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6. 已知当$x = -1$时，代数式$ax^{3}+bx + 1$的值为$-2024$。当$x = 1$时，求代数式$ax^{3}+bx + 1$的值。
答案
解:当$x=-1$时,$ax^{3}+bx+1=-a-b+1=-2024,$
所以$a+b=2025.$
当$x=1$时,$ax^{3}+bx+1=a+b+1=2025+1=2026.$
所以$a+b=2025.$
当$x=1$时,$ax^{3}+bx+1=a+b+1=2025+1=2026.$
解析
【分析】本题的解题思路是利用代入法，先将$x=-1$代入代数式得到关于$a$、$b$的关系式，再利用奇次幂在$x=\pm1$时的符号差异，通过整体代入求出$x=1$时代数式的值，无需单独计算$a$、$b$的具体值，简化运算过程。
【解析】解：当$x=-1$时，将其代入代数式$ax^3 + bx + 1$得：
$a×(-1)^3 + b×(-1) + 1 = -a - b + 1$
已知该式的值为$-2024$，因此：
$-a - b + 1 = -2024$
移项整理得：$-a - b = -2025$，两边同乘$-1$得：$a + b = 2025$。
当$x=1$时，代入代数式$ax^3 + bx + 1$得：
$a×1^3 + b×1 + 1 = a + b + 1$
将$a + b = 2025$代入上式，计算得：
$2025 + 1 = 2026$。
【答案】2026
【知识点】代数式求值、整体代入思想
【点评】本题考查代数式的求值，核心是运用整体代入的数学思想，解题关键是观察到奇次项在$x=\pm1$时的符号变化，建立已知与未知的联系，避免了繁琐的单独计算，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】解：当$x=-1$时，将其代入代数式$ax^3 + bx + 1$得：
$a×(-1)^3 + b×(-1) + 1 = -a - b + 1$
已知该式的值为$-2024$，因此：
$-a - b + 1 = -2024$
移项整理得：$-a - b = -2025$，两边同乘$-1$得：$a + b = 2025$。
当$x=1$时，代入代数式$ax^3 + bx + 1$得：
$a×1^3 + b×1 + 1 = a + b + 1$
将$a + b = 2025$代入上式，计算得：
$2025 + 1 = 2026$。
【答案】2026
【知识点】代数式求值、整体代入思想
【点评】本题考查代数式的求值，核心是运用整体代入的数学思想，解题关键是观察到奇次项在$x=\pm1$时的符号变化，建立已知与未知的联系，避免了繁琐的单独计算，属于基础题型。
【难度系数】0.6
7. 已知 $3x^{2}-4xy=31,4xy-3y^{2}=35$,求代数式 $x^{2}-y^{2}$ 的值.
答案
解:因为$(3x^{2}-4xy)+(4xy-3y^{2})=31+35=66,$
即$3x^{2}-3y^{2}=66,$所以$x^{2}-y^{2}=22.$
即$3x^{2}-3y^{2}=66,$所以$x^{2}-y^{2}=22.$
解析
【分析】观察已知的两个等式，发现它们中存在互为相反数的项（-4xy和+4xy），将两个等式相加可消去这组项，进而得到关于$x^2$和$y^2$的关系式，通过化简即可求出目标代数式的值。
【解析】已知$3x^{2}-4xy=31$，$4xy-3y^{2}=35$，将两式相加：
$\begin{aligned}(3x^{2}-4xy)+(4xy-3y^{2})&=31+35\\3x^{2}-3y^{2}&=66\\x^{2}-y^{2}&=22\end{aligned}$
【答案】22
【知识点】代数式求值，整式的加减
【点评】本题利用整式的加减运算消去中间项，通过整体处理已知等式简化计算，考查了学生对整式加减法则的灵活运用能力。
【难度系数】0.5
【解析】已知$3x^{2}-4xy=31$，$4xy-3y^{2}=35$，将两式相加：
$\begin{aligned}(3x^{2}-4xy)+(4xy-3y^{2})&=31+35\\3x^{2}-3y^{2}&=66\\x^{2}-y^{2}&=22\end{aligned}$
【答案】22
【知识点】代数式求值，整式的加减
【点评】本题利用整式的加减运算消去中间项，通过整体处理已知等式简化计算，考查了学生对整式加减法则的灵活运用能力。
【难度系数】0.5
8. (2024·建湖县期中)已知多项式$(2x^{2}+ax+ny^{3}-3)-(2bx^{2}-4x+3my+2)$的值与字母$x$的取值无关.
