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14. 把下列各数分别填入相应的集合中.
$\frac{3}{5},\sqrt{9},π,3.14,-\sqrt[3]{27},0,-5.123\ 45···,-\sqrt{3}.$
(1)有理数集合: $\{$
(2)无理数集合: $\{$
(3)正实数集合: $\{$
$\frac{3}{5},\sqrt{9},π,3.14,-\sqrt[3]{27},0,-5.123\ 45···,-\sqrt{3}.$
(1)有理数集合: $\{$
$\frac{3}{5},\sqrt{9},3.14,-\sqrt[3]{27},0$
$···\}$.(2)无理数集合: $\{$
$π,-5.123\ 45···,-\sqrt{3}$
$···\}$.(3)正实数集合: $\{$
$\frac{3}{5},\sqrt{9},π,3.14$
$···\}$.答案
14.解:(1)$\frac{3}{5},\sqrt{9},3.14,-\sqrt[3]{27},0$
(2)$π,-5.123\ 45···,-\sqrt{3}$
(3)$\frac{3}{5},\sqrt{9},π,3.14$
(2)$π,-5.123\ 45···,-\sqrt{3}$
(3)$\frac{3}{5},\sqrt{9},π,3.14$
解析
【分析】
解题前先把题目中能化简的带根号的数先化简，再明确三类集合的判断标准：①有理数是整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数、无限不循环的小数；③正实数是大于0的实数。最后逐个判断每个数的属性，对应填入集合即可，注意要按化简后的结果判断数的类别，不要漏填错填。
【解析】
首先化简带根号的数：$\sqrt{9}=3$，$-\sqrt[3]{27}=-3$。
逐个分析各数属性：
1. $\frac{3}{5}$：是分数，属于有理数，且大于0，属于正实数；
2. $\sqrt{9}=3$：是整数，属于有理数，且大于0，属于正实数；
3. $π$：是无限不循环小数，属于无理数，且大于0，属于正实数；
4. $3.14$：是有限小数，属于有理数，且大于0，属于正实数；
5. $-\sqrt[3]{27}=-3$：是整数，属于有理数，小于0，不属于正实数；
6. $0$：是整数，属于有理数，既不是正数也不是负数；
7. $-5.12345···$：是无限不循环小数，属于无理数，小于0，不属于正实数；
8. $-\sqrt{3}$：是开方开不尽的数，属于无理数，小于0，不属于正实数。
对应填入集合：
(1) 有理数集合: $\{\frac{3}{5},\sqrt{9},3.14,-\sqrt[3]{27},0···\}$
(2) 无理数集合: $\{π,-5.123\ 45···,-\sqrt{3}···\}$
(3) 正实数集合: $\{\frac{3}{5},\sqrt{9},π,3.14···\}$
【答案】
(1)$\frac{3}{5},\sqrt{9},3.14,-\sqrt[3]{27},0$
(2)$π,-5.123\ 45···,-\sqrt{3}$
(3)$\frac{3}{5},\sqrt{9},π,3.14$
【知识点】
实数的分类、有理数定义、无理数定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题核心是先化简带根号的数，再结合定义逐一判断，要注意带根号的数不一定都是无理数，只有开方开不尽的才属于无理数，另外0既不是正实数也不是负实数，避免分类时出错。
【难度系数】
0.85
解题前先把题目中能化简的带根号的数先化简，再明确三类集合的判断标准：①有理数是整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数、无限不循环的小数；③正实数是大于0的实数。最后逐个判断每个数的属性，对应填入集合即可，注意要按化简后的结果判断数的类别，不要漏填错填。
【解析】
首先化简带根号的数：$\sqrt{9}=3$，$-\sqrt[3]{27}=-3$。
逐个分析各数属性：
1. $\frac{3}{5}$：是分数，属于有理数，且大于0，属于正实数；
2. $\sqrt{9}=3$：是整数，属于有理数，且大于0，属于正实数；
3. $π$：是无限不循环小数，属于无理数，且大于0，属于正实数；
4. $3.14$：是有限小数，属于有理数，且大于0，属于正实数；
5. $-\sqrt[3]{27}=-3$：是整数，属于有理数，小于0，不属于正实数；
6. $0$：是整数，属于有理数，既不是正数也不是负数；
7. $-5.12345···$：是无限不循环小数，属于无理数，小于0，不属于正实数；
8. $-\sqrt{3}$：是开方开不尽的数，属于无理数，小于0，不属于正实数。
对应填入集合：
(1) 有理数集合: $\{\frac{3}{5},\sqrt{9},3.14,-\sqrt[3]{27},0···\}$
(2) 无理数集合: $\{π,-5.123\ 45···,-\sqrt{3}···\}$
(3) 正实数集合: $\{\frac{3}{5},\sqrt{9},π,3.14···\}$
【答案】
(1)$\frac{3}{5},\sqrt{9},3.14,-\sqrt[3]{27},0$
(2)$π,-5.123\ 45···,-\sqrt{3}$
(3)$\frac{3}{5},\sqrt{9},π,3.14$
【知识点】
实数的分类、有理数定义、无理数定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题核心是先化简带根号的数，再结合定义逐一判断，要注意带根号的数不一定都是无理数，只有开方开不尽的才属于无理数，另外0既不是正实数也不是负实数，避免分类时出错。
【难度系数】
0.85
15. 计算：
(1) $|-1|+\sqrt[3]{27}-\sqrt{(-4)^2}$；
(2) $-1^{2025}+\sqrt{(-1)^2}+\sqrt[3]{-8}-|\sqrt{3}-2|$。
(1) $|-1|+\sqrt[3]{27}-\sqrt{(-4)^2}$；
(2) $-1^{2025}+\sqrt{(-1)^2}+\sqrt[3]{-8}-|\sqrt{3}-2|$。
答案
15.解:(1)原式$=1+3-4=0$.
