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7. 已知$□ ABCD$,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是 (
A.$∠ BAD=∠ ABC$
B.$∠ BAD=∠ BCD$
C.$AC=BD$
D.$AB⊥ BC$
B
)A.$∠ BAD=∠ ABC$
B.$∠ BAD=∠ BCD$
C.$AC=BD$
D.$AB⊥ BC$
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先明确已知前提是四边形ABCD为平行四边形，要判断哪个条件不能判定其为矩形，需先掌握平行四边形的固有性质，以及平行四边形判定为矩形的核心条件：①有一个内角为直角；②对角线相等。接下来逐个验证选项，若选项能推出上述两个条件之一即可判定为矩形，无法推出的即为本题答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：AD//BC，对角相等（即$∠ BAD=∠ BCD$），邻角互补（即$∠ BAD+∠ ABC=180°$）。
对各选项逐一分析：
A. 若$∠ BAD=∠ ABC$，结合$∠ BAD+∠ ABC=180°$，可得$∠ BAD=∠ ABC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不符合题意；
B. $∠ BAD=∠ BCD$是平行四边形本身固有的对角相等的性质，无法推出存在直角或对角线相等，因此不能判定为矩形，符合题意；
C. 若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不符合题意；
D. 若$AB⊥ BC$，则$∠ ABC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形性质和矩形判定的综合应用，解题关键是熟练掌握平行四边形的固有性质以及矩形相对于平行四边形的特殊判定条件，避免将平行四边形的通用性质错当成矩形的判定依据。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知前提是四边形ABCD为平行四边形，要判断哪个条件不能判定其为矩形，需先掌握平行四边形的固有性质，以及平行四边形判定为矩形的核心条件：①有一个内角为直角；②对角线相等。接下来逐个验证选项，若选项能推出上述两个条件之一即可判定为矩形，无法推出的即为本题答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：AD//BC，对角相等（即$∠ BAD=∠ BCD$），邻角互补（即$∠ BAD+∠ ABC=180°$）。
对各选项逐一分析：
A. 若$∠ BAD=∠ ABC$，结合$∠ BAD+∠ ABC=180°$，可得$∠ BAD=∠ ABC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不符合题意；
B. $∠ BAD=∠ BCD$是平行四边形本身固有的对角相等的性质，无法推出存在直角或对角线相等，因此不能判定为矩形，符合题意；
C. 若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不符合题意；
D. 若$AB⊥ BC$，则$∠ ABC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形性质和矩形判定的综合应用，解题关键是熟练掌握平行四边形的固有性质以及矩形相对于平行四边形的特殊判定条件，避免将平行四边形的通用性质错当成矩形的判定依据。
【难度系数】
0.8
8.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AC=10 km,BC=24km,则M,C两点之间的距离为 (
A.13 km
B.12 km
C.11 km
D.10 km
A
)A.13 km
B.12 km
C.11 km
D.10 km
答案
8.A
解析
【分析】
首先观察到AC与BC互相垂直，可判断△ABC是直角三角形。解题时先通过勾股定理计算出斜边AB的长度，再结合“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”这一性质，已知M是AB中点，即可求出M、C两点的距离。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，AC=10km，BC=24km，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26(km)$
又
∵M是AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，斜边的中线等于斜边的一半，
∴$MC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×26=13(km)$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，将勾股定理与直角三角形的特殊性质结合考查，只要熟练掌握相关定理，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先观察到AC与BC互相垂直，可判断△ABC是直角三角形。解题时先通过勾股定理计算出斜边AB的长度，再结合“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”这一性质，已知M是AB中点，即可求出M、C两点的距离。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，AC=10km，BC=24km，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26(km)$
