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4.某商店将两块大小相同的半圆形地毯无裁剪地拼成一个圆形在店内展示，地毯的周长一共减少了12 m。原来每块半圆形地毯的面积是(
A.14.13
B.28.26
C.56.52
D.113.04
A
) m²。A.14.13
B.28.26
C.56.52
D.113.04
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先要明确两个半圆形地毯拼成一个圆形时周长减少的对应部分：原来两个半圆形的总周长包含1个整圆的周长加2条直径的长度，拼成圆形后周长仅为整圆的周长，因此减少的12m就是2条直径的总长度。我们可以先根据减少的周长算出圆的直径，再求出半径，最后代入半圆面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算半圆形的直径：
拼接后减少的周长是2条直径的长度，因此1条直径的长度为 $12÷2=6\ \mathrm{m}$
2. 计算圆的半径：
半径 $r = 6÷2=3\ \mathrm{m}$
3. 计算整圆的面积：
根据圆的面积公式 $S=π r^2$（$π$ 取3.14），得整圆面积为 $3.14×3^2=3.14×9=28.26\ \mathrm{m}^2$
4. 计算每块半圆形地毯的面积：
半圆形面积是整圆面积的一半，因此半圆面积为 $28.26÷2=14.13\ \mathrm{m}^2$
【答案】
A
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、图形拼接的周长变化
【点评】
本题的解题关键是准确判断拼接后周长减少的部分对应两条直径的长度，理清这一逻辑后结合圆的基础公式即可求解，容易出错的点是误将减少的周长当成1条直径的长度。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个半圆形地毯拼成一个圆形时周长减少的对应部分：原来两个半圆形的总周长包含1个整圆的周长加2条直径的长度，拼成圆形后周长仅为整圆的周长，因此减少的12m就是2条直径的总长度。我们可以先根据减少的周长算出圆的直径，再求出半径，最后代入半圆面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算半圆形的直径：
拼接后减少的周长是2条直径的长度，因此1条直径的长度为 $12÷2=6\ \mathrm{m}$
2. 计算圆的半径：
半径 $r = 6÷2=3\ \mathrm{m}$
3. 计算整圆的面积：
根据圆的面积公式 $S=π r^2$（$π$ 取3.14），得整圆面积为 $3.14×3^2=3.14×9=28.26\ \mathrm{m}^2$
4. 计算每块半圆形地毯的面积：
半圆形面积是整圆面积的一半，因此半圆面积为 $28.26÷2=14.13\ \mathrm{m}^2$
【答案】
A
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、图形拼接的周长变化
【点评】
本题的解题关键是准确判断拼接后周长减少的部分对应两条直径的长度，理清这一逻辑后结合圆的基础公式即可求解，容易出错的点是误将减少的周长当成1条直径的长度。
【难度系数】
0.7
1. 计算下图中涂色部分的面积。
2. 计算下图中涂色部分的周长和面积。
2. 计算下图中涂色部分的周长和面积。
答案
1. 16×8÷2=64(cm²)
2. 周长：π×8×1/2 +8=20.56(dm)
面积：8×4−π×4²×1/2=6.88(dm²)
2. 周长：π×8×1/2 +8=20.56(dm)
面积：8×4−π×4²×1/2=6.88(dm²)
解析
【分析】
1. 第1题：观察图形可知，涂色部分是三角形，它的底等于所在长方形的长16cm，高等于长方形的宽8cm，可直接用三角形面积公式计算，也可根据“等底等高的三角形面积是长方形面积的一半”快速求解。
2. 第2题：周长部分：涂色部分的周长由直径8dm的半圆弧长、半圆的直径（长8dm）两部分组成，分别算出两部分长度再相加即可。面积部分：涂色部分面积等于长8dm、宽4dm（即半圆的半径）的长方形面积减去直径8dm的半圆面积，分别计算两个基础图形的面积再作差即可。
【解析】
1. 根据三角形面积公式$S=ah÷2$（$a$为底，$h$为高），代入数值计算：
$16×8÷2=64(\mathrm{cm}^2)$
2. 周长计算：
半圆弧长是对应圆周长的一半，公式为$C_{\mathrm{半弧}}=π d÷2$（$d$为直径），代入$d=8\mathrm{dm}$得半圆弧长为$π×8×\frac{1}{2}\approx12.56\mathrm{dm}$，再加上直径的长度：