(1)求$a,b$的值;
(2)已知当$y=2$时,代数式的值为6,当$y=-2$时,求代数式的值.
(1)求$a,b$的值;
(2)已知当$y=2$时,代数式的值为6,当$y=-2$时,求代数式的值.
答案
解:(1)$(2x^{2}+ax+ny^{3}-3)-(2bx^{2}-4x+3my+2)$
$=2x^{2}+ax+ny^{3}-3-2bx^{2}+4x-3my-2$
$=(2-2b)x^{2}+(a+4)x+ny^{3}-3my-5.$
因为原式的值与字母$x$的值无关，
所以$2-2b=0,a+4=0,$解得$b=1,a=-4,$
即$a$的值为$-4,b$的值为1.
(2)由题意,得原式$=ny^{3}-3my-3,$
当$y=2$时,$n×2^{3}-3×2×m-3=6,$
所以$8n-6m=9.$
当$y=-2$时,
原式$=n×(-2)^{3}-3×(-2)×m-3=-8n+6m-3=-(8n-6m)-3=-9-3=-12.$
$=2x^{2}+ax+ny^{3}-3-2bx^{2}+4x-3my-2$
$=(2-2b)x^{2}+(a+4)x+ny^{3}-3my-5.$
因为原式的值与字母$x$的值无关，
所以$2-2b=0,a+4=0,$解得$b=1,a=-4,$
即$a$的值为$-4,b$的值为1.
(2)由题意,得原式$=ny^{3}-3my-3,$
当$y=2$时,$n×2^{3}-3×2×m-3=6,$
所以$8n-6m=9.$
当$y=-2$时,
原式$=n×(-2)^{3}-3×(-2)×m-3=-8n+6m-3=-(8n-6m)-3=-9-3=-12.$
解析
【分析】
要解决本题，需分两步：第一步，利用“多项式的值与字母x的取值无关”这一条件，即含x的同类项系数均为0，先对多项式去括号、合并同类项，再令含x²和x的项的系数为0，求解a、b的值；第二步，化简多项式后代入y=2的条件得到关于n、m的关系式，再通过整体代入法计算y=-2时代数式的值，无需单独求出n、m的具体值。
【解析】
(1) 对多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(2x^{2}+ax+ny^{3}-3)-(2bx^{2}-4x+3my+2)\\=&2x^{2}+ax+ny^{3}-3-2bx^{2}+4x-3my-2\\=&(2-2b)x^{2}+(a+4)x+ny^{3}-3my-5\end{aligned}$
因为原式的值与字母x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$2-2b=0$，$a+4=0$
解得：$b=1$，$a=-4$
(2) 由题意，原式化简后为$ny^{3}-3my-3$，当$y=2$时，代入得：
$n×2^{3}-3×2×m -3=6$，即$8n -6m -3=6$，整理得$8n -6m=9$
当$y=-2$时，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=n×(-2)^{3}-3×(-2)×m -3\\&=-8n +6m -3\\&=-(8n -6m) -3\\&=-9 -3\\&=-12\end{aligned}$
【答案】
a的值为-4，b的值为1；当y=-2时，代数式的值为-12。
【知识点】
多项式化简、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题考查多项式与字母取值无关的条件及代数式的整体代入求值，需掌握合并同类项法则，理解“与某字母取值无关”即对应项系数为0，整体代入是简化计算的重要方法，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需分两步：第一步，利用“多项式的值与字母x的取值无关”这一条件，即含x的同类项系数均为0，先对多项式去括号、合并同类项，再令含x²和x的项的系数为0，求解a、b的值；第二步，化简多项式后代入y=2的条件得到关于n、m的关系式，再通过整体代入法计算y=-2时代数式的值，无需单独求出n、m的具体值。
【解析】
(1) 对多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(2x^{2}+ax+ny^{3}-3)-(2bx^{2}-4x+3my+2)\\=&2x^{2}+ax+ny^{3}-3-2bx^{2}+4x-3my-2\\=&(2-2b)x^{2}+(a+4)x+ny^{3}-3my-5\end{aligned}$
因为原式的值与字母x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$2-2b=0$，$a+4=0$
解得：$b=1$，$a=-4$
