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1. 若一个正多边形的每一个外角都是$24°$,则该正多边形的内角和是（
A.$2\ 340°$
B.$360°$
C.$1\ 800°$
D.$2\ 160°$
A
）A.$2\ 340°$
B.$360°$
C.$1\ 800°$
D.$2\ 160°$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时我们可以分两步思考：第一步，回忆任意多边形的外角和恒为360°，且正多边形的每一个外角都相等，所以可以用外角和除以单个外角的度数，求出该正多边形的边数；第二步，回忆多边形内角和公式，把求出的边数代入公式就能算出内角和。
【解析】
首先求正多边形的边数：
∵ 任意多边形的外角和均为$360°$，该正多边形每个外角为$24°$
∴ 边数 $n = 360° ÷ 24° = 15$
再根据多边形内角和公式$\mathrm{内角和}=(n-2)×180°$，代入$n=15$得：
$\mathrm{内角和}=(15-2)×180°=13×180°=2340°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质；多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形性质的基础应用题，解题核心是利用固定不变的外角和先求得正多边形的边数，再代入内角和公式计算即可，只要熟练掌握相关公式就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以分两步思考：第一步，回忆任意多边形的外角和恒为360°，且正多边形的每一个外角都相等，所以可以用外角和除以单个外角的度数，求出该正多边形的边数；第二步，回忆多边形内角和公式，把求出的边数代入公式就能算出内角和。
【解析】
首先求正多边形的边数：
∵ 任意多边形的外角和均为$360°$，该正多边形每个外角为$24°$
∴ 边数 $n = 360° ÷ 24° = 15$
再根据多边形内角和公式$\mathrm{内角和}=(n-2)×180°$，代入$n=15$得：
$\mathrm{内角和}=(15-2)×180°=13×180°=2340°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质；多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形性质的基础应用题，解题核心是利用固定不变的外角和先求得正多边形的边数，再代入内角和公式计算即可，只要熟练掌握相关公式就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 在$□ ABCD$中，$AB = 3$，$BC = 4$，当$□ ABCD$的面积最大时，有下列结论：
①$AC = 5$；②$∠ A + ∠ C = 180°$；③$AC ⊥ BD$；④$AC = BD$. 其中正确的是（
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
①$AC = 5$；②$∠ A + ∠ C = 180°$；③$AC ⊥ BD$；④$AC = BD$. 其中正确的是（
B
）A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确平行四边形面积最大的条件：平行四边形的面积=底×高，本题中可将BC作为固定底（长度为4），高的最大值等于AB的长度3，此时AB与BC垂直，平行四边形变为矩形。再结合矩形的性质，逐一验证4个结论是否正确即可。
【解析】
第一步：确定面积最大时平行四边形的形状
平行四边形面积公式为$ S = 底 × 高 $，取BC为底，BC=4是固定值，因此高越大，面积越大。高的最大值等于AB的长度3，此时$ AB ⊥ BC $，根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知此时$ □ ABCD $是矩形。
第二步：逐一判断结论
① 矩形中$ ∠ B = 90° $，在$ Rt△ ABC $中，由勾股定理得$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $，故①正确；
② 矩形的对角相等，且四个角都是直角，即$ ∠ A = ∠ C = 90° $，因此$ ∠ A + ∠ C = 180° $，故②正确；
③ 矩形的对角线相等但不一定垂直（对角线垂直的平行四边形是菱形，本题邻边3≠4，不是菱形），故③错误；
④ 矩形的对角线相等，因此$ AC = BD $，故④正确。
综上，正确的结论是①②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题的核心突破口是判断出平行四边形面积最大时为矩形，再结合矩形的性质逐一验证结论，是四边形基础性质的综合应用，解题时要注意区分矩形和菱形的对角线性质差异，避免混淆。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先得明确平行四边形面积最大的条件：平行四边形的面积=底×高，本题中可将BC作为固定底（长度为4），高的最大值等于AB的长度3，此时AB与BC垂直，平行四边形变为矩形。再结合矩形的性质，逐一验证4个结论是否正确即可。
【解析】
第一步：确定面积最大时平行四边形的形状
平行四边形面积公式为$ S = 底 × 高 $，取BC为底，BC=4是固定值，因此高越大，面积越大。高的最大值等于AB的长度3，此时$ AB ⊥ BC $，根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知此时$ □ ABCD $是矩形。
第二步：逐一判断结论
① 矩形中$ ∠ B = 90° $，在$ Rt△ ABC $中，由勾股定理得$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $，故①正确；
② 矩形的对角相等，且四个角都是直角，即$ ∠ A = ∠ C = 90° $，因此$ ∠ A + ∠ C = 180° $，故②正确；