$12.56+8=20.56(\mathrm{dm})$
面积计算：
长方形的宽等于半圆的半径$8÷2=4\mathrm{dm}$，长方形面积为$8×4=32\mathrm{dm}^2$；半圆面积公式为$S_{\mathrm{半圆}}=π r^2÷2$（$r$为半径），代入$r=4\mathrm{dm}$得半圆面积为$π×4^2×\frac{1}{2}\approx25.12\mathrm{dm}^2$，二者作差得涂色面积：
$32-25.12=6.88(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
1. $64\mathrm{cm}^2$
2. 周长：$20.56\mathrm{dm}$；面积：$6.88\mathrm{dm}^2$
【知识点】
三角形面积计算、圆的周长与面积计算、组合图形周长面积计算
【点评】
此类题目的解题核心是将不规则的组合图形拆解为学过的基础图形，明确周长和面积的组成部分后再代入对应公式计算，计算周长时要注意区分哪些边属于涂色部分的边界，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.7
1. 第1题：观察图形可知，涂色部分是三角形，它的底等于所在长方形的长16cm，高等于长方形的宽8cm，可直接用三角形面积公式计算，也可根据“等底等高的三角形面积是长方形面积的一半”快速求解。
2. 第2题：周长部分：涂色部分的周长由直径8dm的半圆弧长、半圆的直径（长8dm）两部分组成，分别算出两部分长度再相加即可。面积部分：涂色部分面积等于长8dm、宽4dm（即半圆的半径）的长方形面积减去直径8dm的半圆面积，分别计算两个基础图形的面积再作差即可。
【解析】
1. 根据三角形面积公式$S=ah÷2$（$a$为底，$h$为高），代入数值计算：
$16×8÷2=64(\mathrm{cm}^2)$
2. 周长计算：
半圆弧长是对应圆周长的一半，公式为$C_{\mathrm{半弧}}=π d÷2$（$d$为直径），代入$d=8\mathrm{dm}$得半圆弧长为$π×8×\frac{1}{2}\approx12.56\mathrm{dm}$，再加上直径的长度：
$12.56+8=20.56(\mathrm{dm})$
面积计算：
长方形的宽等于半圆的半径$8÷2=4\mathrm{dm}$，长方形面积为$8×4=32\mathrm{dm}^2$；半圆面积公式为$S_{\mathrm{半圆}}=π r^2÷2$（$r$为半径），代入$r=4\mathrm{dm}$得半圆面积为$π×4^2×\frac{1}{2}\approx25.12\mathrm{dm}^2$，二者作差得涂色面积：
$32-25.12=6.88(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
1. $64\mathrm{cm}^2$
2. 周长：$20.56\mathrm{dm}$；面积：$6.88\mathrm{dm}^2$
【知识点】
三角形面积计算、圆的周长与面积计算、组合图形周长面积计算
【点评】
此类题目的解题核心是将不规则的组合图形拆解为学过的基础图形，明确周长和面积的组成部分后再代入对应公式计算，计算周长时要注意区分哪些边属于涂色部分的边界，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.7
3. 右图是甲市某条城铁的运行路线图。
（1）一列城铁列车从A站出发，向(
（2）下一站是C站，C站位于B站东偏南30°方向上，距离B站50 km。请在图中标出C站的位置。
（3）这列城铁列车从始发站行驶至终点C站，平均速度是200千米/时。列车在A站和B站各停留2分钟。行完全程一共需要(
（1）一列城铁列车从A站出发，向(
东
)偏(北
)(60°
)方向行驶(40
) km到达B站。（2）下一站是C站，C站位于B站东偏南30°方向上，距离B站50 km。请在图中标出C站的位置。
（3）这列城铁列车从始发站行驶至终点C站，平均速度是200千米/时。列车在A站和B站各停留2分钟。行完全程一共需要(
40
)分钟。答案
3. (1) 东 北 60° 40
(2) 图略
(3) 40
(2) 图略
(3) 40
解析
【分析】
1. 第一问解题思路：先根据“上北下南，左西右东”的方向规则，以A站为观测点确定B站的方位，再测量A站到B站的图上距离，结合比例尺“1cm表示20km”计算实际距离即可。
2. 第二问解题思路：先根据B站到C站的实际距离和比例尺，算出两地的图上距离，再以B站为观测点，找到东偏南30°的方向，沿该方向量取对应长度的线段，端点处标注C站即可。
