登录
8. 图中的内容是某同学完成的作业，他作答正确的题数是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.B
解析
【分析】
解题时需先逐一判断每道小题的正确结果，再和该同学的作答对比，统计做对的题数即可选出答案。解题时要用到多个实数相关的基础概念：倒数是乘积为1的两个数；平方根等于本身的数只有0，立方根等于本身的数有0、1、-1；负数的偶次幂为正数；负数的绝对值是它的相反数；负数的立方根为负数，结合这些性质逐一验证即可。
【解析】
我们逐个判断5道题的作答正误：
① 互为倒数的两数乘积为1，$-1×(-1)=1$，故$-1$的倒数是$-1$，同学填1，作答错误；
② 平方根等于本身的数只有0，1的平方根为$\pm1$，不符合要求，因此平方根、立方根都等于本身的数是0，同学填1，作答错误；
③ 计算$(-\frac{1}{3})^2=(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=\frac{1}{9}$，同学填9，作答错误；
④ 由于$\sqrt{2}＞1$，因此$1-\sqrt{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，同学作答正确；
⑤ 由于$(-2)^3=-8$，因此$\sqrt[3]{-8}=-2$，同学作答正确。
综上，同学一共做对2道题，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
倒数的定义，平方根与立方根的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是基础概念综合题，考查了实数运算相关的多个基础知识点，解题的核心是准确掌握各概念的性质，避免混淆特殊数的运算结果。
【难度系数】
0.7
解题时需先逐一判断每道小题的正确结果，再和该同学的作答对比，统计做对的题数即可选出答案。解题时要用到多个实数相关的基础概念：倒数是乘积为1的两个数；平方根等于本身的数只有0，立方根等于本身的数有0、1、-1；负数的偶次幂为正数；负数的绝对值是它的相反数；负数的立方根为负数，结合这些性质逐一验证即可。
【解析】
我们逐个判断5道题的作答正误：
① 互为倒数的两数乘积为1，$-1×(-1)=1$，故$-1$的倒数是$-1$，同学填1，作答错误；
② 平方根等于本身的数只有0，1的平方根为$\pm1$，不符合要求，因此平方根、立方根都等于本身的数是0，同学填1，作答错误；
③ 计算$(-\frac{1}{3})^2=(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=\frac{1}{9}$，同学填9，作答错误；
④ 由于$\sqrt{2}＞1$，因此$1-\sqrt{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，同学作答正确；
⑤ 由于$(-2)^3=-8$，因此$\sqrt[3]{-8}=-2$，同学作答正确。
综上，同学一共做对2道题，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
倒数的定义，平方根与立方根的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是基础概念综合题，考查了实数运算相关的多个基础知识点，解题的核心是准确掌握各概念的性质，避免混淆特殊数的运算结果。
【难度系数】
0.7
9.读了曹冲称象的故事后,亮亮深受启发,他利用排水法测出了正方体物块的体积(即物块的体积等于排出的水的体积).如图,他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中(绳子的体积忽略不计),测得溢出的水的体积为50 cm³.由此可估计,该正方体物块的棱长位于（
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
C
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
9.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据题意，物块完全浸入水中时，排出水的体积等于物块的体积，因此可先确定正方体物块的体积为50cm³；再结合正方体体积公式（体积=棱长³）可知，要求棱长就需要求50的立方根；最后通过计算相邻整数的立方，对比判断50的立方根所在的整数区间，即可得到棱长的范围。
【解析】
解：由题意可知，正方体物块的体积等于溢出的水的体积，即$V=50\mathrm{cm}^3$。
设正方体的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式可得：
$a^3=50$，因此$a=\sqrt[3]{50}$。
计算相邻整数的立方：$3^3=27$，$4^3=64$。
∵$27＜50＜64$，
∴$\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{50}＜\sqrt[3]{64}$，即$3＜\sqrt[3]{50}＜4$。
因此正方体的棱长位于3和4之间。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算，立方根的估算，实数大小比较
【点评】
本题结合生活中的排水法场景考查立方根估算的实际应用，解题的关键是明确正方体体积与溢出水体积的关系，再通过整数立方的大小对比估算立方根的范围，侧重考查基础运算与知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据题意，物块完全浸入水中时，排出水的体积等于物块的体积，因此可先确定正方体物块的体积为50cm³；再结合正方体体积公式（体积=棱长³）可知，要求棱长就需要求50的立方根；最后通过计算相邻整数的立方，对比判断50的立方根所在的整数区间，即可得到棱长的范围。
【解析】
解：由题意可知，正方体物块的体积等于溢出的水的体积，即$V=50\mathrm{cm}^3$。
设正方体的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式可得：
$a^3=50$，因此$a=\sqrt[3]{50}$。
计算相邻整数的立方：$3^3=27$，$4^3=64$。
∵$27＜50＜64$，
∴$\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{50}＜\sqrt[3]{64}$，即$3＜\sqrt[3]{50}＜4$。
