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知识点3）证明几何文字命题的一般步骤
（1）明确命题中的和.
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示和.
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
（1）明确命题中的和.
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示和.
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
答案
解：
(1) 已知；求证
(2) 已知；求证
(1) 已知；求证
(2) 已知；求证
解析
【分析】
本题考查证明几何文字命题的基础步骤，属于概念识记类题目。解题时需回忆几何证明的完整流程：首先拿到文字命题，第一步要拆分命题的组成部分，明确命题给出的条件（即已知）和需要证明的结论（即求证）；第二步为了方便后续推导，要把文字描述转化为直观的图形，再用数学符号把明确的已知和求证表示出来，将抽象文字转化为具体的符号语言，才能顺利开展后续逻辑推导。
【解析】
(1) 几何命题都由题设（已知条件）和结论（待证明的内容）两部分组成，因此证明几何命题首先要明确命题中的已知和求证。
(2) 画出对应图形后，需要将文字表述的已知条件、待证结论转化为数学符号语言，为后续写证明过程做准备，因此要用数学符号表示已知和求证。
【答案】
(1) 已知；求证
(2) 已知；求证
【知识点】
1. 几何证明基本步骤
2. 命题的组成
【点评】
本题是基础概念识记题，是学习几何证明的入门知识点，熟练掌握该步骤是后续解决各类几何证明题的前提，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查证明几何文字命题的基础步骤，属于概念识记类题目。解题时需回忆几何证明的完整流程：首先拿到文字命题，第一步要拆分命题的组成部分，明确命题给出的条件（即已知）和需要证明的结论（即求证）；第二步为了方便后续推导，要把文字描述转化为直观的图形，再用数学符号把明确的已知和求证表示出来，将抽象文字转化为具体的符号语言，才能顺利开展后续逻辑推导。
【解析】
(1) 几何命题都由题设（已知条件）和结论（待证明的内容）两部分组成，因此证明几何命题首先要明确命题中的已知和求证。
(2) 画出对应图形后，需要将文字表述的已知条件、待证结论转化为数学符号语言，为后续写证明过程做准备，因此要用数学符号表示已知和求证。
【答案】
(1) 已知；求证
(2) 已知；求证
【知识点】
1. 几何证明基本步骤
2. 命题的组成
【点评】
本题是基础概念识记题，是学习几何证明的入门知识点，熟练掌握该步骤是后续解决各类几何证明题的前提，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
例 数学课上,探讨角的平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角的平分线,方法如下:
如图所示.
作法:①在OA和OB上分别截取OD,OE,使$OD=OE$.
②分别以点D,E为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧在$∠ AOB$内交于点C.
③作射线OC,则OC就是$∠ AOB$的平分线.
小聪只带了直角三角尺,他发现利用三角尺也可以作角的平分线,方法如下:
如图所示.
步骤:①利用三角尺上的刻度,在OA和OB上分别截取OM,ON,使$OM=ON$.
②分别过点M,N作OM,ON的垂线,交于点P.
③作射线OP,则OP为$∠ AOB$的平分线.
小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角的平分线.
根据以上情境,解决下列问题:
(1)李老师用尺规作角的平分线时,用到的三角形全等的判定方法是.
(2)小聪的作法正确吗?请说明理由.
(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角的平分线的方法.(要求:作出图形,写出作图步骤,不予证明)
解:(1)SSS
(2)小聪的作法正确.
理由:∵ $PM ⊥ OM,PN ⊥ ON$,
∴ $∠ OMP = ∠ ONP = 90°$.
在$Rt△ OMP$和$Rt△ ONP$中,
$\begin{cases} OP=OP, \\ OM=ON, \end{cases}$
∴ $Rt△ OMP ≌ Rt△ ONP(HL)$.
∴ $∠ MOP = ∠ NOP$.
∴ OP平分$∠ AOB$.
(3)如图所示.
步骤:①利用刻度尺在OA,OB上分别截取$OG=OH$.
