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1. 下列选项中能使$□ ABCD$成为菱形的是（
A.$AB=CD$
B.$AB=BC$
C.$∠ BAD=90°$
D.$AC=BD$
B
）A.$AB=CD$
B.$AB=BC$
C.$∠ BAD=90°$
D.$AC=BD$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先明确题干前提：已知四边形ABCD是平行四边形，只需找到能判定平行四边形为菱形的附加条件即可。首先回忆平行四边形的固有性质，可直接排除本身就是平行四边形性质的选项；再区分菱形和矩形的判定条件，排除能判定为矩形的错误选项，就能得到正确答案。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形固有性质为：对边相等（AB=CD，AD=BC）、对角相等、对角线互相平分。
对各选项逐一分析：
A选项：AB=CD是平行四边形本身就具备的性质，无法额外判定它是菱形，故A错误；
B选项：根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形。AB和BC是平行四边形ABCD的一组邻边，当AB=BC时，满足该判定条件，可证明□ABCD是菱形，故B正确；
C选项：有一个内角为90°的平行四边形是矩形，不是菱形，故C错误；
D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查特殊平行四边形的判定与性质的区分，解题时要注意先抓住题干给出的前提条件，再结合对应判定定理逐一筛选选项，避免混淆菱形和矩形的判定条件即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干前提：已知四边形ABCD是平行四边形，只需找到能判定平行四边形为菱形的附加条件即可。首先回忆平行四边形的固有性质，可直接排除本身就是平行四边形性质的选项；再区分菱形和矩形的判定条件，排除能判定为矩形的错误选项，就能得到正确答案。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形固有性质为：对边相等（AB=CD，AD=BC）、对角相等、对角线互相平分。
对各选项逐一分析：
A选项：AB=CD是平行四边形本身就具备的性质，无法额外判定它是菱形，故A错误；
B选项：根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形。AB和BC是平行四边形ABCD的一组邻边，当AB=BC时，满足该判定条件，可证明□ABCD是菱形，故B正确；
C选项：有一个内角为90°的平行四边形是矩形，不是菱形，故C错误；
D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查特殊平行四边形的判定与性质的区分，解题时要注意先抓住题干给出的前提条件，再结合对应判定定理逐一筛选选项，避免混淆菱形和矩形的判定条件即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
2. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC = 4,BD = 16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'。当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为 (
A.6
B.8
C.10
D.12
C
)A.6
B.8
C.10
D.12
答案
2.C
解析
【分析】首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到△ABO的直角边长度及垂直关系；再结合平移的性质，确定平移后对应线段的长度与位置关系，最后构建直角三角形，用勾股定理计算AB'的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×16=8$。
∵△ABO沿A到C的方向平移得到△A'B'O'，且点A'与C重合，
∴平移距离为AC=4，平移后对应线段相等、对应角相等，即$O'C=AO=2$，$B'O'=BO=8$，$∠B'O'C=∠BOA=90°$，
∴$AO'=AC+O'C=4+2=6$，且$B'O'⊥AO'$，
在$Rt△AB'O'$中，由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{AO'^2+B'O'^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
【答案】C
【知识点】菱形的性质；平移的性质；勾股定理
【点评】本题是几何基础综合题，解题关键是结合菱形、平移的性质找到直角三角形的边长，再用勾股定理求解，能很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×16=8$。
∵△ABO沿A到C的方向平移得到△A'B'O'，且点A'与C重合，
∴平移距离为AC=4，平移后对应线段相等、对应角相等，即$O'C=AO=2$，$B'O'=BO=8$，$∠B'O'C=∠BOA=90°$，
∴$AO'=AC+O'C=4+2=6$，且$B'O'⊥AO'$，
在$Rt△AB'O'$中，由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{AO'^2+B'O'^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
【答案】C
【知识点】菱形的性质；平移的性质；勾股定理
【点评】本题是几何基础综合题，解题关键是结合菱形、平移的性质找到直角三角形的边长，再用勾股定理求解，能很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】0.7
3.如图，
，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，请添加一个条件：
，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，请添加一个条件：AB = BC(答案不唯一)
，使$□ ABCD$是菱形。答案
3.AB = BC(答案不唯一)
解析