(2) 由题意，原式化简后为$ny^{3}-3my-3$，当$y=2$时，代入得：
$n×2^{3}-3×2×m -3=6$，即$8n -6m -3=6$，整理得$8n -6m=9$
当$y=-2$时，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=n×(-2)^{3}-3×(-2)×m -3\\&=-8n +6m -3\\&=-(8n -6m) -3\\&=-9 -3\\&=-12\end{aligned}$
【答案】
a的值为-4，b的值为1；当y=-2时，代数式的值为-12。
【知识点】
多项式化简、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题考查多项式与字母取值无关的条件及代数式的整体代入求值，需掌握合并同类项法则，理解“与某字母取值无关”即对应项系数为0，整体代入是简化计算的重要方法，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 按如图所示的程序计算，如果输入的数是10，那么输出的结果为19，要使输出的结果为13，则输入的最小正整数是
4
.答案
4
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确程序的运算逻辑：输入x后计算2x-1，若结果大于10则直接输出；若结果不大于10，则将该结果作为新的x再次代入计算，直到结果大于10时输出。现在要输出13，需分情况讨论输入的正整数：
1. 若输入x后一次计算就输出13，需满足2x-1=13，且13＞10；
2. 若输入x后需两次计算才输出13，需满足第一次计算结果≤10，第二次计算结果为13，即先由2x₁-1=13得第一次结果x₁，再由2x-1=x₁求解输入x；
3. 若需三次及以上计算，解得的输入会出现非正整数的情况，无需考虑。对比符合条件的正整数，找到最小的即可。
【解析】
根据程序逻辑，输出结果为13，分情况求解：
情况1：一次计算输出，即2x - 1 = 13，解得x=(13+1)÷2=7，此时13＞10，符合条件；
情况2：两次计算输出，设第一次计算结果为x₁，第二次计算2x₁ -1=13，解得x₁=(13+1)÷2=7；再代入第一次计算式2x -1=7，解得x=(7+1)÷2=4。验证：输入4时，第一次计算2×4-1=7≤10，需再次输入7，计算2×7-1=13＞10，输出13，符合条件；
情况3：三次及以上计算，设第三次计算结果为x₂，则2x₂-1=7，解得x₂=4，再代入第一次计算式2x-1=4，解得x=2.5，不是正整数，舍去。
对比符合条件的正整数输入7和4，最小的为4。
【答案】
4
【知识点】
一元一次方程应用，程序运算
【点评】
本题是程序运算与一元一次方程结合的题目，核心是理解程序的循环判断逻辑，通过分情况讨论求解输入值，需注意验证结果是否满足程序的判断条件，避免出错。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确程序的运算逻辑：输入x后计算2x-1，若结果大于10则直接输出；若结果不大于10，则将该结果作为新的x再次代入计算，直到结果大于10时输出。现在要输出13，需分情况讨论输入的正整数：
1. 若输入x后一次计算就输出13，需满足2x-1=13，且13＞10；
2. 若输入x后需两次计算才输出13，需满足第一次计算结果≤10，第二次计算结果为13，即先由2x₁-1=13得第一次结果x₁，再由2x-1=x₁求解输入x；
3. 若需三次及以上计算，解得的输入会出现非正整数的情况，无需考虑。对比符合条件的正整数，找到最小的即可。
【解析】
根据程序逻辑，输出结果为13，分情况求解：
情况1：一次计算输出，即2x - 1 = 13，解得x=(13+1)÷2=7，此时13＞10，符合条件；
情况2：两次计算输出，设第一次计算结果为x₁，第二次计算2x₁ -1=13，解得x₁=(13+1)÷2=7；再代入第一次计算式2x -1=7，解得x=(7+1)÷2=4。验证：输入4时，第一次计算2×4-1=7≤10，需再次输入7，计算2×7-1=13＞10，输出13，符合条件；
情况3：三次及以上计算，设第三次计算结果为x₂，则2x₂-1=7，解得x₂=4，再代入第一次计算式2x-1=4，解得x=2.5，不是正整数，舍去。
对比符合条件的正整数输入7和4，最小的为4。
【答案】
4
【知识点】
一元一次方程应用，程序运算
【点评】
本题是程序运算与一元一次方程结合的题目，核心是理解程序的循环判断逻辑，通过分情况讨论求解输入值，需注意验证结果是否满足程序的判断条件，避免出错。
【难度系数】
0.5
10. 根据如图所示的程序计算,若输入$x$的值为$-1$,则输出$y$的值为多少? 请写出解答过程.
