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13. 如图，将长方形纸条折叠，$∠ 1=50°$，则$∠ 2$的度数为（）
A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$100°$
A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
C
解析
【分析】
遇到长方形纸条折叠的角度计算问题，首先回忆折叠的性质：折叠前后重合的角大小相等。观察图形可知，∠1和折叠后与它重合的隐藏角大小相等，这两个角与∠2共同组成180°的平角，据此就可以列式求出∠2的度数。
【解析】
根据折叠的性质可得，折叠后与∠1重合的角的度数等于∠1，即也是50°。
由于∠1、和∠1重合的角、∠2三个角共同构成平角，平角为180°，因此可得：
$∠1 + ∠1 + ∠2 = 180°$
将$∠1=50°$代入得：
$50° + 50° + ∠2 = 180°$
解得$∠2 = 180° - 100° = 80°$
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；平角的定义
【点评】
本题是折叠类角度计算的常见题型，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平角的度数建立角度和的关系即可求解。
【难度系数】
0.8
遇到长方形纸条折叠的角度计算问题，首先回忆折叠的性质：折叠前后重合的角大小相等。观察图形可知，∠1和折叠后与它重合的隐藏角大小相等，这两个角与∠2共同组成180°的平角，据此就可以列式求出∠2的度数。
【解析】
根据折叠的性质可得，折叠后与∠1重合的角的度数等于∠1，即也是50°。
由于∠1、和∠1重合的角、∠2三个角共同构成平角，平角为180°，因此可得：
$∠1 + ∠1 + ∠2 = 180°$
将$∠1=50°$代入得：
$50° + 50° + ∠2 = 180°$
解得$∠2 = 180° - 100° = 80°$
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；平角的定义
【点评】
本题是折叠类角度计算的常见题型，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平角的度数建立角度和的关系即可求解。
【难度系数】
0.8
14.下列说法中,是真命题的个数是（）
①若$a// b$,$b// d$,则$a// d$;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③两条直线不相交就平行;④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
A.1
B.2
C.3
D.4
①若$a// b$,$b// d$,则$a// d$;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③两条直线不相交就平行;④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
A
解析
【分析】
要判断真命题的个数，需逐一验证4个说法是否符合平行、垂直相关定理的完整表述，尤其要注意每个定理成立的前提条件，缺少前提的表述均为错误命题：首先回忆平行公理的推论判断①；再对照平行公理的适用条件判断②；接着根据两直线位置关系的限定前提判断③；最后对照垂直性质的前提条件判断④，最终统计正确命题的数量即可。
【解析】
我们逐个判断四个命题的真假：
①根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若$a// b$，$b// d$，则$a// d$，该说法是真命题；
②平行公理的适用前提是“过直线外一点”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，因此该表述缺少前提，是假命题；
③只有在同一平面内，两条不重合直线的位置关系才只有相交和平行两种，不在同一平面内的异面直线可能不相交也不平行，该表述缺少“同一平面内”的前提，是假命题；
④“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的前提是在同一平面内，空间中过一点可作无数条直线与已知直线垂直，该表述缺少前提，是假命题。
