10. (★)如图,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离,在学校附近选一点C,利用测量仪器测得∠A = 60°, ∠C = 90°,AC=3 km.据此,可求得学校A与工厂B之间的距离AB等于km.

$\boldsymbol{6}$

解：
在△ABC中，
∵ ∠C=90°，∠A=60°，
∴ ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°。
在AB上截取AD = AC，连接CD，
∵ ∠A=60°，AD=AC，
∴ △ACD是等边三角形，
∴ CD = AC = AD = 3 km，∠ACD = 60°。
∴ ∠DCB = ∠ACB - ∠ACD = 90° - 60° = 30°，
∴ ∠DCB = ∠B = 30°，
∴ DB = CD = 3 km，
∴ AB = AD + DB = 3 + 3 = 6 (km)。

11. (★★)如图是一个高铁站入口双翼闸机的示意图,当它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm,双翼的边缘AC=BD=62 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°,当双翼收起时,可以通过闸机的物体最大宽度为.

70 cm

解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F。
∵∠PCA=30°，AC=62 cm，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×62=31 cm。
同理可得BF=$\frac{1}{2}$BD=31 cm。
又∵AB=8 cm，
∴可以通过闸机的物体最大宽度为AE+AB+BF=31+8+31=70 cm。

12. (★★)如图，$△ ABC$是等边三角形，点D在边AC上，点E在AB的延长线上，若$ED⊥ AC$交BC于点P，且$AD=4$，$BP=2$，则PC的长为。

$\boldsymbol{4}$

解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC。
∵ ED⊥AC，
∴ ∠ADE=∠CDP=90°。
在Rt△ADE中，∠A=60°，
∴ ∠E=90°-∠A=30°，
∴ AE=2AD=8。
∵ ∠ABC=60°，
∴ ∠PBE=180°-∠ABC=120°，
在△BEP中，∠BPE=180°-∠PBE-∠E=30°，
∴ ∠BPE=∠E，
∴ BE=BP=2。
在Rt△CDP中，∠C=60°，∠CDP=90°，
∴ ∠CPD=30°，
∴ PC=2CD。
设PC=x，则CD=$\frac{1}{2}x$，
∵ AC=AD+CD，AC=BC=BP+PC=2+x，
∴ $4+\frac{1}{2}x=2+x$，
解得x=4。
即PC的长为4。

13. (★★)如图,已知$∠ AOB=60°$,点$P$在边$OA$上,$OP=8\ \mathrm{cm}$,点$M,N$在边$OB$上,$PM=PN$,若$MN=2\ \mathrm{cm}$,则$OM=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

$\boldsymbol{3}$

解：过点P作PC⊥OB于点C。
∵ ∠OCP=90°，∠AOB=60°，
∴ ∠OPC=90°-60°=30°，
∴ OC = $\frac{1}{2}$OP。
∵ OP=8 cm，
∴ OC=4 cm。
∵ PM=PN，PC⊥MN，
∴ MC = $\frac{1}{2}$MN（等腰三角形三线合一）。
∵ MN=2 cm，
∴ MC=1 cm。
∴ OM = OC - MC = 4 - 1 = 3 cm。

14. (★★) 如图，在△ABC中，AB=12 cm，AC=10 cm，∠A=60°，点P从点B出发以每秒2 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。设运动时间为t s，当△APQ为直角三角形时，t的值为。

解：由题意得，BP=2t cm，AQ=t cm，
∴ AP = AB - BP = (12 - 2t) cm，
由动点运动限制可知：2t ≤12，t ≤10，即0 ≤ t ≤6。
已知∠A=60°，△APQ为直角三角形分两种情况：
① 当∠AQP=90°时，∠APQ=90°-∠A=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AQ = $\frac{1}{2}$AP，
即 $t = \frac{1}{2}(12 - 2t)$，
解得 $t=3$；
② 当∠APQ=90°时，∠AQP=90°-∠A=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AP = $\frac{1}{2}$AQ，
即 $12 - 2t = \frac{1}{2}t$，
解得 $t=\frac{24}{5}$。
综上，t的值为$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$。

15. (★★)如图,灯塔C在海岛A的北偏东75°方向,某天上午8时,一条船从海岛A出发,以15 n mile/h的速度由西向东方向航行,10时整到达B处,此时,测得灯塔C在B处的北偏东60°方向.
(1)求B处到灯塔C的距离.
(2)已知在以灯塔C为中心,周围16 n mile的范围内均有暗礁,若该船继续由西向东航行,是否有触礁的危险?请说明理由.

解：
(1) 由题意得，$AB = 15 × (10-8) = 30\ \mathrm{n mile}$。
根据方向角的定义：
$∠ CAB = 90° - 75° = 15°$，
$∠ CBD = 90° - 60° = 30°$。
因为$∠ CBD$是$△ ABC$的外角，
所以$∠ ACB = ∠ CBD - ∠ CAB = 30° - 15° = 15°$。
因此$∠ ACB = ∠ CAB$，
可得$BC = AB = 30\ \mathrm{n mile}$。
即B处到灯塔C的距离为$30\ \mathrm{n mile}$。
(2) 该船继续由西向东航行，有触礁的危险，理由如下：
过点$C$作$CD ⊥ AE$，垂足为$D$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CBD = 30°$，
所以$CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 30 = 15\ \mathrm{n mile}$。
因为$15 ＜ 16$，
所以该船继续由西向东航行，有触礁的危险。