知识点 反比例函数的图象和性质
1. 画反比例函数的图象的一般步骤：.
2. 反比例函数的图象和性质
| 反比例函数 | $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ |
| --- | --- | --- |
| $k$的符号 | $k＞0$ | $k＜0$ |
| 图象 | | |
| 性质 | ①$x$的取值范围是$x≠0,y$的取值范围是$y≠0$；
②当$k＞0$时,函数图象的两个分支分别在第象限.在内,$y$随$x$的增大而. | ①$x$的取值范围是$x≠0,y$的取值范围是$y≠0$；
②当$k＜0$时,函数图象的两个分支分别在第象限.在内,$y$随$x$的增大而. |
重点提示
(1)必须用光滑的曲线连接各点,而不能用折线.
(2)为了更好地反映图象的全貌,要尽可能多取一些数值,多描一些点.
(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交.
(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点),又是轴对称图形(对称轴是直线$y=x$和直线$y=-x$).
(5)$|k|$越大,反比例函数的图象离坐标轴越远；$|k|$越小,反比例函数的图象离坐标轴越近.

解：
1. 列表、描点、连线
2. 当$k＞0$时，性质的空缺依次填写：一、三；每个象限；减小
当$k＜0$时，性质的空缺依次填写：二、四；每个象限；增大

【分析】
第1题可回忆函数图象手绘的通用步骤，所有初等函数手绘图象都遵循固定的三步流程，反比例函数也不相同，仅需注意取值时x不能为0即可。第2题结合k的符号分析x、y的符号关系推导象限分布，再通过举例验证增减性，同时要注意增减性的适用前提：必须限定在每个象限内，跨象限不满足该增减规律。
【解析】
1. 画反比例函数图象的步骤和普通函数图象绘制步骤一致：
第一步列表，选取多组x≠0的对称数值，计算对应y值；第二步描点，将计算得到的(x,y)坐标点在平面直角坐标系中标出；第三步连线，用光滑的曲线顺次连接各点，得到完整的反比例函数图象，因此步骤为列表、描点、连线。
2. 分析反比例函数性质：
当$k＞0$时，$y=\frac{k}{x}$中x和y的符号相同，横纵坐标均为正对应第一象限，横纵坐标均为负对应第三象限，因此图象分支在第一、三象限；举例验证：取k=2，x=1时y=2，x=2时y=1，可见同一象限内x增大y减小，因此在每个象限内，y随x的增大而减小。
当$k＜0$时，$y=\frac{k}{x}$中x和y的符号相反，x负y正对应第二象限，x正y负对应第四象限，因此图象分支在第二、四象限；举例验证：取k=-2，x=1时y=-2，x=2时y=-1，可见同一象限内x增大y增大，因此在每个象限内，y随x的增大而增大。
【答案】
1. 列表、描点、连线
2. 当$k＞0$时，依次填：一、三；每个象限；减小
当$k＜0$时，依次填：二、四；每个象限；增大
【知识点】
反比例函数图象画法；反比例函数的性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础考点，主要考查对基础知识点的记忆，熟练掌握k的正负对反比例函数图象位置、增减性的影响即可快速作答，是学习反比例函数相关内容必须掌握的基础。
【难度系数】
0.9