综上，真命题仅有1个。
【答案】
A
【知识点】
平行公理及推论；两直线的位置关系；垂直的性质
【点评】
本题侧重考查几何定理的完整表述，易错点是忽略定理成立的限定条件（如同一平面内、点在直线外等）导致误判，学习时要准确掌握定理的完整内容，不要漏记前提。
【难度系数】
0.6
要判断真命题的个数，需逐一验证4个说法是否符合平行、垂直相关定理的完整表述，尤其要注意每个定理成立的前提条件，缺少前提的表述均为错误命题：首先回忆平行公理的推论判断①；再对照平行公理的适用条件判断②；接着根据两直线位置关系的限定前提判断③；最后对照垂直性质的前提条件判断④，最终统计正确命题的数量即可。
【解析】
我们逐个判断四个命题的真假：
①根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若$a// b$，$b// d$，则$a// d$，该说法是真命题；
②平行公理的适用前提是“过直线外一点”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，因此该表述缺少前提，是假命题；
③只有在同一平面内，两条不重合直线的位置关系才只有相交和平行两种，不在同一平面内的异面直线可能不相交也不平行，该表述缺少“同一平面内”的前提，是假命题；
④“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的前提是在同一平面内，空间中过一点可作无数条直线与已知直线垂直，该表述缺少前提，是假命题。
综上，真命题仅有1个。
【答案】
A
【知识点】
平行公理及推论；两直线的位置关系；垂直的性质
【点评】
本题侧重考查几何定理的完整表述，易错点是忽略定理成立的限定条件（如同一平面内、点在直线外等）导致误判，学习时要准确掌握定理的完整内容，不要漏记前提。
【难度系数】
0.6
15. 如图，$l_1// l_2$，第1次，作$l_3$相交$l_1,l_2$，则产生了4对同位角；第2次，作$l_4$相交$l_1,l_2,l_3$，则产生了12对同位角；第3次，作$l_5$相交$l_1,l_2,l_3,l_4$，则产生了24对同位角. 推测第6次产生的同位角的数量为 （）
A.60对
B.84对
C.112对
D.144对
A.60对
B.84对
C.112对
D.144对
答案
B
解析
【分析】
先整理题目给出的前几次操作对应的同位角数量，观察数值和操作次数的关联，总结通用规律，再将第6次的次数代入规律公式计算即可。具体思考时，先把前3次的数值拆分为和次数相关的乘积形式，就能快速找到规律。
【解析】
解：根据题意可得：
第1次操作，同位角数量为$4=2× 1× 2$；
第2次操作，同位角数量为$12=2× 2× 3$；
第3次操作，同位角数量为$24=2× 3× 4$；
由此可归纳规律：第$n$次操作产生的同位角数量为$2n(n+1)$。
当$n=6$时，代入公式得：$2× 6× (6+1)=2× 6×7=84$（对）。
【答案】
B
【知识点】
同位角定义，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题核心是通过已知的前几次结果，归纳出操作次数和同位角数量之间的通用关系，再代入所求的次数计算即可得到结果。
【难度系数】
0.6
先整理题目给出的前几次操作对应的同位角数量，观察数值和操作次数的关联，总结通用规律，再将第6次的次数代入规律公式计算即可。具体思考时，先把前3次的数值拆分为和次数相关的乘积形式，就能快速找到规律。
【解析】
解：根据题意可得：
第1次操作，同位角数量为$4=2× 1× 2$；
第2次操作，同位角数量为$12=2× 2× 3$；
第3次操作，同位角数量为$24=2× 3× 4$；
由此可归纳规律：第$n$次操作产生的同位角数量为$2n(n+1)$。
当$n=6$时，代入公式得：$2× 6× (6+1)=2× 6×7=84$（对）。
【答案】
B
【知识点】
同位角定义，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题核心是通过已知的前几次结果，归纳出操作次数和同位角数量之间的通用关系，再代入所求的次数计算即可得到结果。
【难度系数】
0.6
16.已知 O 为直线 AC 上一点,以 O 为起点作射线 OB,OD,满足∠AOB=2∠BOC,且∠BOD=$\frac{2}{3}$∠AOB,则∠AOD=.