因此正方体的棱长位于3和4之间。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算，立方根的估算，实数大小比较
【点评】
本题结合生活中的排水法场景考查立方根估算的实际应用，解题的关键是明确正方体体积与溢出水体积的关系，再通过整数立方的大小对比估算立方根的范围，侧重考查基础运算与知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 对于实数 $ p $，我们规定：用〈$ p $〉表示不小于 $ p $ 的最小整数，例如：〈4〉=4，〈$ \sqrt{3} $〉=2。现对72进行如下操作：72→〈$ \sqrt{72} $〉=9→〈$ \sqrt{9} $〉=3→〈$ \sqrt{3} $〉=2，即对72只需进行3次操作后变为2。类似地，对121只需进行
A.4
B.3
C.2
D.1
3
次操作后变为2 （B
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
10.B
解析
【分析】
首先要准确理解题目给出的新定义：〈p〉表示不小于p的最小整数，解题时按照示例的操作流程，对121逐步进行操作：每次先计算当前数的算术平方根，再按新定义求出对应的整数，直到结果为2，统计操作的次数即可。
【解析】
我们按照规则逐步对121进行操作：
1. 第一次操作：计算$\sqrt{121}=11$，不小于11的最小整数是11，因此$⟨ \sqrt{121} \rangle=11$；
2. 第二次操作：计算$\sqrt{11}$，因为$3^2=9＜11＜16=4^2$，所以$3＜\sqrt{11}＜4$，不小于$\sqrt{11}$的最小整数是4，因此$⟨ \sqrt{11} \rangle=4$；
3. 第三次操作：计算$\sqrt{4}=2$，不小于2的最小整数是2，因此$⟨ \sqrt{4} \rangle=2$，此时得到结果2，一共进行了3次操作。
【答案】
B
【知识点】
1.新定义运算 2.算术平方根的计算
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解题干给出的运算规则，结合算术平方根的相关知识逐步计算即可，解题时注意不要跳步，避免估算错误。
【难度系数】
0.8
首先要准确理解题目给出的新定义：〈p〉表示不小于p的最小整数，解题时按照示例的操作流程，对121逐步进行操作：每次先计算当前数的算术平方根，再按新定义求出对应的整数，直到结果为2，统计操作的次数即可。
【解析】
我们按照规则逐步对121进行操作：
1. 第一次操作：计算$\sqrt{121}=11$，不小于11的最小整数是11，因此$⟨ \sqrt{121} \rangle=11$；
2. 第二次操作：计算$\sqrt{11}$，因为$3^2=9＜11＜16=4^2$，所以$3＜\sqrt{11}＜4$，不小于$\sqrt{11}$的最小整数是4，因此$⟨ \sqrt{11} \rangle=4$；
3. 第三次操作：计算$\sqrt{4}=2$，不小于2的最小整数是2，因此$⟨ \sqrt{4} \rangle=2$，此时得到结果2，一共进行了3次操作。
【答案】
B
【知识点】
1.新定义运算 2.算术平方根的计算
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解题干给出的运算规则，结合算术平方根的相关知识逐步计算即可，解题时注意不要跳步，避免估算错误。
【难度系数】
0.8
11. 如图，用两个边长是1的小正方形剪拼成一个大正方形，则以数轴的原点为圆心，大正方形的边长为半径画圆，与数轴的正半轴的交点表示的数是
$\sqrt{2}$
。答案
11.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先抓住剪拼前后图形总面积不变的核心规律：第一步先计算两个边长为1的小正方形的总面积，该面积和剪拼后大正方形的面积相等；第二步根据正方形面积与边长的关系，求出大正方形的边长；第三步结合圆的性质，圆心在原点的圆与数轴正半轴的交点到原点的距离等于半径（即大正方形的边长），数轴正半轴上的点表示的数就是该距离对应的数值，按此思路逐步推导即可得到结果。
【解析】
1. 计算两个小正方形的总面积：
单个小正方形的边长为1，面积为$1×1=1$，两个小正方形的总面积为$1+1=2$。
2. 求大正方形的边长：
剪拼前后图形总面积不变，因此大正方形的面积为2。设大正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得$a^2=2$，因为边长为正数，因此$a=\sqrt{2}$。
3. 确定数轴上交点表示的数：
以原点为圆心、大正方形边长$\sqrt{2}$为半径画圆，圆与数轴正半轴的交点到原点的距离等于半径$\sqrt{2}$，因此该交点表示的数是$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形面积计算；算术平方根；数轴的意义
【点评】
本题是图形剪拼与实数、数轴的综合应用题，解题的关键是抓住剪拼前后面积不变的规律求出大正方形的边长，再结合数轴性质推导结果，侧重基础知识的灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住剪拼前后图形总面积不变的核心规律：第一步先计算两个边长为1的小正方形的总面积，该面积和剪拼后大正方形的面积相等；第二步根据正方形面积与边长的关系，求出大正方形的边长；第三步结合圆的性质，圆心在原点的圆与数轴正半轴的交点到原点的距离等于半径（即大正方形的边长），数轴正半轴上的点表示的数就是该距离对应的数值，按此思路逐步推导即可得到结果。
【解析】
1. 计算两个小正方形的总面积：
单个小正方形的边长为1，面积为$1×1=1$，两个小正方形的总面积为$1+1=2$。
2. 求大正方形的边长：
剪拼前后图形总面积不变，因此大正方形的面积为2。设大正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得$a^2=2$，因为边长为正数，因此$a=\sqrt{2}$。
3. 确定数轴上交点表示的数：
以原点为圆心、大正方形边长$\sqrt{2}$为半径画圆，圆与数轴正半轴的交点到原点的距离等于半径$\sqrt{2}$，因此该交点表示的数是$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形面积计算；算术平方根；数轴的意义
