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1.【阅读材料】
密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科,它与数学有密切关系.例如,对于密文“L dp d vwxghqw”,如果给一把破译它的“钥匙”$x-3$,联想英语字母表中字母的顺序:a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z.
如果规定a又接在z的后面,使26个字母排成圈,并能想到$x-3$可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”,按这个规律就有 L dp d vwxghqw$\to$I am a student.
这样就能把密文“L dp d vwxghqw”破译成明文“I am a student”,从而解读出密文的意思了.
(1)根据材料填空:密文“L oryh brx”可破译成明文
【类比研究】
(2)将26个英文字母a,b,c,…,z依次对应序号1,2,3,…,26.对于密文“26 2 19 7 38”,给出密文与明文之间的关系如下:
当密文对应的序号$x$为奇数时,明文对应的序号为$x+1$;当密文对应的序号$x$为偶数时,明文对应的序号为$\frac{x}{2}$,则将密文“26 2 19 7 38”破译成英文字母表示的明文为
【研究拓展】
(3)小叮当沿用对字母标号的方法,即将26个英文字母a,b,c,…,z依次对应序号1,2,3,…,26.把明文“teacher”译成密文“xdbcrwd”,请你写出这组密码的对应关系.
密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科,它与数学有密切关系.例如,对于密文“L dp d vwxghqw”,如果给一把破译它的“钥匙”$x-3$,联想英语字母表中字母的顺序:a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z.
如果规定a又接在z的后面,使26个字母排成圈,并能想到$x-3$可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”,按这个规律就有 L dp d vwxghqw$\to$I am a student.
这样就能把密文“L dp d vwxghqw”破译成明文“I am a student”,从而解读出密文的意思了.
(1)根据材料填空:密文“L oryh brx”可破译成明文
I love you
;【类比研究】
(2)将26个英文字母a,b,c,…,z依次对应序号1,2,3,…,26.对于密文“26 2 19 7 38”,给出密文与明文之间的关系如下:
当密文对应的序号$x$为奇数时,明文对应的序号为$x+1$;当密文对应的序号$x$为偶数时,明文对应的序号为$\frac{x}{2}$,则将密文“26 2 19 7 38”破译成英文字母表示的明文为
maths
;【研究拓展】
(3)小叮当沿用对字母标号的方法,即将26个英文字母a,b,c,…,z依次对应序号1,2,3,…,26.把明文“teacher”译成密文“xdbcrwd”,请你写出这组密码的对应关系.
答案
1.(1)I love you (2)maths
(3)解:由题意知,teacher 对应的数字为 20 5 1 3 8 5 18,xdbcrdw 对应的数字为 24 4 2 3 18 4 23,
因为 $24=\frac{20}{2}+14,4=\frac{5+1}{2}+1,2=\frac{1+1}{2}+1,3=\frac{3+1}{2}+1,18=\frac{8}{2}+14,4=\frac{5+1}{2}+1,23=\frac{18}{2}+14,$
所以当明文对应的序号 $x$ 为奇数时,密文对应的序号为 $\frac{x+1}{2}+1$;当明文对应的序号 $x$ 为偶数时,密文对应的序号为 $\frac{x}{2}+1.$
(3)解:由题意知,teacher 对应的数字为 20 5 1 3 8 5 18,xdbcrdw 对应的数字为 24 4 2 3 18 4 23,
因为 $24=\frac{20}{2}+14,4=\frac{5+1}{2}+1,2=\frac{1+1}{2}+1,3=\frac{3+1}{2}+1,18=\frac{8}{2}+14,4=\frac{5+1}{2}+1,23=\frac{18}{2}+14,$
所以当明文对应的序号 $x$ 为奇数时,密文对应的序号为 $\frac{x+1}{2}+1$;当明文对应的序号 $x$ 为偶数时,密文对应的序号为 $\frac{x}{2}+1.$
解析
【分析】
本题需根据题目给出的密码转换规则，将密文与明文通过字母序号的对应关系进行转换：
1. 第(1)问规则是“把字母换成向前移动3位的字母”，即每个字母对应序号减3，不足时加26（因字母排成圈）；
