1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（）

A.$y=3x^{-1}$
B.$y=-\dfrac{x}{3}$
C.$y=3x$
D.$y=\dfrac{3}{x-1}$

A

【分析】
解题的核心是牢记反比例函数的定义，先明确反比例函数的三种标准形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）；②$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$）；③$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$）。接下来逐一分析每个选项的函数形式，判断是否符合反比例函数的定义，同时要注意区分正比例函数和反比例函数，还要注意反比例函数的分母必须是单独的自变量$x$，不能带有其他常数项。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，也可变形为$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）的形式。
选项A：$y=3x^{-1}$可变形为$y=\frac{3}{x}$，符合$y=kx^{-1}$（$k=3\ne0$）的形式，是$y$关于$x$的反比例函数；
选项B：$y=-\frac{x}{3}$符合正比例函数$y=kx$（$k=-\frac{1}{3}$）的形式，是正比例函数，不符合要求；
选项C：$y=3x$符合正比例函数$y=kx$（$k=3$）的形式，是正比例函数，不符合要求；
选项D：$y=\frac{3}{x-1}$的分母是$x-1$，即$y$是$x-1$的反比例函数，不是$x$的反比例函数，不符合要求。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 正比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要抓住反比例函数定义的核心要点：比例系数$k$不为0，函数表达式的分母仅为自变量$x$，避免和正比例函数、变形后的反比例函数混淆。
【难度系数】
0.8

2. 已知下列函数①$y=\sqrt{3}x$，②$y=\frac{π}{x}$，③$y=\frac{1}{x}$，④$y=\frac{k}{x^2}(k≠0,k为常数)$，其中y是x的反比例函数的是.(填序号)

②③

【分析】
要解决这道题，需先掌握反比例函数的定义，再逐一验证每个函数是否符合定义要求即可。反比例函数的核心判定标准：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数，也可变形为$y=kx^{-1}$的形式，核心特征为自变量$x$的次数是$-1$，且常数系数$k$不为0。接下来我们逐个判断每个函数，排除不符合特征的函数，最终筛选出符合要求的选项即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，自变量$x$的次数为$-1$。
逐个判断4个函数：
1. ①$y=\sqrt{3}x$：自变量$x$的次数为$1$，是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除；
2. ②$y=\frac{π}{x}$：$π$是固定的非0常数，符合$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的形式，属于反比例函数；
3. ③$y=\frac{1}{x}$：$k=1≠0$，符合反比例函数的定义，属于反比例函数；
4. ④$y=\frac{k}{x^2}(k≠0)$：自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，不属于反比例函数。
综上，属于反比例函数的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的基础概念，解题关键是抓住反比例函数的形式特征，注意区分正比例函数，同时不要误把常数$π$当成变量，也要注意自变量的次数要求。
【难度系数】
0.8

3. 反比例函数 $y=-\dfrac{2}{3}π x^{-1}$ 的比例系数 $k=$ .

$-\dfrac{2}{3}π$

【分析】
要解决本题，首先要明确反比例函数的一般表达形式：反比例函数可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），其中$k$就是比例系数。解题时只需将题目给出的函数式和一般形式做对照即可，注意$π$是固定常数，属于系数的一部分，不要误认为是变量。
【解析】
解：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），其中$k$为比例系数。
将题干给出的函数$y=-\dfrac{2}{3}π x^{-1}$与反比例函数的一般形式对照，可直接得出比例系数$k=-\dfrac{2}{3}π$。
【答案】
$-\dfrac{2}{3}π$
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对反比例函数一般形式的理解，解题时需注意区分常数和变量，$π$是常数，属于比例系数的组成部分，不要误将其当作自变量。
【难度系数】
0.9

4. 已知反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$，则$k$的值不可能为（）

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$-2$

C

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），核心要求是比例系数不能为0。本题中反比例函数的比例系数为$k-1$，因此首先列出关于$k$的不等式，求出$k$的取值范围，再对照选项找出不在取值范围内的数值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义可知，反比例函数的比例系数不能为0，因此对于函数$y=\dfrac{k-1}{x}$，有：
$k-1≠0$
解得$k≠1$
因此$k$的值不可能为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是掌握反比例函数中比例系数不为0的隐含限制，熟练掌握定义即可快速得出答案，不易出错。
【难度系数】
0.9

5. 平度高铁通车后极大地方便了市民的出行.
平度北站建设初期需要运送大量土石方.某运输公司承担了运送总量为$10^6 \mathrm{ m}^3$土石方的任务,该运输公司平均每天运送土石方的数量$v$(单位:$\mathrm{m}^3$)与完成运送任务所需时间
$t$(单位:天)之间的函数解析式是 ()

A.$v=10^6 t$
B.$v=\dfrac{10^6}{t}$
C.$v=\dfrac{t}{10^6}$
D.$v=10^6 t^2$

B

【分析】
解题时首先明确题目中的三个量：固定不变的土石方总运送量$10^6 \mathrm{m}^3$，变量为平均每天运送量$v$和运送时间$t$。首先回忆工程类问题的基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间，对应本题可得总运送量=$v × t$，再将等式变形为用$t$表示$v$的形式，即可得到对应的函数解析式。
【解析】
根据工程问题的数量关系：土石方总运送量 = 平均每天运送量 × 完成任务所需时间，代入已知条件可得：
$v · t = 10^6$
由于$t$为运送时间，取值为正数，等式两边同时除以$t$，变形得：
$v=\dfrac{10^6}{t}$
因此对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 工程问题等量关系
【点评】
本题结合生活实际场景考查函数解析式的推导，解题关键是找准题目中的固定总量，理清各变量之间的数量关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.9

6. 已知y是x的反比例函数,当$x=-2$时,$y=8$.
(1)写出这个反比例函数的解析式.
(2)当$x=4$时,求y的值.
(3)当$y=-8$时,求x的值.

(1)$y=-\dfrac{16}{x}$
(2)$y=-4$
(3)$x=2$

【分析】
解题思路如下：(1) 已知函数是反比例函数，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），要求解析式只需确定常数$k$的值，因此将已知的$x=-2$、$y=8$代入一般式，解出$k$即可得到函数解析式；(2) 求$x=4$时的$y$值，只需将$x=4$代入已经求得的反比例函数解析式，计算即可得到对应$y$值；(3) 求$y=-8$时的$x$值，同理将$y=-8$代入解析式，解关于$x$的方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设该反比例函数的解析式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$，$k$为常数），
将$x=-2$，$y=8$代入解析式得：$8=\dfrac{k}{-2}$，
解得$k=8×(-2)=-16$，
因此该反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{16}{x}$。
(2) 将$x=4$代入$y=-\dfrac{16}{x}$得：
$y=-\dfrac{16}{4}=-4$。
(3) 将$y=-8$代入$y=-\dfrac{16}{x}$得：
$-8=-\dfrac{16}{x}$，
两边同时乘$x$得$-8x=-16$，
解得$x=2$，经检验$x=2$是原方程的解。
【答案】
(1)$y=-\dfrac{16}{x}$
(2)$y=-4$
(3)$x=2$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求函数解析式；函数值的计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考察待定系数法求函数解析式的方法，以及已知函数自变量或函数值求解对应数值的计算能力，解题时注意计算的准确性即可。
【难度系数】
0.8