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10. 如图 21-36,线段 AB,CD 端点的坐标分别为$A(-1,2),B(3,-1),C(3,2),D(-1,5)$,且$AB// CD$,将 CD 平移至第一象限内,得到$C'D'$(点$C',D'$均在格点上).若四边形$ABC'D'$是菱形,则所有满足条件的点$D'$的坐标为________.
图21-36
图21-36
答案
10. $(3,5)$或$(2,6)$
解析
【分析】
解题思路如下：首先计算线段AB的长度，由AB//CD，平移后CD与C'D'平行且相等，可得AB与C'D'平行且相等，因此四边形ABC'D'首先是平行四边形；其次菱形需要邻边相等，故只需满足AD'=AB即可；最后结合平移的性质（C'与D'的相对位置和原C、D一致）、点在第一象限格点的条件，找出所有符合的D'坐标。
【解析】
步骤1：计算AB的长度
已知$A(-1,2)$，$B(3,-1)$，横坐标差为$3-(-1)=4$，纵坐标差为$-1-2=-3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$
步骤2：判定四边形$ABC'D'$为平行四边形
因为CD平移得到$C'D'$，所以$C'D'// CD$且$C'D'=CD$，又已知$AB// CD$且$AB=CD=5$，因此$AB// C'D'$且$AB=C'D'$，故四边形$ABC'D'$是平行四边形。
步骤3：利用菱形性质列条件
要使平行四边形$ABC'D'$为菱形，需邻边相等，即$AD'=AB=5$。设$D'(x,y)$，则由距离公式得：
$\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}=5$，即$(x+1)^2+(y-2)^2=25$
步骤4：结合平移性质和第一象限条件筛选解
由原CD的坐标关系：D的横坐标比C小4，纵坐标比C大3，因此平移后$x_{C'}=x_{D'}+4$，$y_{C'}=y_{D'}-3$，且$C'$、$D'$均为第一象限格点（$x＞0$，$y＞0$，坐标为整数）。
枚举满足方程的整数解：
① 当$x+1=4$，$y-2=3$时，解得$x=3$，$y=5$，即$D'(3,5)$，此时$C'(7,2)$，符合第一象限格点要求；
② 当$x+1=3$，$y-2=4$时，解得$x=2$，$y=6$，即$D'(2,6)$，此时$C'(6,3)$，符合第一象限格点要求；
其余解均会导致$C'$或$D'$不在第一象限，舍去。
【答案】
$(3,5)$或$(2,6)$
【知识点】
菱形的判定；坐标与平移；勾股定理的应用
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查平移性质、菱形判定及勾股定理的综合运用，解题核心是先确定四边形为平行四边形的前提，再通过菱形邻边相等的性质列关系，最后注意结合第一象限、格点的限制条件筛选解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先计算线段AB的长度，由AB//CD，平移后CD与C'D'平行且相等，可得AB与C'D'平行且相等，因此四边形ABC'D'首先是平行四边形；其次菱形需要邻边相等，故只需满足AD'=AB即可；最后结合平移的性质（C'与D'的相对位置和原C、D一致）、点在第一象限格点的条件，找出所有符合的D'坐标。
【解析】
步骤1：计算AB的长度
已知$A(-1,2)$，$B(3,-1)$，横坐标差为$3-(-1)=4$，纵坐标差为$-1-2=-3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$
步骤2：判定四边形$ABC'D'$为平行四边形
因为CD平移得到$C'D'$，所以$C'D'// CD$且$C'D'=CD$，又已知$AB// CD$且$AB=CD=5$，因此$AB// C'D'$且$AB=C'D'$，故四边形$ABC'D'$是平行四边形。
步骤3：利用菱形性质列条件
要使平行四边形$ABC'D'$为菱形，需邻边相等，即$AD'=AB=5$。设$D'(x,y)$，则由距离公式得：
$\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}=5$，即$(x+1)^2+(y-2)^2=25$
步骤4：结合平移性质和第一象限条件筛选解
由原CD的坐标关系：D的横坐标比C小4，纵坐标比C大3，因此平移后$x_{C'}=x_{D'}+4$，$y_{C'}=y_{D'}-3$，且$C'$、$D'$均为第一象限格点（$x＞0$，$y＞0$，坐标为整数）。
枚举满足方程的整数解：
① 当$x+1=4$，$y-2=3$时，解得$x=3$，$y=5$，即$D'(3,5)$，此时$C'(7,2)$，符合第一象限格点要求；
② 当$x+1=3$，$y-2=4$时，解得$x=2$，$y=6$，即$D'(2,6)$，此时$C'(6,3)$，符合第一象限格点要求；
其余解均会导致$C'$或$D'$不在第一象限，舍去。
【答案】
$(3,5)$或$(2,6)$
【知识点】
菱形的判定；坐标与平移；勾股定理的应用
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查平移性质、菱形判定及勾股定理的综合运用，解题核心是先确定四边形为平行四边形的前提，再通过菱形邻边相等的性质列关系，最后注意结合第一象限、格点的限制条件筛选解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 如图21-37,在四边形ABCD中,∠D=90°,E是BC边上的点,EF⊥AE,交CD于点F,∠EFD=110°.