答案
解:由题意知,当$2x^{2}-4＞0$时,$y=2x^{2}-4.$
若输入$x$的值为$-1$,则$2x^{2}-4=2×(-1)^{2}-4=2-4=-2,-2＜0,$
再输入$x=-2$,则$2x^{2}-4=2×(-2)^{2}-4=4,4＞0,$所以$y=4,$即输出$y$的值为4.
若输入$x$的值为$-1$,则$2x^{2}-4=2×(-1)^{2}-4=2-4=-2,-2＜0,$
再输入$x=-2$,则$2x^{2}-4=2×(-2)^{2}-4=4,4＞0,$所以$y=4,$即输出$y$的值为4.
解析
【分析】
本题需按照给定的运算流程图逐步计算：先对输入的x执行“平方→乘2→减4”的运算，得到结果后判断是否大于0；若结果大于0则直接输出，若不大于0，则将该结果作为新的输入值，重复上述运算和判断步骤，直到结果大于0时输出。
【解析】
当输入$x=-1$时，按照程序运算：
第一步：计算平方：$(-1)^2 = 1$；
第二步：乘2：$1×2 = 2$；
第三步：减4：$2 - 4 = -2$；
判断结果：$-2 ＜ 0$，不满足输出条件，需将$-2$作为新的输入值再次计算。
当输入$x=-2$时，再次按程序运算：
第一步：计算平方：$(-2)^2 = 4$；
第二步：乘2：$4×2 = 8$；
第三步：减4：$8 - 4 = 4$；
判断结果：$4 ＞ 0$，满足输出条件，因此输出$y$的值为4。
【答案】
4
【知识点】
代数式求值；程序运算
【点评】
本题考查根据运算程序进行代数式求值，核心是严格遵循流程图的步骤，注意第一次结果不满足条件时，需将结果作为新输入再次计算，避免直接输出错误结果。
【难度系数】
0.5
本题需按照给定的运算流程图逐步计算：先对输入的x执行“平方→乘2→减4”的运算，得到结果后判断是否大于0；若结果大于0则直接输出，若不大于0，则将该结果作为新的输入值，重复上述运算和判断步骤，直到结果大于0时输出。
【解析】
当输入$x=-1$时，按照程序运算：
第一步：计算平方：$(-1)^2 = 1$；
第二步：乘2：$1×2 = 2$；
第三步：减4：$2 - 4 = -2$；
判断结果：$-2 ＜ 0$，不满足输出条件，需将$-2$作为新的输入值再次计算。
当输入$x=-2$时，再次按程序运算：
第一步：计算平方：$(-2)^2 = 4$；
第二步：乘2：$4×2 = 8$；
第三步：减4：$8 - 4 = 4$；
判断结果：$4 ＞ 0$，满足输出条件，因此输出$y$的值为4。
【答案】
4
【知识点】
代数式求值；程序运算
【点评】
本题考查根据运算程序进行代数式求值，核心是严格遵循流程图的步骤，注意第一次结果不满足条件时，需将结果作为新输入再次计算，避免直接输出错误结果。
【难度系数】
0.5