③ 矩形的对角线相等但不一定垂直（对角线垂直的平行四边形是菱形，本题邻边3≠4，不是菱形），故③错误；
④ 矩形的对角线相等，因此$ AC = BD $，故④正确。
综上，正确的结论是①②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题的核心突破口是判断出平行四边形面积最大时为矩形，再结合矩形的性质逐一验证结论，是四边形基础性质的综合应用，解题时要注意区分矩形和菱形的对角线性质差异，避免混淆。
【难度系数】
0.7
3. 如图21-31,在菱形$ABCD$中,$∠D=150°$,则$∠1$的度数为 (
A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$15°$
D
)A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$15°$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的相关性质：一是菱形对边平行，相邻内角互补；二是菱形的对角线平分一组对角。已知∠D的度数，先利用邻角互补求出∠BAD的度数，再根据AC是∠BAD的角平分线，就能求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC平分∠BAD，
∴∠D + ∠BAD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠D=150°，
∴∠BAD=180°-150°=30°，
又
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×30°=15°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查菱形性质的应用，解题关键是熟练掌握菱形的基础性质，结合角平分线的性质即可快速求解，主要考查学生对基础知识点的识记和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形的相关性质：一是菱形对边平行，相邻内角互补；二是菱形的对角线平分一组对角。已知∠D的度数，先利用邻角互补求出∠BAD的度数，再根据AC是∠BAD的角平分线，就能求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC平分∠BAD，
∴∠D + ∠BAD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠D=150°，
∴∠BAD=180°-150°=30°，
又
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×30°=15°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查菱形性质的应用，解题关键是熟练掌握菱形的基础性质，结合角平分线的性质即可快速求解，主要考查学生对基础知识点的识记和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
4. 如图21-32,在$□ ABCD$中,$AB=8$,E是AB上一点,$AE=3$,连接DE,过点C作$CF// DE$,交AB的延长线于点F,则BF的长为
(
A.5
B.4
C.3
D.2
(
C
)A.5
B.4
C.3
D.2
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的相关性质，已知四边形ABCD是平行四边形，可得对边平行且相等、对角相等；再结合CF//DE的条件，可通过两种思路求解：一是先证明△ADE和△BCF全等，直接得到BF=AE；二是先证明四边形DEFC是平行四边形，得到EF和AB长度相等，进而推导出BF与AE相等。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD//BC，∠A=∠CBF。
∵ CF//DE，
∴ ∠DEA=∠F（两直线平行，同位角相等）。
在△ADE和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}∠DEA=∠F \\∠A=∠CBF \\AD=BC\end{array} $
∴ △ADE≌△BCF（AAS），
∴ BF=AE=3。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是四边形基础题，可通过全等三角形或平行四边形两种思路求解，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，灵活选择合适的方法简化计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的相关性质，已知四边形ABCD是平行四边形，可得对边平行且相等、对角相等；再结合CF//DE的条件，可通过两种思路求解：一是先证明△ADE和△BCF全等，直接得到BF=AE；二是先证明四边形DEFC是平行四边形，得到EF和AB长度相等，进而推导出BF与AE相等。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD//BC，∠A=∠CBF。
∵ CF//DE，
∴ ∠DEA=∠F（两直线平行，同位角相等）。
在△ADE和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}∠DEA=∠F \\∠A=∠CBF \\AD=BC\end{array} $
∴ △ADE≌△BCF（AAS），
∴ BF=AE=3。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是四边形基础题，可通过全等三角形或平行四边形两种思路求解，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，灵活选择合适的方法简化计算。
【难度系数】
0.8
5. 将两张全等的矩形纸片和另两张