②连接GH,利用刻度尺找出GH的中点Q.
③作射线OQ,则OQ为$∠ AOB$的平分线.
如图所示.
作法:①在OA和OB上分别截取OD,OE,使$OD=OE$.
②分别以点D,E为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧在$∠ AOB$内交于点C.
③作射线OC,则OC就是$∠ AOB$的平分线.
小聪只带了直角三角尺,他发现利用三角尺也可以作角的平分线,方法如下:
如图所示.
步骤:①利用三角尺上的刻度,在OA和OB上分别截取OM,ON,使$OM=ON$.
②分别过点M,N作OM,ON的垂线,交于点P.
③作射线OP,则OP为$∠ AOB$的平分线.
小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角的平分线.
根据以上情境,解决下列问题:
(1)李老师用尺规作角的平分线时,用到的三角形全等的判定方法是.
(2)小聪的作法正确吗?请说明理由.
(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角的平分线的方法.(要求:作出图形,写出作图步骤,不予证明)
解:(1)SSS
(2)小聪的作法正确.
理由:∵ $PM ⊥ OM,PN ⊥ ON$,
∴ $∠ OMP = ∠ ONP = 90°$.
在$Rt△ OMP$和$Rt△ ONP$中,
$\begin{cases} OP=OP, \\ OM=ON, \end{cases}$
∴ $Rt△ OMP ≌ Rt△ ONP(HL)$.
∴ $∠ MOP = ∠ NOP$.
∴ OP平分$∠ AOB$.
(3)如图所示.
步骤:①利用刻度尺在OA,OB上分别截取$OG=OH$.
②连接GH,利用刻度尺找出GH的中点Q.
③作射线OQ,则OQ为$∠ AOB$的平分线.
答案
解：(1) SSS
(2) 小聪的作法正确。
理由：∵ $PM ⊥ OM$，$PN ⊥ ON$，
∴ $∠ OMP = ∠ ONP = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OMP$和$\mathrm{Rt}△ ONP$中，
$\begin{cases} OP=OP, \\ OM=ON, \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OMP ≌ \mathrm{Rt}△ ONP(\mathrm{HL})$。
∴ $∠ MOP = ∠ NOP$。
∴ $OP$平分$∠ AOB$。
(3) 作图：以O为顶点，在OA边上取点G，OB边上取点H，使$OG=OH$，连接GH，取GH中点Q，作射线OQ。
步骤：① 利用刻度尺在OA、OB上分别截取$OG=OH$。
② 连接GH，利用刻度尺找出GH的中点Q。
③ 作射线OQ，则OQ为$∠ AOB$的平分线。
(2) 小聪的作法正确。
理由：∵ $PM ⊥ OM$，$PN ⊥ ON$，
∴ $∠ OMP = ∠ ONP = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OMP$和$\mathrm{Rt}△ ONP$中，
$\begin{cases} OP=OP, \\ OM=ON, \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OMP ≌ \mathrm{Rt}△ ONP(\mathrm{HL})$。
∴ $∠ MOP = ∠ NOP$。
∴ $OP$平分$∠ AOB$。
(3) 作图：以O为顶点，在OA边上取点G，OB边上取点H，使$OG=OH$，连接GH，取GH中点Q，作射线OQ。
步骤：① 利用刻度尺在OA、OB上分别截取$OG=OH$。
② 连接GH，利用刻度尺找出GH的中点Q。
③ 作射线OQ，则OQ为$∠ AOB$的平分线。
解析
【分析】
(1) 结合李老师的尺规作图步骤分析：由作法可得$OD=OE$，以D、E为圆心作弧得$DC=EC$，又$OC$为公共边，因此$△ ODC$和$△ OEC$三边对应相等，对应全等三角形的判定方法即可得到答案。
(2) 判断小聪作法是否正确，核心是证明$OP$平分$∠ AOB$，即证$∠ MOP=∠ NOP$。由小聪的作法可知$△ OMP$和$△ ONP$均为直角三角形，已知$OM=ON$，$OP$为公共斜边，可通过HL判定两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证。
(3) 刻度尺的功能是测量线段长度，可基于全等三角形的判定原理设计作图：先在$∠ AOB$的两边截取等长线段，再构造全等三角形使对应角相等，即可得到角平分线。
