7.若$y=(a+1)x^{a^2 -2}$是反比例函数，则a的取值为（）

A.1
B.-1
C.$\pm1$
D.任意实数

A

【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义要求，反比例函数需要同时满足两个核心条件：①自变量x的次数为-1；②自变量的系数（比例系数）不能为0。解题时先根据次数要求列方程求出a的可能取值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到正确的a的值。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，可列约束条件如下：
$\begin{cases}a^2 - 2 = -1 \quad \mathrm{（自变量x的指数必须为-1）} \\a + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{（比例系数不能为0）}\end{cases}$
先求解第一个方程：
$a^2 -2 = -1$
移项化简得：$a^2 = 1$
解得：$a = 1$ 或 $a = -1$
再结合第二个不等式$a +1 ≠ 0$，可得$a ≠ -1$。
综上排除不符合要求的$a=-1$，最终得$a=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义、解一元二次方程、不等式求解
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考察题，易错点是容易忽略比例系数不为0的限制条件，误选C选项，解题时需牢记函数定义的所有限制条件，求出取值后要逐一验证是否符合所有要求，不要漏项。
【难度系数】
0.7

8. 已知一个函数(x为自变量)满足下表：

则这个函数的解析式为 ()

A.$y=\dfrac{9}{x}$
B.$y=-\dfrac{9}{x}$
C.$y=\dfrac{x}{9}$
D.$y=-\dfrac{x}{9}$

B

【分析】
要确定符合表格的函数解析式，可采用两种思路：一是代入验证法，将表格中已知的x、y对应值代入各选项，判断是否成立，可多选几组值验证避免出错；二是观察数据特征，计算每组x与y的乘积，判断是否为定值，若为定值则为反比例函数，再推导解析式即可。
【解析】
方法一：代入验证法
选取表格中$x=-1$，$y=9$这组值，分别代入四个选项：
A选项：$y=\dfrac{9}{x}=\dfrac{9}{-1}=-9≠9$，不符合，排除；
B选项：$y=-\dfrac{9}{x}=-\dfrac{9}{-1}=9$，符合要求；
C选项：$y=\dfrac{x}{9}=\dfrac{-1}{9}≠9$，不符合，排除；
D选项：$y=-\dfrac{x}{9}=-\dfrac{-1}{9}=\dfrac{1}{9}≠9$，不符合，排除。
再选取$x=3$验证B选项：$y=-\dfrac{9}{3}=-3$，与表格中对应y值一致，其余x值代入B选项也均符合表格数据，故B正确。
方法二：观察乘积法
计算表格中每组x与y的乘积：
$(-3)×3=-9$，$(-2)×4.5=-9$，$(-1)×9=-9$，$1×(-9)=-9$，$2×(-4.5)=-9$，$3×(-3)=-9$，
可得$xy=-9$，变形后得到函数解析式为$y=-\dfrac{9}{x}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数概念、函数解析式确定
【点评】
本题是函数解析式确定的基础题型，代入验证法是解决这类选择题的常用技巧，计算量小、准确率高，也可通过观察数据特征快速判断函数类型，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

9. 已知反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{|a|-2}{x}$，则 $a$ 的取值范围是（）

A.$a≠2$
B.$a≠-2$
C.$a≠±2$
D.$a=±2$

C

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此本题的核心是让解析式中的比例系数不等于0。我们只需要根据这个要求列出关于$a$的不等式，再解绝对值不等式就能得到$a$的取值范围，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据反比例函数的定义，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中比例系数$k≠0$，因此本题中：
$|a|-2≠0$
移项得：$|a|≠2$
根据绝对值的性质，可得$a≠2$且$a≠-2$，即$a≠\pm2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念；绝对值运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记反比例函数中比例系数不能为0的要求，同时掌握绝对值的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

10. 一个物体重 500 N,该物体对地面的压强$p$(单位:$\mathrm{N}/\mathrm{m}^2$)随它与地面的接触面积$S$(单位:$\mathrm{m}^2$)的变化而变化,试写出$p$与$S$之间的函数解析式,并判断它是什么函数.

$\because \quad pS=500,$
$\therefore \quad p=\dfrac{500}{S}.$
$\therefore \quad p$ 是 $S$ 的反比例函数.

【分析】
解题首先明确水平面上物体对地面的压力等于自身重力，可得压力为定值500N；再结合压强计算公式$p=\frac{F}{S}$，将定值压力代入公式变形，即可得到$p$与$S$的关系式；最后对照反比例函数的定义，判断函数类型即可。
【解析】
解：
∵ 物体对地面的压力等于自身重力，即压力$F=G=500\mathrm{N}$，
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，代入$F=500$可得$pS=500$，
$\therefore \quad p=\dfrac{500}{S}$（$S＞0$，接触面积为正数）。
形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数是反比例函数，此处$k=500\ne0$，符合反比例函数的形式。
$\therefore \quad p$是$S$的反比例函数。
【答案】
$p=\dfrac{500}{S}$，$p$是$S$的反比例函数。
【知识点】
反比例函数的概念、列实际问题函数式、压强计算公式
【点评】
本题结合物理压强公式考查反比例函数的识别与函数关系式的建立，属于基础题型，解题关键是牢记压强公式和反比例函数的定义，同时注意实际问题中自变量取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.9

11. 已知$y=(m^2+2m)x^{m^2+m-1}$.
(1)当$m$为何值时,$y$是$x$的正比例函数?
(2)当$m$为何值时,$y$是$x$的二次函数?
(3)当$m$为何值时,$y$是$x$的反比例函数?

(1)$m=1$
(2)$m=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$
(3)$m=-1$

【分析】
要判断函数类型，需紧扣对应函数的定义，每类函数都需同时满足两个条件：①自变量x的指数符合对应函数的要求；②x的系数不为0。解题时先根据指数要求列方程求出m的可能值，再代入系数验证，排除使系数为0的m值即可。
【解析】
(1) 若y是x的正比例函数，需满足：
$\begin{cases}m^2+m-1=1 \\ m^2+2m≠0 \end{cases}$
解方程$m^2+m-1=1$，整理得$m^2+m-2=0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
验证系数：当$m=-2$时，$m^2+2m=(-2)^2+2×(-2)=0$，不符合要求，舍去；当$m=1$时，$m^2+2m=1+2=3≠0$，符合要求。
故$m=1$。
(2) 若y是x的二次函数，需满足：
$\begin{cases}m^2+m-1=2 \\ m^2+2m≠0 \end{cases}$
解方程$m^2+m-1=2$，整理得$m^2+m-3=0$，由求根公式得$m=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4×1×(-3)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$。
验证系数：$\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$均不等于0或-2，故$m^2+2m≠0$，两个解均符合要求。
故$m=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$。
(3) 若y是x的反比例函数，需满足：
$\begin{cases}m^2+m-1=-1 \\ m^2+2m≠0 \end{cases}$
解方程$m^2+m-1=-1$，整理得$m^2+m=0$，因式分解得$m(m+1)=0$，解得$m=0$或$m=-1$。
验证系数：当$m=0$时，$m^2+2m=0$，不符合要求，舍去；当$m=-1$时，$m^2+2m=1-2=-1≠0$，符合要求。
故$m=-1$。
【答案】
(1)$m=1$
(2)$m=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$
(3)$m=-1$
【知识点】
正比例函数的定义；二次函数的定义；反比例函数的定义
【点评】
本题考查三类常见函数的定义应用，解题核心是准确记忆不同函数中自变量的指数要求，同时不能忽略系数不为0的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7