答案
$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{160°}$
解析
【分析】
首先由O在直线AC上可知∠AOC为平角，等于180°，结合∠AOB与∠BOC的数量关系可先求出∠AOB的度数，再计算出∠BOD的度数；由于题目未明确射线OD的位置，需分两种情况讨论：OD在平角∠AOC内部且位于∠AOB中、OD在平角∠AOC外部，分别根据角的和差关系计算∠AOD即可，注意避免漏解。
【解析】
解：
∵ 点O在直线AC上，
∴ ∠AOC=180°，即$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$。
设$∠ BOC=x$，已知$∠ AOB=2∠ BOC$，则$∠ AOB=2x$，
代入得：$2x + x = 180°$，
解得$x=60°$，
∴ $∠ AOB=2×60°=120°$。
又
∵ $∠ BOD=\frac{2}{3}∠ AOB$，
∴ $∠ BOD=\frac{2}{3}×120°=80°$。
分两种情况计算$∠ AOD$：
① 当射线OD在$∠ AOB$内部时：
$∠ AOD=∠ AOB - ∠ BOD=120° - 80°=40°$；
② 当射线OD在平角$∠ AOC$外部时，根据周角为$360°$可得：
$∠ AOD=360° - ∠ AOB - ∠ BOD=360° - 120° - 80°=160°$。
【答案】
$40°$或$160°$
【知识点】
平角与周角定义，角的和差计算，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略射线OD的位置存在两种情况，导致漏解，解题时要先根据已知条件求出固定角的度数，再结合图形的位置多样性分类计算即可。
【难度系数】
0.6
首先由O在直线AC上可知∠AOC为平角，等于180°，结合∠AOB与∠BOC的数量关系可先求出∠AOB的度数，再计算出∠BOD的度数；由于题目未明确射线OD的位置，需分两种情况讨论：OD在平角∠AOC内部且位于∠AOB中、OD在平角∠AOC外部，分别根据角的和差关系计算∠AOD即可，注意避免漏解。
【解析】
解：
∵ 点O在直线AC上，
∴ ∠AOC=180°，即$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$。
设$∠ BOC=x$，已知$∠ AOB=2∠ BOC$，则$∠ AOB=2x$，
代入得：$2x + x = 180°$，
解得$x=60°$，
∴ $∠ AOB=2×60°=120°$。
又
∵ $∠ BOD=\frac{2}{3}∠ AOB$，
∴ $∠ BOD=\frac{2}{3}×120°=80°$。
分两种情况计算$∠ AOD$：
① 当射线OD在$∠ AOB$内部时：
$∠ AOD=∠ AOB - ∠ BOD=120° - 80°=40°$；
② 当射线OD在平角$∠ AOC$外部时，根据周角为$360°$可得：
$∠ AOD=360° - ∠ AOB - ∠ BOD=360° - 120° - 80°=160°$。
【答案】
$40°$或$160°$
【知识点】
平角与周角定义，角的和差计算，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略射线OD的位置存在两种情况，导致漏解，解题时要先根据已知条件求出固定角的度数，再结合图形的位置多样性分类计算即可。
【难度系数】
0.6
17. 如图，∠1 和∠3 是直线和被直线所截而成的角；图中与∠2 是同旁内角的角有个.
答案
解：∠1 和 ∠3 是直线 AB 和 AC 被直线 DE 所截而成的内错角；图中与∠2 是同旁内角的角有 3 个。
答案依次为：AB；AC；DE；内错；3。
答案依次为：AB；AC；DE；内错；3。
解析
【分析】
要解决这道题，首先掌握三线八角的相关判断方法：1. 判断两个角的截线和被截线：两个角公共边所在的直线是截线，剩余两条边所在的直线是被截线；2. 内错角的特征：在截线两侧，且夹在两条被截线之间；3. 同旁内角的特征：在截线同侧，且夹在两条被截线之间。首先分析∠1和∠3的位置，确定截线、被截线和角的类型；再按照同旁内角的特征，逐个找出与∠2构成同旁内角的角，注意不要漏数。
【解析】
1. 分析∠1和∠3：
∠1的两条边在直线AB、DE上，∠3的两条边在直线AC、DE上，公共边所在的直线DE是截线，另外两条直线AB、AC是被截线；两个角在截线DE的两侧，且夹在AB、AC之间，符合内错角的定义，因此∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角。
2. 找∠2的同旁内角：
根据同旁内角的定义逐一排查：
① ∠2和∠5：截线为BC，被截线为AB、AC，二者在BC同侧，且夹在AB、AC之间，是同旁内角；
② ∠2和∠6：截线为AB，被截线为BC、DE，二者在AB同侧，且夹在BC、DE之间，是同旁内角；
③ ∠2和∠7：截线为AB，被截线为BC、AC，二者在AB同侧，且夹在BC、AC之间，是同旁内角。
因此与∠2是同旁内角的角共有3个。
【答案】
AB；AC；DE；内错；3
【知识点】
三线八角的识别；内错角的定义；同旁内角的定义