2. 第(2)问规则是密文序号为奇数时，明文序号为x+1，为偶数时明文序号为x/2；
3. 第(3)问需先将明文和密文转为对应序号，对比归纳出明文转密文的规则。
【解析】
(1) 先将密文“L oryh brx”对应字母序号：L(12)、o(15)、r(18)、y(25)、h(8)、b(2)、r(18)、x(24)；
按规则“序号减3，不足加26”转换：
12-3=9→i，15-3=12→l，18-3=15→o，25-3=22→v，8-3=5→e；
2-3+26=25→y，18-3=15→o，24-3=21→u；
故明文为I love you。
(2) 密文序号为26、2、19、7、38，按规则转换：
26是偶数→26/2=13→m；2是偶数→2/2=1→a；19是奇数→19+1=20→t；7是奇数→7+1=8→h；38是偶数→38/2=19→s；
故明文为maths。
(3) 明文“teacher”对应序号：t(20)、e(5)、a(1)、c(3)、h(8)、e(5)、r(18)；
密文“xdbcrwd”对应序号：x(24)、d(4)、b(2)、c(3)、r(18)、w(23)；
对比每组对应关系：
明文序号20（偶）→24：20/2 +14=24；
明文序号5（奇）→4：(5+1)/2 +1=4；
明文序号1（奇）→2：(1+1)/2 +1=2；
明文序号3（奇）→3：(3+1)/2 +1=3；
明文序号8（偶）→18：8/2 +14=18；
明文序号18（偶）→23：18/2 +14=23；
归纳得规则：当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为$\frac{x+1}{2}+1$；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为$\frac{x}{2}+1$。
【答案】
(1) I love you (2) maths (3) 当明文对应的序号$x$为奇数时，密文对应的序号为$\frac{x+1}{2}+1$；当明文对应的序号$x$为偶数时，密文对应的序号为$\frac{x}{2}+1$
【知识点】
字母序号对应、密码替换、代数式运算
【点评】
本题结合密码学应用考查字母序号转换与规律归纳，前两问为基础转换，第三问需对比归纳规则，整体侧重逻辑分析能力，是数学与生活应用结合的典型题目。
【难度系数】
0.6
本题需根据题目给出的密码转换规则，将密文与明文通过字母序号的对应关系进行转换：
1. 第(1)问规则是“把字母换成向前移动3位的字母”，即每个字母对应序号减3，不足时加26（因字母排成圈）；
2. 第(2)问规则是密文序号为奇数时，明文序号为x+1，为偶数时明文序号为x/2；
3. 第(3)问需先将明文和密文转为对应序号，对比归纳出明文转密文的规则。
【解析】
(1) 先将密文“L oryh brx”对应字母序号：L(12)、o(15)、r(18)、y(25)、h(8)、b(2)、r(18)、x(24)；
按规则“序号减3，不足加26”转换：
12-3=9→i，15-3=12→l，18-3=15→o，25-3=22→v，8-3=5→e；
2-3+26=25→y，18-3=15→o，24-3=21→u；
故明文为I love you。
(2) 密文序号为26、2、19、7、38，按规则转换：
26是偶数→26/2=13→m；2是偶数→2/2=1→a；19是奇数→19+1=20→t；7是奇数→7+1=8→h；38是偶数→38/2=19→s；
故明文为maths。
(3) 明文“teacher”对应序号：t(20)、e(5)、a(1)、c(3)、h(8)、e(5)、r(18)；
密文“xdbcrwd”对应序号：x(24)、d(4)、b(2)、c(3)、r(18)、w(23)；
对比每组对应关系：
明文序号20（偶）→24：20/2 +14=24；
明文序号5（奇）→4：(5+1)/2 +1=4；
明文序号1（奇）→2：(1+1)/2 +1=2；
明文序号3（奇）→3：(3+1)/2 +1=3；
明文序号8（偶）→18：8/2 +14=18；
明文序号18（偶）→23：18/2 +14=23；
归纳得规则：当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为$\frac{x+1}{2}+1$；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为$\frac{x}{2}+1$。
【答案】
(1) I love you (2) maths (3) 当明文对应的序号$x$为奇数时，密文对应的序号为$\frac{x+1}{2}+1$；当明文对应的序号$x$为偶数时，密文对应的序号为$\frac{x}{2}+1$
【知识点】
字母序号对应、密码替换、代数式运算
【点评】
本题结合密码学应用考查字母序号转换与规律归纳，前两问为基础转换，第三问需对比归纳规则，整体侧重逻辑分析能力，是数学与生活应用结合的典型题目。
【难度系数】
0.6