【分析】
首先明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，要让它变为菱形，只需结合菱形的判定定理补充条件即可。我们学过平行四边形证菱形的两个常用判定：一是一组邻边相等的平行四边形是菱形，二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形，只要添加满足这两个判定之一的条件都符合要求。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形：
1. 若依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可添加如$AB=BC$、$BC=CD$、$AD=AB$等任意一组邻边相等的条件；
2. 若依据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可添加$AC⊥BD$的条件。
上述条件任选其一即可，答案不唯一。
【答案】
$AB = BC$(答案不唯一)
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是开放型基础题，考查平行四边形到菱形的判定规则，只要添加的条件符合菱形的判定定理均正确，解题核心是熟练掌握平行四边形和菱形的联系与区别。
【难度系数】
0.8
首先明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，要让它变为菱形，只需结合菱形的判定定理补充条件即可。我们学过平行四边形证菱形的两个常用判定：一是一组邻边相等的平行四边形是菱形，二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形，只要添加满足这两个判定之一的条件都符合要求。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形：
1. 若依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可添加如$AB=BC$、$BC=CD$、$AD=AB$等任意一组邻边相等的条件；
2. 若依据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可添加$AC⊥BD$的条件。
上述条件任选其一即可，答案不唯一。
【答案】
$AB = BC$(答案不唯一)
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是开放型基础题，考查平行四边形到菱形的判定规则，只要添加的条件符合菱形的判定定理均正确，解题核心是熟练掌握平行四边形和菱形的联系与区别。
【难度系数】
0.8
4.已知:如图,在$□ ABCD$中,点E,F分别在AD,BC上,且BE平分$∠ ABC$,$EF// AB$。求证:四边形ABFE是菱形。
答案
4.证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD // BC,又
∵ EF // AB,
∴ 四边形 ABFE 是平行四边形,
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠FBE,
∵ AD // BC,
∴ ∠AEB = ∠EBF,
∴ ∠ABE = ∠AEB,
∴ AB = AE,
∴ 平行四边形 ABFE 是菱形。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD // BC,又
∵ EF // AB,
∴ 四边形 ABFE 是平行四边形,
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠FBE,
∵ AD // BC,
∴ ∠AEB = ∠EBF,
∴ ∠ABE = ∠AEB,
∴ AB = AE,
∴ 平行四边形 ABFE 是菱形。
解析
【分析】
要证明四边形ABFE是菱形，可选择“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定方法分两步推导：第一步先证四边形ABFE是平行四边形，第二步再证其一组邻边相等即可。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC，结合已知EF//AB，可判定ABFE是平行四边形；再利用BE平分∠ABC的条件，结合平行线的内错角相等推导角的等量关系，通过等角对等边得到邻边AB=AE，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，
又
∵ EF // AB，
∴ 四边形ABFE是平行四边形，
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠FBE，
∵ AD // BC，
∴ ∠AEB = ∠EBF，
∴ ∠ABE = ∠AEB，
∴ AB = AE，
∴ 平行四边形ABFE是菱形。
【答案】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，
又
∵ EF // AB，
∴ 四边形ABFE是平行四边形，
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠FBE，
∵ AD // BC，
∴ ∠AEB = ∠EBF，
∴ ∠ABE = ∠AEB，
∴ AB = AE，
∴ 平行四边形ABFE是菱形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础典型题，解题核心是灵活运用特殊四边形的判定定理，结合角平分线、平行线的性质推导角的等量关系，进而得到边的相等关系，掌握这类基础证明是后续解决复杂几何题的基础。
【难度系数】
0.8
要证明四边形ABFE是菱形，可选择“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定方法分两步推导：第一步先证四边形ABFE是平行四边形，第二步再证其一组邻边相等即可。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC，结合已知EF//AB，可判定ABFE是平行四边形；再利用BE平分∠ABC的条件，结合平行线的内错角相等推导角的等量关系，通过等角对等边得到邻边AB=AE，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，