又
∵M是AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，斜边的中线等于斜边的一半，
∴$MC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×26=13(km)$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，将勾股定理与直角三角形的特殊性质结合考查，只要熟练掌握相关定理，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9. 如图,四边形ABCD是正方形,M为BC上一点,连接AM,延长AD至点E,使得AE=AM,过点E作EF⊥AM,垂足为F。求证:AB=EF。
答案
9.证明:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD // BC,∠B = 90°,
∴ ∠AMB = ∠EAF。
∵ EF ⊥ AM,
∴ ∠B = ∠AFE。又 AM = EA,
∴ △AMB ≅ △EAF (AAS),
∴ AB = EF。
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD // BC,∠B = 90°,
∴ ∠AMB = ∠EAF。
∵ EF ⊥ AM,
∴ ∠B = ∠AFE。又 AM = EA,
∴ △AMB ≅ △EAF (AAS),
∴ AB = EF。
解析
【分析】
要证明AB=EF，可通过证明两条线段所在的三角形全等得到对应边相等。首先结合正方形的性质，可得∠B=90°、AD//BC，由平行线的内错角相等可推出∠AMB=∠EAF；再由EF⊥AM可得∠AFE=90°，即∠B=∠AFE，结合已知条件AE=AM，即可利用AAS判定△AMB≌△EAF，最后根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
【解析】
证明:
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AD // BC,∠B = 90°,
∴ ∠AMB = ∠EAF。
∵ EF ⊥ AM,
∴ ∠AFE=90°，即∠B = ∠AFE。
又
∵ AM = EA,
∴ △AMB ≅ △EAF (AAS),
∴ AB = EF。
【答案】
AB=EF
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查正方形性质与全等三角形相关知识的综合应用，解题关键是结合已知条件推导得到全等判定需要的等量关系，掌握这类题型能为后续复杂几何证明的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
要证明AB=EF，可通过证明两条线段所在的三角形全等得到对应边相等。首先结合正方形的性质，可得∠B=90°、AD//BC，由平行线的内错角相等可推出∠AMB=∠EAF；再由EF⊥AM可得∠AFE=90°，即∠B=∠AFE，结合已知条件AE=AM，即可利用AAS判定△AMB≌△EAF，最后根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
【解析】
证明:
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AD // BC,∠B = 90°,
∴ ∠AMB = ∠EAF。
∵ EF ⊥ AM,
∴ ∠AFE=90°，即∠B = ∠AFE。
又
∵ AM = EA,
∴ △AMB ≅ △EAF (AAS),
∴ AB = EF。
【答案】
AB=EF
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查正方形性质与全等三角形相关知识的综合应用，解题关键是结合已知条件推导得到全等判定需要的等量关系，掌握这类题型能为后续复杂几何证明的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
10.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,BC边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,过点C作$CF// AB$交直线ED于点F,连接BF,CE。
(1)判断四边形BECF是什么特殊的四边形,并说明理由；
(2)当$Rt△ ABC$满足
(1)判断四边形BECF是什么特殊的四边形,并说明理由；
(2)当$Rt△ ABC$满足
∠A=45°(或BC=AC)
时,四边形BECF是正方形。答案
10.解:(1)四边形 BECF 是菱形,理由如下:
∵ EF垂直平分 BC,
∴ EF ⊥ BC,FB = FC,EB = EC,
∴ ∠CDF = ∠CDE = 90°,∠EBC = ∠ECB,
∵ CF // AB,
∴ ∠FCB = ∠EBC,
∴ ∠FCB = ∠ECB,在△FCD 和△ECD 中,
$\begin{cases}∠FCD = ∠ECD,\\CD = CD,\\∠CDF = ∠CDE,\end{cases}$
∴ △FCD ≅ △ECD(ASA),
∴ CF = CE,
∴ FB = FC = CE = BE,
∴ 四边形 BECF 是菱形。
(2)当∠A = 45°(或 BC = AC)时,四边形 BECF 是正方形。理由:
∵ EF ⊥ BC,∠ACB = 90°,
∴ EF // AC,又CF // AB,