(1)求∠DAE的度数;
(2)若∠AEB=∠CEF,求∠C的度数.
图21-37
11. 如图21-37,在四边形ABCD中,∠D=90°,E是BC边上的点,EF⊥AE,交CD于点F,∠EFD=110°.
(1)求∠DAE的度数;
(2)若∠AEB=∠CEF,求∠C的度数.
图21-37
答案
11. (1)
∵ $EF⊥AE$，
∴ $∠AEF=90°$.
∵ $∠EFD=110°$，$∠D=90°$，
∴ $∠DAE=360°-90°-90°-110°=70°$.
(2)由条件可知，$∠EFC=180°-110°=70°$.
∵ $∠AEB=∠CEF$，$∠AEF=90°$，
∴ $∠FEC=\frac{1}{2}(180°-∠AEF)=\frac{1}{2}(180°-90°)=45°$.
∴ $∠C=180°-∠EFC-∠FEC=180°-70°-45°=65°$
∵ $EF⊥AE$，
∴ $∠AEF=90°$.
∵ $∠EFD=110°$，$∠D=90°$，
∴ $∠DAE=360°-90°-90°-110°=70°$.
(2)由条件可知，$∠EFC=180°-110°=70°$.
∵ $∠AEB=∠CEF$，$∠AEF=90°$，
∴ $∠FEC=\frac{1}{2}(180°-∠AEF)=\frac{1}{2}(180°-90°)=45°$.
∴ $∠C=180°-∠EFC-∠FEC=180°-70°-45°=65°$
解析
【分析】
(1) 求∠DAE时，观察到∠DAE在四边形AEDF中，四边形内角和为360°，已知∠D=90°，由EF⊥AE可得∠AEF=90°，又已知∠EFD=110°，用四边形内角和减去三个已知角即可求出∠DAE。
(2) 求∠C时，首先利用邻补角的性质求出∠EFC的度数；再根据平角为180°，结合∠AEB=∠CEF、∠AEF=90°，可算出∠CEF的度数；最后在△EFC中利用三角形内角和为180°，减去∠EFC和∠CEF的度数即可得到∠C的度数。
【解析】
(1)
∵ $EF⊥AE$，
∴ $∠AEF=90°$，
∵ 四边形内角和为$360°$，且$∠D=90°$，$∠EFD=110°$，
∴ $∠DAE=360°-∠D-∠AEF-∠EFD=360°-90°-90°-110°=70°$。
(2)
∵ $∠EFD$与$∠EFC$为邻补角，
∴ $∠EFC=180°-∠EFD=180°-110°=70°$，
∵ 点E在BC上，$∠AEB+∠AEF+∠CEF=180°$（平角的定义），
又
∵ $∠AEB=∠CEF$，$∠AEF=90°$，
∴ $∠CEF=\frac{1}{2}(180°-∠AEF)=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$，
在$△ EFC$中，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠C=180°-∠EFC-∠CEF=180°-70°-45°=65°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{70°}$；(2) $\boldsymbol{65°}$
【知识点】
四边形内角和、三角形内角和、平角的性质
【点评】
本题属于基础角度运算题，考查多边形内角和定理及邻补角、平角的性质，解题关键是找准所求角所在的几何图形，挖掘图中的隐含角度关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠DAE时，观察到∠DAE在四边形AEDF中，四边形内角和为360°，已知∠D=90°，由EF⊥AE可得∠AEF=90°，又已知∠EFD=110°，用四边形内角和减去三个已知角即可求出∠DAE。
(2) 求∠C时，首先利用邻补角的性质求出∠EFC的度数；再根据平角为180°，结合∠AEB=∠CEF、∠AEF=90°，可算出∠CEF的度数；最后在△EFC中利用三角形内角和为180°，减去∠EFC和∠CEF的度数即可得到∠C的度数。
【解析】
(1)
∵ $EF⊥AE$，
∴ $∠AEF=90°$，
∵ 四边形内角和为$360°$，且$∠D=90°$，$∠EFD=110°$，
∴ $∠DAE=360°-∠D-∠AEF-∠EFD=360°-90°-90°-110°=70°$。
(2)
∵ $∠EFD$与$∠EFC$为邻补角，
∴ $∠EFC=180°-∠EFD=180°-110°=70°$，
∵ 点E在BC上，$∠AEB+∠AEF+∠CEF=180°$（平角的定义），
又
∵ $∠AEB=∠CEF$，$∠AEF=90°$，
∴ $∠CEF=\frac{1}{2}(180°-∠AEF)=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$，
在$△ EFC$中，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠C=180°-∠EFC-∠CEF=180°-70°-45°=65°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{70°}$；(2) $\boldsymbol{65°}$
【知识点】
四边形内角和、三角形内角和、平角的性质
【点评】
本题属于基础角度运算题，考查多边形内角和定理及邻补角、平角的性质，解题关键是找准所求角所在的几何图形，挖掘图中的隐含角度关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8