3. 第三问解题思路：先分别测量始发站到A站、A站到B站的图上距离，结合比例尺算出这两段的实际距离，加上已知的B站到C站的距离得到总行驶路程；再根据“时间=路程÷速度”算出行驶时间，注意换算成分钟，最后加上A、B站的停留时间，就是行完全程的总时间。
【解析】
（1）观测方向可知，B站在A站东偏北60°方向；测量得A、B两站的图上距离为2cm，实际距离为$2×20=40$（km）。
（2）首先计算B站到C站的图上距离：$50÷20=2.5$（cm）；以B站为顶点，沿正东方向向南偏30°画射线，在射线上量取2.5cm长的线段，线段端点即为C站，标注C站即可。
（3）首先计算各段路程：测量得始发站到A站的图上距离为1.5cm，实际距离为$1.5×20=30$（km）；A站到B站实际距离为40km，B站到C站实际距离为50km，总行驶路程为$30+40+50=120$（km）。
行驶时间：$120÷200=0.6$（小时），换算为分钟：$0.6×60=36$（分钟）。
总时间：行驶时间加上两个站的停留时间，即$36+2+2=40$（分钟）。
【答案】
(1) 东，北，$60°$，40
(2) 图略
(3) 40
【知识点】
位置与方向，比例尺应用，行程问题计算
【点评】
本题结合生活中的城铁路线场景，综合考查了方向辨认、比例尺换算和行程问题计算，解题时需要细心读取图文信息，注意单位换算不要出错。
【难度系数】
0.7
1. 第一问解题思路：先根据“上北下南，左西右东”的方向规则，以A站为观测点确定B站的方位，再测量A站到B站的图上距离，结合比例尺“1cm表示20km”计算实际距离即可。
2. 第二问解题思路：先根据B站到C站的实际距离和比例尺，算出两地的图上距离，再以B站为观测点，找到东偏南30°的方向，沿该方向量取对应长度的线段，端点处标注C站即可。
3. 第三问解题思路：先分别测量始发站到A站、A站到B站的图上距离，结合比例尺算出这两段的实际距离，加上已知的B站到C站的距离得到总行驶路程；再根据“时间=路程÷速度”算出行驶时间，注意换算成分钟，最后加上A、B站的停留时间，就是行完全程的总时间。
【解析】
（1）观测方向可知，B站在A站东偏北60°方向；测量得A、B两站的图上距离为2cm，实际距离为$2×20=40$（km）。
（2）首先计算B站到C站的图上距离：$50÷20=2.5$（cm）；以B站为顶点，沿正东方向向南偏30°画射线，在射线上量取2.5cm长的线段，线段端点即为C站，标注C站即可。
（3）首先计算各段路程：测量得始发站到A站的图上距离为1.5cm，实际距离为$1.5×20=30$（km）；A站到B站实际距离为40km，B站到C站实际距离为50km，总行驶路程为$30+40+50=120$（km）。
行驶时间：$120÷200=0.6$（小时），换算为分钟：$0.6×60=36$（分钟）。
总时间：行驶时间加上两个站的停留时间，即$36+2+2=40$（分钟）。
【答案】
(1) 东，北，$60°$，40
(2) 图略
(3) 40
【知识点】
位置与方向，比例尺应用，行程问题计算
【点评】
本题结合生活中的城铁路线场景，综合考查了方向辨认、比例尺换算和行程问题计算，解题时需要细心读取图文信息，注意单位换算不要出错。
【难度系数】
0.7
四、标准400米跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成。直道长度是87米，弯道最内圈的半径是36米，跑道宽1.22米。在400米比赛中，内侧第2道的起跑线应比第1道向前伸出多少米？（结果保留两位小数）
答案
2×3.14×1.22≈7.66(米)
解析
【分析】
解题时先明确400米跑道的构成：两个长度相等的直道+两个半圆形弯道。首先思考：不同跑道的直道长度完全相同，所以起跑线的差距仅来自弯道部分的长度差。两个半圆形弯道可以拼接成一个完整的圆，因此相邻两道的弯道长度差就是两个不同半径的圆的周长差。第2道的弯道半径比第1道大1个跑道宽度1.22米，我们只需要计算这两个圆的周长差，就能得到起跑线需要向前伸出的长度。
【解析】
解：因为直道长度对所有跑道都相等，所以相邻跑道的长度差等于弯道部分的周长差，两个弯道可拼成一个整圆，相邻跑道的半径差为跑道宽1.22米。
根据圆的周长公式$C=2π r$，周长差为：
$2×3.14×1.22$
$=6.28×1.22$
$\approx7.66$（米）
【答案】
7.66米
【知识点】
圆的周长计算；跑道起跑线差计算
【点评】
这道题是数学知识在生活场景中的典型应用，解题的核心是排除直道长度的干扰，抓住相邻跑道长度差仅来源于弯道（拼接为整圆的周长差）这一关键，无需计算整条跑道的总周长即可快速得出结果，能很好地锻炼大家简化问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确400米跑道的构成：两个长度相等的直道+两个半圆形弯道。首先思考：不同跑道的直道长度完全相同，所以起跑线的差距仅来自弯道部分的长度差。两个半圆形弯道可以拼接成一个完整的圆，因此相邻两道的弯道长度差就是两个不同半径的圆的周长差。第2道的弯道半径比第1道大1个跑道宽度1.22米，我们只需要计算这两个圆的周长差，就能得到起跑线需要向前伸出的长度。