又
∵ EF // AB，
∴ 四边形ABFE是平行四边形，
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠FBE，
∵ AD // BC，
∴ ∠AEB = ∠EBF，
∴ ∠ABE = ∠AEB，
∴ AB = AE，
∴ 平行四边形ABFE是菱形。
【答案】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，
又
∵ EF // AB，
∴ 四边形ABFE是平行四边形，
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠FBE，
∵ AD // BC，
∴ ∠AEB = ∠EBF，
∴ ∠ABE = ∠AEB，
∴ AB = AE，
∴ 平行四边形ABFE是菱形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础典型题，解题核心是灵活运用特殊四边形的判定定理，结合角平分线、平行线的性质推导角的等量关系，进而得到边的相等关系，掌握这类基础证明是后续解决复杂几何题的基础。
【难度系数】
0.8
5.如图是一个活动的$□ ABCD$框架，$∠ ABC=40°$，当边$BA$绕点$B$逆时针旋转$α(0°＜α＜90°)$时，框架成了矩形$ABCD$框架，则旋转角$α$的度数为 (
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$90°$
B
)A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先明确两个核心知识点：一是矩形的四个内角均为90°，二是旋转角是旋转前后对应边的夹角。已知原平行四边形中∠ABC=40°，要使框架变为矩形，∠ABC需要变为90°，边BA绕点B逆时针旋转的角度α就是变化前后∠ABC的度数差，据此即可计算出α的大小。
【解析】
解：
∵矩形的四个内角都为直角，
∴当平行四边形ABCD变为矩形时，∠ABC=90°，
又
∵原平行四边形中∠ABC=40°，边BA绕点B逆时针旋转α得到矩形，
∴旋转角α=90°-40°=50°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；旋转角的定义
【点评】
本题是基础角度计算题，结合旋转、平行四边形变形为矩形的场景考查性质应用，解题关键是抓住矩形内角为90°的特征，找准旋转角对应的角度差值，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个核心知识点：一是矩形的四个内角均为90°，二是旋转角是旋转前后对应边的夹角。已知原平行四边形中∠ABC=40°，要使框架变为矩形，∠ABC需要变为90°，边BA绕点B逆时针旋转的角度α就是变化前后∠ABC的度数差，据此即可计算出α的大小。
【解析】
解：
∵矩形的四个内角都为直角，
∴当平行四边形ABCD变为矩形时，∠ABC=90°，
又
∵原平行四边形中∠ABC=40°，边BA绕点B逆时针旋转α得到矩形，
∴旋转角α=90°-40°=50°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；旋转角的定义
【点评】
本题是基础角度计算题，结合旋转、平行四边形变形为矩形的场景考查性质应用，解题关键是抓住矩形内角为90°的特征，找准旋转角对应的角度差值，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O。点E,F分别是AB,AO的中点,且AC=8,则EF的长度为 (
A.2
B.4
C.6
D.8
A
)A.2
B.4
C.6
D.8
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先回忆矩形对角线的性质：矩形对角线相等且互相平分，由此可先求出对角线一半BO的长度；再观察E、F分别是AB、AO的中点，可判断EF是△AOB的中位线，结合三角形中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即AC=BD，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OB = $\frac{1}{2}$AC，
已知AC=8，
∴OB = $\frac{1}{2}$ × 8 = 4。
又
∵E是AB的中点，F是AO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴EF = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{1}{2}$ × 4 = 2。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何计算题，将矩形的对角线性质和三角形中位线定理结合考查，解题的核心是准确识别中位线，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆矩形对角线的性质：矩形对角线相等且互相平分，由此可先求出对角线一半BO的长度；再观察E、F分别是AB、AO的中点，可判断EF是△AOB的中位线，结合三角形中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即AC=BD，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OB = $\frac{1}{2}$AC，
已知AC=8，
∴OB = $\frac{1}{2}$ × 8 = 4。
又
∵E是AB的中点，F是AO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴EF = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{1}{2}$ × 4 = 2。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何计算题，将矩形的对角线性质和三角形中位线定理结合考查，解题的核心是准确识别中位线，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
