得$(x+1)^2 = \frac{1}{3}$；
4. 开平方：根据平方根的定义，等号两边同时开平方，化简右侧根式，得$x+1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$；
5. 求解一元一次方程：
当$x+1=\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}-1$；
当$x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$x_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}-1$。
【答案】
$3x^2 + 6x = -2$；$x^2 + 2x = -\frac{2}{3}$；$(x+1)^2 = \frac{1}{3}$；$x+1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$；$\frac{\sqrt{3}}{3}-1$；$-\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的标准操作步骤，熟练掌握每一步的操作要求即可准确解题，配方法是推导一元二次方程求根公式的基础，也常用于代数式最值求解等问题，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7.用配方法解下列方程：
(1)$3x^2 -5x +2=0$；
(2)$\frac{1}{4}x^2 -x -4=0$。
(1)$3x^2 -5x +2=0$；
(2)$\frac{1}{4}x^2 -x -4=0$。
答案
7.解: (1)$x_1=1,x_2=\frac{2}{3}.$(2)$x_1=2+2\sqrt{5},x_2=2-2\sqrt{5}.$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：首先将二次项系数化为1，再把常数项移到方程右侧，随后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，最后通过直接开平方求解。本题两个方程的二次项系数均不为1，先处理二次项系数再按后续步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程 $3x^2 -5x +2=0$：
① 二次项系数化为1：两边同时除以3，得 $x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{2}{3}=0$
② 移项：将常数项移到等号右侧，得 $x^2 - \frac{5}{3}x = -\frac{2}{3}$
③ 配方：两边同时加上一次项系数$-\frac{5}{3}$一半的平方$\frac{25}{36}$，得
$x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{25}{36} = -\frac{2}{3} + \frac{25}{36}$
整理得 $(x - \frac{5}{6})^2 = \frac{1}{36}$
④ 开平方：$x - \frac{5}{6} = \pm \frac{1}{6}$
解得 $x_1 = \frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1$，$x_2 = \frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$
(2) 解方程 $\frac{1}{4}x^2 -x -4=0$：
① 二次项系数化为1：两边同时乘4，得 $x^2 -4x -16=0$
② 移项：将常数项移到等号右侧，得 $x^2 -4x =16$
③ 配方：两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方$4$，得
$x^2 -4x +4 =16 +4$
整理得 $(x-2)^2=20$
④ 开平方：$x-2 = \pm 2\sqrt{5}$
解得 $x_1=2+2\sqrt{5}$，$x_2=2-2\sqrt{5}$
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=\frac{2}{3}$；(2)$x_1=2+2\sqrt{5},x_2=2-2\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，解题时需注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等号两边要同时加上相同的常数，避免漏加右侧的常数项导致计算错误。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：首先将二次项系数化为1，再把常数项移到方程右侧，随后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，最后通过直接开平方求解。本题两个方程的二次项系数均不为1，先处理二次项系数再按后续步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程 $3x^2 -5x +2=0$：
① 二次项系数化为1：两边同时除以3，得 $x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{2}{3}=0$
② 移项：将常数项移到等号右侧，得 $x^2 - \frac{5}{3}x = -\frac{2}{3}$
③ 配方：两边同时加上一次项系数$-\frac{5}{3}$一半的平方$\frac{25}{36}$，得
$x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{25}{36} = -\frac{2}{3} + \frac{25}{36}$
整理得 $(x - \frac{5}{6})^2 = \frac{1}{36}$
④ 开平方：$x - \frac{5}{6} = \pm \frac{1}{6}$
解得 $x_1 = \frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1$，$x_2 = \frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$
(2) 解方程 $\frac{1}{4}x^2 -x -4=0$：
① 二次项系数化为1：两边同时乘4，得 $x^2 -4x -16=0$
② 移项：将常数项移到等号右侧，得 $x^2 -4x =16$
③ 配方：两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方$4$，得
$x^2 -4x +4 =16 +4$
整理得 $(x-2)^2=20$
④ 开平方：$x-2 = \pm 2\sqrt{5}$
解得 $x_1=2+2\sqrt{5}$，$x_2=2-2\sqrt{5}$
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=\frac{2}{3}$；(2)$x_1=2+2\sqrt{5},x_2=2-2\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，解题时需注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等号两边要同时加上相同的常数，避免漏加右侧的常数项导致计算错误。
【难度系数】
0.7