∴ 四边形 AEFC 是平行四边形,
∴ AE = FC = BE,即 E 为 AB 的中点。
∵ ∠BCA = 90°,∠A = 45°(或 BC = AC),
∴ △BCA 是等腰直角三角形,
∴ CE ⊥ BE,
∴ 菱形 BECF 是正方形。故答案为∠A = 45°(或 BC = AC)。
∵ EF垂直平分 BC,
∴ EF ⊥ BC,FB = FC,EB = EC,
∴ ∠CDF = ∠CDE = 90°,∠EBC = ∠ECB,
∵ CF // AB,
∴ ∠FCB = ∠EBC,
∴ ∠FCB = ∠ECB,在△FCD 和△ECD 中,
$\begin{cases}∠FCD = ∠ECD,\\CD = CD,\\∠CDF = ∠CDE,\end{cases}$
∴ △FCD ≅ △ECD(ASA),
∴ CF = CE,
∴ FB = FC = CE = BE,
∴ 四边形 BECF 是菱形。
(2)当∠A = 45°(或 BC = AC)时,四边形 BECF 是正方形。理由:
∵ EF ⊥ BC,∠ACB = 90°,
∴ EF // AC,又CF // AB,
∴ 四边形 AEFC 是平行四边形,
∴ AE = FC = BE,即 E 为 AB 的中点。
∵ ∠BCA = 90°,∠A = 45°(或 BC = AC),
∴ △BCA 是等腰直角三角形,
∴ CE ⊥ BE,
∴ 菱形 BECF 是正方形。故答案为∠A = 45°(或 BC = AC)。
解析
【分析】
(1)要判断四边形BECF的形状，首先利用BC垂直平分线的性质得到边相等、角相等，再结合CF//AB推出角相等，证明三角形全等得到边相等，最终通过四条边相等判定四边形为菱形。
(2)菱形要转化为正方形，需要有一个内角是直角，结合直角三角形的性质，逆向推导可知当△ABC为等腰直角三角形时，可满足菱形有直角的要求，据此即可得到对应条件。
【解析】
(1)四边形BECF是菱形，理由如下：
∵ EF垂直平分BC，
∴ EF ⊥ BC，FB = FC，EB = EC，
∴ ∠CDF = ∠CDE = 90°，∠EBC = ∠ECB，
∵ CF // AB，
∴ ∠FCB = ∠EBC，
∴ ∠FCB = ∠ECB，
在△FCD 和△ECD 中，
$\begin{cases}∠FCD = ∠ECD,\\CD = CD,\\∠CDF = ∠CDE,\end{cases}$
∴ △FCD ≅ △ECD(ASA)，
∴ CF = CE，
∴ FB = FC = CE = BE，
∴ 四边形BECF的四条边均相等，故四边形BECF是菱形。
(2)当∠A = 45°(或BC = AC)时，四边形BECF是正方形，理由：
∵ EF ⊥ BC，∠ACB = 90°，
∴ EF // AC，又CF // AB，
∴ 四边形AEFC是平行四边形，
∴ AE = FC = BE，即E为AB的中点。
∵ ∠BCA = 90°，∠A = 45°(或BC = AC)，
∴ △BCA是等腰直角三角形，
∴ CE ⊥ BE，即∠BEC=90°，
∴ 有一个内角为直角的菱形BECF是正方形。
【答案】
(1)四边形BECF是菱形，理由见解析；
(2)∠A=45°（或AC=BC，答案合理即可）
【知识点】
垂直平分线的性质；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题综合考查了垂直平分线、平行线、全等三角形的性质以及特殊四边形的判定，解题时需逐步推导边、角的数量关系和位置关系，第二问为条件开放性问题，可从正方形的判定条件逆向反推原三角形的特征，能有效检验对特殊四边形判定定理的掌握情况。
【难度系数】
0.7
(1)要判断四边形BECF的形状，首先利用BC垂直平分线的性质得到边相等、角相等，再结合CF//AB推出角相等，证明三角形全等得到边相等，最终通过四条边相等判定四边形为菱形。
(2)菱形要转化为正方形，需要有一个内角是直角，结合直角三角形的性质，逆向推导可知当△ABC为等腰直角三角形时，可满足菱形有直角的要求，据此即可得到对应条件。
【解析】
(1)四边形BECF是菱形，理由如下：
∵ EF垂直平分BC，
∴ EF ⊥ BC，FB = FC，EB = EC，
∴ ∠CDF = ∠CDE = 90°，∠EBC = ∠ECB，
∵ CF // AB，
∴ ∠FCB = ∠EBC，
∴ ∠FCB = ∠ECB，
在△FCD 和△ECD 中，
$\begin{cases}∠FCD = ∠ECD,\\CD = CD,\\∠CDF = ∠CDE,\end{cases}$
∴ △FCD ≅ △ECD(ASA)，
∴ CF = CE，
∴ FB = FC = CE = BE，
∴ 四边形BECF的四条边均相等，故四边形BECF是菱形。
(2)当∠A = 45°(或BC = AC)时，四边形BECF是正方形，理由：
∵ EF ⊥ BC，∠ACB = 90°，
∴ EF // AC，又CF // AB，
∴ 四边形AEFC是平行四边形，
∴ AE = FC = BE，即E为AB的中点。
∵ ∠BCA = 90°，∠A = 45°(或BC = AC)，
∴ △BCA是等腰直角三角形，
∴ CE ⊥ BE，即∠BEC=90°，
∴ 有一个内角为直角的菱形BECF是正方形。
【答案】
(1)四边形BECF是菱形，理由见解析；
(2)∠A=45°（或AC=BC，答案合理即可）
【知识点】
垂直平分线的性质；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题综合考查了垂直平分线、平行线、全等三角形的性质以及特殊四边形的判定，解题时需逐步推导边、角的数量关系和位置关系，第二问为条件开放性问题，可从正方形的判定条件逆向反推原三角形的特征，能有效检验对特殊四边形判定定理的掌握情况。
【难度系数】
0.7