全等的正方形纸片按如图 21-33 所示的方式不重叠地放置在矩形 ABCD 内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出
(
A.正方形纸片的面积
B.四边形 EFGH 的面积
C.△BEF 的面积
D.△AEH 的面积
全等的正方形纸片按如图 21-33 所示的方式不重叠地放置在矩形 ABCD 内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出
(
C
)A.正方形纸片的面积
B.四边形 EFGH 的面积
C.△BEF 的面积
D.△AEH 的面积
答案
5.C
解析
【分析】
我们可以通过设参数的方法解题：先设正方形边长、矩形的长和宽，利用矩形与正方形周长相等得到参数间的等量关系，再将阴影部分面积和各选项对应的面积用参数表示，通过化简找到哪个量可以直接由阴影面积确定，不需要额外未知量即可求出。
【解析】
设正方形纸片的边长为$a$，矩形纸片的长为$m$，宽为$n$。
1. 利用周长相等得到参数关系：
因为矩形和正方形周长相等，所以$4a=2(m+n)$，化简得$m+n=2a$。
2. 表示阴影部分面积：
大矩形$ABCD$的面积为$(a+m)(a+n)=a^2+am+an+mn$，空白部分是2张正方形和2张矩形纸片，总面积为$2a^2+2mn$。
因此阴影面积$S_{\mathrm{阴}}=(a^2+am+an+mn)-(2a^2+2mn)=a(m+n)-a^2-mn$，将$m+n=2a$代入得：
$S_{\mathrm{阴}}=2a^2-a^2-mn=a^2-mn$。
3. 计算$△ BEF$的面积：
观察图形可知$△ BEF$是直角三角形，两条直角边长度分别为$m-a$和$a-n$。由$m+n=2a$可得$m-a=a-n$，设该长度为$k$，则$k=m-a=a-n$。
那么$k^2=(m-a)(a-n)=a(m+n)-a^2-mn=2a^2-a^2-mn=a^2-mn=S_{\mathrm{阴}}$，所以$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}× k× k=\frac{1}{2}S_{\mathrm{阴}}$，即知道阴影面积就可直接求出$△ BEF$的面积。
4. 排除其他选项：
A选项正方形面积为$a^2$，仅知道$a^2-mn=S_{\mathrm{阴}}$，有两个未知量无法求出；B选项四边形$EFGH$的面积、D选项$△ AEH$的面积都需要额外未知参数才能表示，无法仅通过阴影面积求出。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，正方形的性质，面积计算
【点评】
本题考查参数法在图形面积问题中的应用，解题关键是合理设参数，结合周长相等的条件化简消元，找到所求量和已知阴影面积的对应关系。
【难度系数】
0.6
我们可以通过设参数的方法解题：先设正方形边长、矩形的长和宽，利用矩形与正方形周长相等得到参数间的等量关系，再将阴影部分面积和各选项对应的面积用参数表示，通过化简找到哪个量可以直接由阴影面积确定，不需要额外未知量即可求出。
【解析】
设正方形纸片的边长为$a$，矩形纸片的长为$m$，宽为$n$。
1. 利用周长相等得到参数关系：
因为矩形和正方形周长相等，所以$4a=2(m+n)$，化简得$m+n=2a$。
2. 表示阴影部分面积：
大矩形$ABCD$的面积为$(a+m)(a+n)=a^2+am+an+mn$，空白部分是2张正方形和2张矩形纸片，总面积为$2a^2+2mn$。
因此阴影面积$S_{\mathrm{阴}}=(a^2+am+an+mn)-(2a^2+2mn)=a(m+n)-a^2-mn$，将$m+n=2a$代入得：
$S_{\mathrm{阴}}=2a^2-a^2-mn=a^2-mn$。
3. 计算$△ BEF$的面积：
观察图形可知$△ BEF$是直角三角形，两条直角边长度分别为$m-a$和$a-n$。由$m+n=2a$可得$m-a=a-n$，设该长度为$k$，则$k=m-a=a-n$。
那么$k^2=(m-a)(a-n)=a(m+n)-a^2-mn=2a^2-a^2-mn=a^2-mn=S_{\mathrm{阴}}$，所以$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}× k× k=\frac{1}{2}S_{\mathrm{阴}}$，即知道阴影面积就可直接求出$△ BEF$的面积。
4. 排除其他选项：
A选项正方形面积为$a^2$，仅知道$a^2-mn=S_{\mathrm{阴}}$，有两个未知量无法求出；B选项四边形$EFGH$的面积、D选项$△ AEH$的面积都需要额外未知参数才能表示，无法仅通过阴影面积求出。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，正方形的性质，面积计算
【点评】
本题考查参数法在图形面积问题中的应用，解题关键是合理设参数，结合周长相等的条件化简消元，找到所求量和已知阴影面积的对应关系。
【难度系数】
0.6
6. 如图21-34,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=6,BD=8,则菱形ABCD的高AE为
图21-34
4.8
.图21-34
答案
6. 4.8
解析
【分析】
解题时先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到直角三角形AOB的两条直角边长，再用勾股定理求出菱形的边长；接下来根据菱形面积的两种计算方法：一是对角线乘积的一半，二是底乘高，列等式即可求出高AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8
∴AC⊥BD，$OA=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=4$，$BC=AB$
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∴$BC=AB=5$