【解析】
解：因为直道长度对所有跑道都相等，所以相邻跑道的长度差等于弯道部分的周长差，两个弯道可拼成一个整圆，相邻跑道的半径差为跑道宽1.22米。
根据圆的周长公式$C=2π r$，周长差为：
$2×3.14×1.22$
$=6.28×1.22$
$\approx7.66$（米）
【答案】
7.66米
【知识点】
圆的周长计算；跑道起跑线差计算
【点评】
这道题是数学知识在生活场景中的典型应用，解题的核心是排除直道长度的干扰，抓住相邻跑道长度差仅来源于弯道（拼接为整圆的周长差）这一关键，无需计算整条跑道的总周长即可快速得出结果，能很好地锻炼大家简化问题的能力。
【难度系数】
0.7
五、【思维拓展】如图，在长12 cm、宽8 cm的长方形框中，一个半径为1 cm的圆形纸片无滑动地沿着框边按A→B→C→D→A的方向滚动。纸片贴着框内部滚动一周回到出发位置，没有滚到的部分的面积是多少平方厘米？
答案
12−1×4=8(cm)
8−1×4=4(cm)
4×8=32(cm)
(1×1−π×1²×1/4)×4=0.86(cm²)
32+0.86=32.86(cm²)
8−1×4=4(cm)
4×8=32(cm)
(1×1−π×1²×1/4)×4=0.86(cm²)
32+0.86=32.86(cm²)
解析
【分析】
要计算圆形纸片滚动一周后没有滚到的面积，我们可以把未滚到的区域拆成两部分计算：一是长方形框中间完全滚不到的长方形区域，二是四个角落滚不到的区域。首先已知圆形半径1cm，直径为2cm，圆沿内壁滚动时，左右、上下方向各会占据直径长度的滚动范围，扣除这部分后剩下的就是中间的长方形；其次四个角落处，圆最多只能扫到四分之一圆的面积，剩余部分就是角落未被滚到的面积，最后把两部分面积相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算中间未滚到的长方形的长：长方形原长12cm，左右各留出2cm的滚动范围，因此长为 $ 12-1×4=8(\mathrm{cm}) $
2. 计算中间未滚到的长方形的宽：长方形原宽8cm，上下各留出2cm的滚动范围，因此宽为 $ 8-1×4=4(\mathrm{cm}) $
3. 计算中间长方形的面积：$ 4×8=32(\mathrm{cm^2}) $
4. 计算四个角落未滚到的面积：每个角落的空白为边长1cm的正方形减去半径1cm的四分之一圆，总面积为 $ (1×1-3.14×1^2×\frac{1}{4})×4=0.86(\mathrm{cm^2}) $
5. 总的未滚到面积：$ 32+0.86=32.86(\mathrm{cm^2}) $
【答案】
32.86平方厘米
【知识点】
长方形面积计算，圆的面积计算，图形滚动问题
【点评】
本题需要结合空间想象拆分未覆盖区域，分别计算中间长方形和角落区域的面积，考查对平面图形面积公式的灵活运用能力，解题关键是明确圆滚动时的覆盖范围。
【难度系数】
0.6
要计算圆形纸片滚动一周后没有滚到的面积，我们可以把未滚到的区域拆成两部分计算：一是长方形框中间完全滚不到的长方形区域，二是四个角落滚不到的区域。首先已知圆形半径1cm，直径为2cm，圆沿内壁滚动时，左右、上下方向各会占据直径长度的滚动范围，扣除这部分后剩下的就是中间的长方形；其次四个角落处，圆最多只能扫到四分之一圆的面积，剩余部分就是角落未被滚到的面积，最后把两部分面积相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算中间未滚到的长方形的长：长方形原长12cm，左右各留出2cm的滚动范围，因此长为 $ 12-1×4=8(\mathrm{cm}) $
2. 计算中间未滚到的长方形的宽：长方形原宽8cm，上下各留出2cm的滚动范围，因此宽为 $ 8-1×4=4(\mathrm{cm}) $
3. 计算中间长方形的面积：$ 4×8=32(\mathrm{cm^2}) $
4. 计算四个角落未滚到的面积：每个角落的空白为边长1cm的正方形减去半径1cm的四分之一圆，总面积为 $ (1×1-3.14×1^2×\frac{1}{4})×4=0.86(\mathrm{cm^2}) $
5. 总的未滚到面积：$ 32+0.86=32.86(\mathrm{cm^2}) $
【答案】
32.86平方厘米
【知识点】
长方形面积计算，圆的面积计算，图形滚动问题
【点评】
本题需要结合空间想象拆分未覆盖区域，分别计算中间长方形和角落区域的面积，考查对平面图形面积公式的灵活运用能力，解题关键是明确圆滚动时的覆盖范围。
【难度系数】
0.6