【点评】
本题核心考查三类角的识别，解题的关键是先准确确定截线与被截直线，再结合不同角的位置特征判断，找同旁内角时建议按固定顺序排查，避免漏数或者多数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先掌握三线八角的相关判断方法：1. 判断两个角的截线和被截线：两个角公共边所在的直线是截线，剩余两条边所在的直线是被截线；2. 内错角的特征：在截线两侧，且夹在两条被截线之间；3. 同旁内角的特征：在截线同侧，且夹在两条被截线之间。首先分析∠1和∠3的位置，确定截线、被截线和角的类型；再按照同旁内角的特征，逐个找出与∠2构成同旁内角的角，注意不要漏数。
【解析】
1. 分析∠1和∠3：
∠1的两条边在直线AB、DE上，∠3的两条边在直线AC、DE上，公共边所在的直线DE是截线，另外两条直线AB、AC是被截线；两个角在截线DE的两侧，且夹在AB、AC之间，符合内错角的定义，因此∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角。
2. 找∠2的同旁内角：
根据同旁内角的定义逐一排查：
① ∠2和∠5：截线为BC，被截线为AB、AC，二者在BC同侧，且夹在AB、AC之间，是同旁内角；
② ∠2和∠6：截线为AB，被截线为BC、DE，二者在AB同侧，且夹在BC、DE之间，是同旁内角；
③ ∠2和∠7：截线为AB，被截线为BC、AC，二者在AB同侧，且夹在BC、AC之间，是同旁内角。
因此与∠2是同旁内角的角共有3个。
【答案】
AB；AC；DE；内错；3
【知识点】
三线八角的识别；内错角的定义；同旁内角的定义
【点评】
本题核心考查三类角的识别，解题的关键是先准确确定截线与被截直线，再结合不同角的位置特征判断，找同旁内角时建议按固定顺序排查，避免漏数或者多数。
【难度系数】
0.7
18.如图，直线AB，CD相交于点O，MO⊥AB，垂足为O，∠1=∠2，则∠NOD的度数为.
答案
$\boldsymbol{90°}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的垂直条件入手：由MO⊥AB可得∠AOM为90°，即∠1与∠AOC的和是90°；再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠2与∠AOC的和也是90°，即∠CON=90°；最后根据CD是直线，平角为180°，用平角减去∠CON即可求出∠NOD的度数。
【解析】
解：
∵ MO⊥AB，垂足为O，
∴ ∠AOM = 90°（垂直的定义），
即 $∠ 1 + ∠ AOC = 90°$，
又
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ 2 + ∠ AOC = 90°$，即$∠ CON = 90°$，
∵ CD为直线，
∴ $∠ CON + ∠ NOD = 180°$（平角的定义），
∴ $∠ NOD = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
垂直的定义，平角的定义，等量代换
【点评】
本题是角的运算基础题，核心是利用垂直、平角的性质，结合等量代换推导角度关系，解题时要注意挖掘图中隐含的平角、直角等特殊角的条件，是对几何基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的垂直条件入手：由MO⊥AB可得∠AOM为90°，即∠1与∠AOC的和是90°；再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠2与∠AOC的和也是90°，即∠CON=90°；最后根据CD是直线，平角为180°，用平角减去∠CON即可求出∠NOD的度数。
【解析】
解：
∵ MO⊥AB，垂足为O，
∴ ∠AOM = 90°（垂直的定义），
即 $∠ 1 + ∠ AOC = 90°$，
又
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ 2 + ∠ AOC = 90°$，即$∠ CON = 90°$，
∵ CD为直线，
∴ $∠ CON + ∠ NOD = 180°$（平角的定义），
∴ $∠ NOD = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
垂直的定义，平角的定义，等量代换
【点评】
本题是角的运算基础题，核心是利用垂直、平角的性质，结合等量代换推导角度关系，解题时要注意挖掘图中隐含的平角、直角等特殊角的条件，是对几何基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
19.已知直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC=60°，EO⊥CD，垂足为O，则∠AOE=。
答案
解：分两种情况求解：
① 当点E在直线CD靠近点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠COE = 90°，
又∵ ∠AOC = 60°，
∴ ∠AOE = ∠COE - ∠AOC = 90° - 60° = 30°；