【解析】
(1) 李老师的作图中，$OD=OE$，$DC=EC$，$OC=OC$，满足三边对应相等的全等判定条件，因此用到的三角形全等判定方法是SSS。
(2) 小聪的作法正确。
理由：$\because PM ⊥ OM$，$PN ⊥ ON$，
$\therefore ∠ OMP = ∠ ONP = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OMP$和$\mathrm{Rt}△ ONP$中，
$\begin{cases} OP=OP \\ OM=ON \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OMP ≌ \mathrm{Rt}△ ONP(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ MOP = ∠ NOP$，即$OP$平分$∠ AOB$。
(3) 作图：在$OA$边上取点$G$，$OB$边上取点$H$，使$OG=OH$，连接$GH$，取$GH$的中点$Q$，作射线$OQ$即可。
作图步骤：
① 利用刻度尺在$OA$、$OB$上分别截取$OG=OH$；
② 连接$GH$，利用刻度尺找出$GH$的中点$Q$；
③ 作射线$OQ$，则$OQ$为$∠ AOB$的平分线。
【答案】
(1) $\mathrm{SSS}$
(2) 小聪的作法正确，理由见解析；
(3) 作图及步骤见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、角平分线的作图
【点评】
本题以角平分线的不同作图方法为载体，考查了全等三角形和角平分线的相关知识，注重理论与实践结合，有助于提升学生的逻辑推理能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
(1) 结合李老师的尺规作图步骤分析：由作法可得$OD=OE$，以D、E为圆心作弧得$DC=EC$，又$OC$为公共边，因此$△ ODC$和$△ OEC$三边对应相等，对应全等三角形的判定方法即可得到答案。
(2) 判断小聪作法是否正确，核心是证明$OP$平分$∠ AOB$，即证$∠ MOP=∠ NOP$。由小聪的作法可知$△ OMP$和$△ ONP$均为直角三角形，已知$OM=ON$，$OP$为公共斜边，可通过HL判定两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证。
(3) 刻度尺的功能是测量线段长度，可基于全等三角形的判定原理设计作图：先在$∠ AOB$的两边截取等长线段，再构造全等三角形使对应角相等，即可得到角平分线。
【解析】
(1) 李老师的作图中，$OD=OE$，$DC=EC$，$OC=OC$，满足三边对应相等的全等判定条件，因此用到的三角形全等判定方法是SSS。
(2) 小聪的作法正确。
理由：$\because PM ⊥ OM$，$PN ⊥ ON$，
$\therefore ∠ OMP = ∠ ONP = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OMP$和$\mathrm{Rt}△ ONP$中，
$\begin{cases} OP=OP \\ OM=ON \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OMP ≌ \mathrm{Rt}△ ONP(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ MOP = ∠ NOP$，即$OP$平分$∠ AOB$。
(3) 作图：在$OA$边上取点$G$，$OB$边上取点$H$，使$OG=OH$，连接$GH$，取$GH$的中点$Q$，作射线$OQ$即可。
作图步骤：
① 利用刻度尺在$OA$、$OB$上分别截取$OG=OH$；
② 连接$GH$，利用刻度尺找出$GH$的中点$Q$；
③ 作射线$OQ$，则$OQ$为$∠ AOB$的平分线。
【答案】
(1) $\mathrm{SSS}$
(2) 小聪的作法正确，理由见解析；
(3) 作图及步骤见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、角平分线的作图
【点评】
本题以角平分线的不同作图方法为载体，考查了全等三角形和角平分线的相关知识，注重理论与实践结合，有助于提升学生的逻辑推理能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