∵菱形的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD=BC×AE$
代入数据得：$\frac{1}{2}×6×8=5AE$
解得$AE=\frac{24}{5}=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是四边形基础题，解题的核心是熟练掌握菱形的性质，灵活运用等面积法建立等式求解，是菱形相关计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到直角三角形AOB的两条直角边长，再用勾股定理求出菱形的边长；接下来根据菱形面积的两种计算方法：一是对角线乘积的一半，二是底乘高，列等式即可求出高AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8
∴AC⊥BD，$OA=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=4$，$BC=AB$
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∴$BC=AB=5$
∵菱形的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD=BC×AE$
代入数据得：$\frac{1}{2}×6×8=5AE$
解得$AE=\frac{24}{5}=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是四边形基础题，解题的核心是熟练掌握菱形的性质，灵活运用等面积法建立等式求解，是菱形相关计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
7. 在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,如果$AC=14,BD=8,AB=x$,那么$x$的取值范围是________.
答案
7. $3＜x＜11$
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的核心性质：平行四边形的对角线互相平分，结合已知的两条对角线长度，可以先算出对角线一半的长度，即△ABO中两条边OA、OB的长度。此时所求边长AB是△ABO的第三条边，再利用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，即可列出不等式求出x的取值范围。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=14，BD=8
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×14=7$，$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$
在△AOB中，根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
∴$OA-OB＜AB＜OA+OB$
代入数值可得：$7-4＜x＜7+4$
即$3＜x＜11$
【答案】
$3＜x＜11$
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于四边形章节的基础常考题，核心考察平行四边形性质与三角形三边关系的综合应用，解题关键是将所求边长转化到同一个三角形中，结合三边关系列不等式求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的核心性质：平行四边形的对角线互相平分，结合已知的两条对角线长度，可以先算出对角线一半的长度，即△ABO中两条边OA、OB的长度。此时所求边长AB是△ABO的第三条边，再利用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，即可列出不等式求出x的取值范围。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=14，BD=8
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×14=7$，$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$
在△AOB中，根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
∴$OA-OB＜AB＜OA+OB$
代入数值可得：$7-4＜x＜7+4$
即$3＜x＜11$
【答案】
$3＜x＜11$
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于四边形章节的基础常考题，核心考察平行四边形性质与三角形三边关系的综合应用，解题关键是将所求边长转化到同一个三角形中，结合三边关系列不等式求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 过$□ ABCD$的对角线交点$O$作直线$m$，分别交直线$AB$于点$E$，交直线$CD$于点$F$.若$AB = 4$，$AE = 6$，则$DF =$
2或10
.答案
8. 2或10
解析
【分析】
本题需结合平行四边形的性质求解，首先注意题干中直线m交的是直线AB、CD，而非线段，因此要分两种情况讨论点E的位置：①E在AB的延长线上；②E在BA的延长线上。解题时先利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质证明△AOE≌△COF，得到AE=CF，再结合CD=AB=4，根据F点的不同位置计算DF的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=4，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OCF\\ OA=OC\\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴CF=AE=6。
分两种情况讨论：
1. 当点E在AB的延长线上时，点F在CD的反向延长线上（D点远离C的一侧），
此时$DF=CF-CD=6-4=2$；
2. 当点E在BA的延长线上时，点F在DC的延长线上（C点远离D的一侧），
此时$DF=CD+CF=4+6=10$。
综上，DF的长度为2或10。
【答案】
2或10
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题干中“直线”的表述，仅考虑点E的一种位置情况，导致漏解，解题时遇到“直线”类交点问题，要注意全面分析所有可能的交点位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需结合平行四边形的性质求解，首先注意题干中直线m交的是直线AB、CD，而非线段，因此要分两种情况讨论点E的位置：①E在AB的延长线上；②E在BA的延长线上。解题时先利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质证明△AOE≌△COF，得到AE=CF，再结合CD=AB=4，根据F点的不同位置计算DF的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=4，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OCF\\ OA=OC\\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴CF=AE=6。
分两种情况讨论：
1. 当点E在AB的延长线上时，点F在CD的反向延长线上（D点远离C的一侧），
此时$DF=CF-CD=6-4=2$；
2. 当点E在BA的延长线上时，点F在DC的延长线上（C点远离D的一侧），
此时$DF=CD+CF=4+6=10$。
综上，DF的长度为2或10。
【答案】
2或10
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题干中“直线”的表述，仅考虑点E的一种位置情况，导致漏解，解题时遇到“直线”类交点问题，要注意全面分析所有可能的交点位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9. 如图21-35,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,且$BA=3$,$AC=4$,$D$是斜边$BC$上的一个动点,过点$D$分别作$DM ⊥ AB$于点$M$,$DN ⊥ AC$于点$N$,连接$MN$,则线段$MN$长度的最小值为$\underline{\hspace{2em}}$.
答案
9. $\frac{12}{5}$
解析
【分析】
解题时首先观察四边形AMDN的内角特征：已知∠BAC=90°，DM⊥AB、DN⊥AC，可得该四边形三个内角均为直角，因此可判定为矩形；根据矩形对角线相等的性质，可得MN=AD，因此求MN的最小值可转化为求点A到BC的最短距离。根据“垂线段最短”，当AD垂直于BC时，AD长度最小，此时只需要先通过勾股定理求出BC的长度，再用三角形面积法求出斜边BC上的高即可得到结果。
【解析】
1. 求斜边BC的长度：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 判定四边形AMDN的形状，推导MN与AD的关系：
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∠BAC=90°，
∴∠AMD=∠AND=∠BAC=90°，
∴四边形AMDN是矩形，
∴根据矩形对角线相等的性质，$MN=AD$。
3. 求AD的最小值：
根据“垂线段最短”，当AD⊥BC时，AD的长度最小，此时AD是Rt△ABC斜边BC上的高。
由三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AD$，
解得$AD=\frac{12}{5}$，因此MN的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题属于线段最值类问题，解题的核心是通过矩形的性质将未知线段MN转化为更易求解的线段AD，再结合垂线段最短的性质将最值问题转化为求三角形斜边上的高，巧妙运用面积法简化计算，考查了几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察四边形AMDN的内角特征：已知∠BAC=90°，DM⊥AB、DN⊥AC，可得该四边形三个内角均为直角，因此可判定为矩形；根据矩形对角线相等的性质，可得MN=AD，因此求MN的最小值可转化为求点A到BC的最短距离。根据“垂线段最短”，当AD垂直于BC时，AD长度最小，此时只需要先通过勾股定理求出BC的长度，再用三角形面积法求出斜边BC上的高即可得到结果。
【解析】
1. 求斜边BC的长度：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 判定四边形AMDN的形状，推导MN与AD的关系：
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∠BAC=90°，
∴∠AMD=∠AND=∠BAC=90°，
∴四边形AMDN是矩形，
∴根据矩形对角线相等的性质，$MN=AD$。
3. 求AD的最小值：
根据“垂线段最短”，当AD⊥BC时，AD的长度最小，此时AD是Rt△ABC斜边BC上的高。
由三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AD$，
解得$AD=\frac{12}{5}$，因此MN的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题属于线段最值类问题，解题的核心是通过矩形的性质将未知线段MN转化为更易求解的线段AD，再结合垂线段最短的性质将最值问题转化为求三角形斜边上的高，巧妙运用面积法简化计算，考查了几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