② 当点E在直线CD远离点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠DOE = 90°，
∵ 直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 60°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠AOC = 120°，
∴ ∠AOE = ∠AOD + ∠DOE = 120° + 90° = 150°。
综上，∠AOE = 30°或150°。
① 当点E在直线CD靠近点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠COE = 90°，
又∵ ∠AOC = 60°，
∴ ∠AOE = ∠COE - ∠AOC = 90° - 60° = 30°；
② 当点E在直线CD远离点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠DOE = 90°，
∵ 直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 60°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠AOC = 120°，
∴ ∠AOE = ∠AOD + ∠DOE = 120° + 90° = 150°。
综上，∠AOE = 30°或150°。
解析
【分析】
本题没有给出具体图形，点E的位置存在两种可能，需要分类讨论求解。首先根据垂直的定义，EO⊥CD可得与CD相关的直角，再结合已知∠AOC=60°，根据两种不同位置下∠AOE和已知角的和差关系分别计算即可：第一种情况是E与A在直线CD同侧，此时∠AOE为直角减去∠AOC；第二种情况是E与A在直线CD异侧，此时先求出∠AOC的邻补角∠AOD的度数，再用∠AOD加直角即可得到∠AOE的度数。
【解析】
解：分两种情况求解：
① 当点E在直线CD靠近点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠COE = 90°，
又
∵ ∠AOC = 60°，
∴ ∠AOE = ∠COE - ∠AOC = 90° - 60° = 30°；
② 当点E在直线CD远离点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠DOE = 90°，
∵ 直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 60°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠AOC = 120°，
∴ ∠AOE = ∠AOD + ∠DOE = 120° + 90° = 150°。
综上，∠AOE = 30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
垂线的定义；邻补角的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是意识到无图几何题往往存在多种位置情况，避免漏解。解题过程中需要熟练运用垂直的定义和角的运算关系，同时要掌握分类讨论的思想方法。
【难度系数】
0.6
本题没有给出具体图形，点E的位置存在两种可能，需要分类讨论求解。首先根据垂直的定义，EO⊥CD可得与CD相关的直角，再结合已知∠AOC=60°，根据两种不同位置下∠AOE和已知角的和差关系分别计算即可：第一种情况是E与A在直线CD同侧，此时∠AOE为直角减去∠AOC；第二种情况是E与A在直线CD异侧，此时先求出∠AOC的邻补角∠AOD的度数，再用∠AOD加直角即可得到∠AOE的度数。
【解析】
解：分两种情况求解：
① 当点E在直线CD靠近点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠COE = 90°，
又
∵ ∠AOC = 60°，
∴ ∠AOE = ∠COE - ∠AOC = 90° - 60° = 30°；
② 当点E在直线CD远离点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠DOE = 90°，
∵ 直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 60°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠AOC = 120°，
∴ ∠AOE = ∠AOD + ∠DOE = 120° + 90° = 150°。
综上，∠AOE = 30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
垂线的定义；邻补角的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是意识到无图几何题往往存在多种位置情况，避免漏解。解题过程中需要熟练运用垂直的定义和角的运算关系，同时要掌握分类讨论的思想方法。
【难度系数】
0.6
