三、解答题
1. 如图,点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,过点A分别作x轴、y轴的垂线,交反比例函数$y=-\frac{1}{x}$的图象于B,C两点,以AB,AC为边的矩形ABDC被坐标轴分割成四个小矩形,矩形面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4$,已知$S_1=3$.
(1)直接写出反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的表达式;
(2)求矩形ABDC的面积.

解：
(1) 设点A的坐标为$(a,b)$，其中$a＞0$，$b＞0$。
因为点A在$y=\frac{k}{x}$上，所以$k=ab$。
由反比例函数的几何意义，$S_1=ab=3$，即$k=3$，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}(x＞0)$。
(2) 由题意，点B在$y=-\frac{1}{x}$上，横坐标为$a$，可得点B的纵坐标为$-\frac{1}{a}$；
点C在$y=-\frac{1}{x}$上，纵坐标为$b$，可得点C的横坐标为$-\frac{1}{b}$。
根据反比例函数的几何意义，$S_2=1$，$S_4=1$。
$S_3 = \left|-\frac{1}{b}\right| × \left|-\frac{1}{a}\right| = \frac{1}{ab} = \frac{1}{3}$。
所以矩形ABDC的面积为：
$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 3 + 1 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{16}{3}$。

2. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在函数$y=\frac{8}{x}(x＞0),y=\frac{k}{x}(x＞0,k为常数)$的图象上,$AB⊥x$轴,垂足为C,$OC=4,AB=7$.
(1)求k的值;
(2)当点P在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,且$S_{△ POC}=8$,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,如果x轴上有一点Q,使得$△ POQ$是等腰三角形,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.

解：
(1) ∵ OC=4，AB⊥x轴，
∴ 点A的横坐标为4。
将x=4代入$y=\frac{8}{x}$，得$y=\frac{8}{4}=2$，即$A(4,2)$。
∵ AB=7，点B在点A下方，
∴ 点B的纵坐标为$2-7=-5$，横坐标为4，即$B(4,-5)$。
将$B(4,-5)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$-5=\frac{k}{4}$，
解得$k=-20$。
(2) 设点P的坐标为$(x,y)$，其中$x＞0$。
由$S_{△ POC}=\frac{1}{2}· OC· |y|=\frac{1}{2}×4×|y|=2|y|=8$，得$|y|=4$。
∵ $x＞0$，$k=-20＜0$，
∴ $y＜0$，即$y=-4$。
将$y=-4$代入$y=\frac{-20}{x}$，得$-4=\frac{-20}{x}$，解得$x=5$。
∴ 点P的坐标为$(5,-4)$。
(3) 满足条件的点Q的坐标为$(\sqrt{41},0)$，$(-\sqrt{41},0)$，$(10,0)$，$(\frac{41}{10},0)$。