【点评】
本题是图形剪拼与实数、数轴的综合应用题，解题的关键是抓住剪拼前后面积不变的规律求出大正方形的边长，再结合数轴性质推导结果，侧重基础知识的灵活应用。
【难度系数】
0.7
12.若实数$m,n$满足$\sqrt{m-3} + |n+2| = 0$,则$m+m$的平方根为
$\pm1$
.答案
12.$\pm1$
解析
【分析】
解题时首先观察到等式左边是算术平方根与绝对值相加，算术平方根和绝对值的结果都属于非负数（即大于等于0）。根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0。据此我们可以分别列出关于m、n的等式，求出m、n的取值，再计算对应代数式的值，最后根据平方根的定义求出结果即可，注意平方根有正、负两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵$\sqrt{m-3} ≥ 0$，$|n+2| ≥ 0$，且$\sqrt{m-3} + |n+2| = 0$
∴根据非负数的性质可得：
$m-3=0$，$n+2=0$
解得：$m=3$，$n=-2$
计算得$m+n=3+(-2)=1$
∵$(\pm1)^2=1$，因此1的平方根为$\pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
非负数的性质，平方根的定义
【点评】
本题重点考察非负数的性质和平方根的概念，解题的关键是牢记常见的非负数类型，同时注意平方根和算术平方根的区别，避免只写正的结果导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到等式左边是算术平方根与绝对值相加，算术平方根和绝对值的结果都属于非负数（即大于等于0）。根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0。据此我们可以分别列出关于m、n的等式，求出m、n的取值，再计算对应代数式的值，最后根据平方根的定义求出结果即可，注意平方根有正、负两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵$\sqrt{m-3} ≥ 0$，$|n+2| ≥ 0$，且$\sqrt{m-3} + |n+2| = 0$
∴根据非负数的性质可得：
$m-3=0$，$n+2=0$
解得：$m=3$，$n=-2$
计算得$m+n=3+(-2)=1$
∵$(\pm1)^2=1$，因此1的平方根为$\pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
非负数的性质，平方根的定义
【点评】
本题重点考察非负数的性质和平方根的概念，解题的关键是牢记常见的非负数类型，同时注意平方根和算术平方根的区别，避免只写正的结果导致漏解。
【难度系数】
0.7
13.若a是$\sqrt{17}-3$的整数部分，b是$\sqrt{17}-3$的小数部分，则$4a+b$的值是
答案
13.$\sqrt{17}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先估算$\sqrt{17}$的取值范围，我们可以找17相邻的两个完全平方数，从而确定$\sqrt{17}$的大小区间；第二步给$\sqrt{17}$的不等式各项同时减3，得到$\sqrt{17}-3$的取值范围，就能确定它的整数部分a；第三步，实数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此求出b；第四步把a和b代入$4a+b$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$16＜17＜25$
∴$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$
不等式各项同时减3，得：$4-3＜\sqrt{17}-3＜5-3$
即$1＜\sqrt{17}-3＜2$
∴$\sqrt{17}-3$的整数部分$a=1$
小数部分$b=(\sqrt{17}-3)-a=\sqrt{17}-3-1=\sqrt{17}-4$
将$a=1$，$b=\sqrt{17}-4$代入$4a+b$得：
$4a+b=4×1 + (\sqrt{17}-4)=4+\sqrt{17}-4=\sqrt{17}$
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
1. 无理数大小估算 2. 实数整数与小数部分 3. 代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是先锁定无理数的取值范围，再准确求出对应实数的整数部分和小数部分，代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先估算$\sqrt{17}$的取值范围，我们可以找17相邻的两个完全平方数，从而确定$\sqrt{17}$的大小区间；第二步给$\sqrt{17}$的不等式各项同时减3，得到$\sqrt{17}-3$的取值范围，就能确定它的整数部分a；第三步，实数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此求出b；第四步把a和b代入$4a+b$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$16＜17＜25$
∴$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$
不等式各项同时减3，得：$4-3＜\sqrt{17}-3＜5-3$
即$1＜\sqrt{17}-3＜2$
∴$\sqrt{17}-3$的整数部分$a=1$
小数部分$b=(\sqrt{17}-3)-a=\sqrt{17}-3-1=\sqrt{17}-4$
将$a=1$，$b=\sqrt{17}-4$代入$4a+b$得：
$4a+b=4×1 + (\sqrt{17}-4)=4+\sqrt{17}-4=\sqrt{17}$
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
1. 无理数大小估算 2. 实数整数与小数部分 3. 代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是先锁定无理数的取值范围，再准确求出对应实数的整数部分和小数部分，代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
