知识梳理
知识点1 角的平分线的定义与性质
1. 角的平分线的定义：
一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个的角的射线,叫作这个角的平分线.
2. 角的平分线的性质：
(1)性质1:平分角.
如图,若OC是∠AOB的平分线,则,且它们都等于∠AOB的.
几何语言:
∵ OC是∠AOB的平分线,
∴ 或.
(2)性质2:角的平分线上的点到角两边的距离.
几何语言:
∵ OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,且PD⊥OB于点D,PE⊥OA于点E,
∴ .

1. 相等
2. (1) $\boldsymbol{∠ AOC = ∠ BOC}$；$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$（或二分之一）
几何语言：$\boldsymbol{∠ AOC = ∠ BOC}$；$\boldsymbol{∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB}$（或$\boldsymbol{∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB}$）
(2) 相等
几何语言：$\boldsymbol{PD = PE}$

【分析】
这道题考查角平分线的定义与基本性质，属于基础识记类题目。解题时先回忆角平分线的定义内容，再对应回忆两条性质的文字表述和几何语言表达，逐一对应空缺内容填写即可：首先角平分线的核心是把一个角分成两个相等的角；性质1是平分角后得到的两个小角相等，都等于原角的二分之一，几何语言直接对应这个等量关系；性质2是角平分线上的点到角两边的垂线段长度（也就是距离）相等，结合图中的PD和PE就能写出对应的几何等式。
【解析】
1. 根据角平分线的定义：从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线是角平分线，因此第一空填“相等”。
2. (1) 角平分线性质1为平分角，若OC是∠AOB的平分线，则OC将∠AOB分成两个大小相等的角，即$∠ AOC=∠ BOC$，两个小角的大小都等于$∠ AOB$的$\frac{1}{2}$；对应的几何语言为：因为OC是$∠ AOB$的平分线，所以$∠ AOC=∠ BOC$，也可写为$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB$或$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$。
(2) 角平分线性质2为角的平分线上的点到角两边的距离相等，结合题图，点P在OC上，$PD⊥ OB$、$PE⊥ OA$，PD、PE是点P到$∠ AOB$两边的距离，因此对应几何语言为$PD=PE$。
【答案】
1. 相等
2. (1) $\boldsymbol{∠ AOC = ∠ BOC}$；$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$（或二分之一）
几何语言：$\boldsymbol{∠ AOC = ∠ BOC}$；$\boldsymbol{∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB}$（或$\boldsymbol{∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB}$）
(2) 相等
几何语言：$\boldsymbol{PD = PE}$
【知识点】
角平分线的定义、角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线相关的基础概念题，重点考查对基础定义、性质的识记与几何语言的规范表达，是后续解决角平分线相关几何证明、计算类题目的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9

知识点2）角的平分线的尺规作图
1. 作已知角的平分线:如图.
步骤一:以为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N;
步骤二:分别以为圆心,$\dfrac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在$∠ AOB$的内部相交于点P.
步骤三:作射线OP,则射线OP为$∠ AOB$的平分线.

2. 证明上图中的OP是$∠ AOB$的平分线.
如图,连接MP,NP,由作图过程可知,OMON,MPNP.
在$△ OMP$和$△ ONP$中,
$\begin{cases}OM=ON, \\MP=NP, \\OP=OP,\end{cases}$
$\therefore △ OMP ≌ △ ONP.$
$\therefore ∠ MOP =$.
$\therefore OP$是$∠ AOB$的平分线.

解：
1. 点O；点M、N；大于
2. $=$；$=$；$∠ NOP$

【分析】
本题考查角平分线的尺规作图步骤及作图原理的推导，解题时先回忆角平分线尺规作图的规范操作：①第一步需以角的顶点为圆心画弧，保证弧与角的两边有交点，得到两条相等的线段OM、ON；②第二步画弧时半径需大于两交点间距离的一半，才能保证两弧在角内部有交点；再推导原理时，结合作图过程得到的相等线段，利用SSS判定三角形全等，再由全等三角形对应角相等即可证明OP是角平分线。
【解析】
1. 作已知角平分线的步骤：
步骤一：以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N，此时OM=ON；
步骤二：分别以点M、N为圆心，大于$\dfrac{1}{2}MN$的长为半径作弧，若半径小于等于$\dfrac{1}{2}MN$，两弧无交点或交点在MN上，无法在角内部得到交点，因此需取大于$\dfrac{1}{2}MN$的长度为半径，最终两弧在$∠AOB$的内部相交于点P；
步骤三：作射线OP即可。
2. 证明OP是角平分线：
连接MP、NP，由作图过程可知，OM、ON是第一步同圆的半径，故$OM=ON$；MP、NP是第二步等圆的半径，故$MP=NP$。
在$△ OMP$和$△ ONP$中：
$\begin{cases}OM=ON, \\MP=NP, \\OP=OP(\mathrm{公共边}),\end{cases}$
根据SSS判定可得$△ OMP ≌ △ ONP$，由全等三角形对应角相等，可得$∠MOP = ∠NOP$，因此OP是$∠AOB$的平分线。
【答案】
1. 点O；点M、N；大于
2. $=$；$=$；$∠NOP$
【知识点】
角平分线的尺规作图；全等三角形的SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，围绕角平分线的尺规作图设置问题，既考查了作图的规范操作要求，也考查了作图的逻辑原理，掌握基础作图步骤和全等三角形的相关知识即可快速解题。
【难度系数】
0.9