(2)原式$=-1+1+(-2)-(2-\sqrt{3})=-1+1-2-2+\sqrt{3}=\sqrt{3}-4$.
(2)原式$=-1+1+(-2)-(2-\sqrt{3})=-1+1-2-2+\sqrt{3}=\sqrt{3}-4$.
解析
【分析】
这两道题属于实数基础混合运算题，解题思路遵循“先分项化简，再合并计算”的原则：首先根据绝对值、乘方、立方根、算术平方根的运算法则分别计算每一项的结果，再按照从左到右的顺序做加减运算即可。
解题时需注意：①计算带平方的算术平方根时，结果为非负数；②化简绝对值前要先判断绝对值内部式子的正负，负数去绝对值时要变为它的相反数；③注意$-1^{2025}$的底数是1，不是$(-1)$，避免符号判断错误。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
根据绝对值的性质，$|-1|=1$；
根据立方根的定义，$\sqrt[3]{27}=3$（因为$3^3=27$）；
根据算术平方根的定义，$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$；
代入原式计算：
原式$=1+3-4=0$。
(2) 先分别化简各项：
根据乘方的运算法则，$-1^{2025}=-1$（2025为奇数，$1^{2025}=1$，加负号后为$-1$）；
根据算术平方根的定义，$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$；
根据立方根的定义，$\sqrt[3]{-8}=-2$（因为$(-2)^3=-8$）；
判断$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，所以$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$（负数的绝对值是它的相反数）；
代入原式计算：
原式$=-1+1+(-2)-(2-\sqrt{3})$
$=-1+1-2-2+\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}-4$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{\sqrt{3}-4}$
【知识点】
实数的运算、绝对值化简、立方根与算术平方根运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，重点考察各类基础运算的化简规则，易错点是乘方、绝对值去号时的符号判断，做题时逐项计算、注意细节即可减少失误。
【难度系数】
0.7
这两道题属于实数基础混合运算题，解题思路遵循“先分项化简，再合并计算”的原则：首先根据绝对值、乘方、立方根、算术平方根的运算法则分别计算每一项的结果，再按照从左到右的顺序做加减运算即可。
解题时需注意：①计算带平方的算术平方根时，结果为非负数；②化简绝对值前要先判断绝对值内部式子的正负，负数去绝对值时要变为它的相反数；③注意$-1^{2025}$的底数是1，不是$(-1)$，避免符号判断错误。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
根据绝对值的性质，$|-1|=1$；
根据立方根的定义，$\sqrt[3]{27}=3$（因为$3^3=27$）；
根据算术平方根的定义，$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$；
代入原式计算：
原式$=1+3-4=0$。
(2) 先分别化简各项：
根据乘方的运算法则，$-1^{2025}=-1$（2025为奇数，$1^{2025}=1$，加负号后为$-1$）；
根据算术平方根的定义，$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$；
根据立方根的定义，$\sqrt[3]{-8}=-2$（因为$(-2)^3=-8$）；
判断$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，所以$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$（负数的绝对值是它的相反数）；
代入原式计算：
原式$=-1+1+(-2)-(2-\sqrt{3})$
$=-1+1-2-2+\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}-4$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{\sqrt{3}-4}$
【知识点】
实数的运算、绝对值化简、立方根与算术平方根运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，重点考察各类基础运算的化简规则，易错点是乘方、绝对值去号时的符号判断，做题时逐项计算、注意细节即可减少失误。
【难度系数】
0.7
16. 已知正数$ x $的两个平方根分别为$ 3 - a $和$ 2a + 7 $。
(1)求$ a $的值。
(2)求$ x $的值。
(1)求$ a $的值。
(2)求$ x $的值。
答案
16.解:(1)
∵正数$x$的两个平方根分别为$3-a$和$2a+7$,
∴$3-a+2a+7=0$,解得$a=-10$.
(2)
∵$a=-10$,
∴$3-a=13$,$2a+7=-13$.
∴正数$x$的两个平方根是$\pm13$.
∴$x=(\pm13)^2=169$.
∵正数$x$的两个平方根分别为$3-a$和$2a+7$,
∴$3-a+2a+7=0$,解得$a=-10$.
(2)
∵$a=-10$,
∴$3-a=13$,$2a+7=-13$.
∴正数$x$的两个平方根是$\pm13$.
∴$x=(\pm13)^2=169$.
解析
【分析】
解题的核心依据是正数平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，和为0。求解第(1)问时，直接利用这一性质列出关于a的一元一次方程，按解一元一次方程的步骤计算即可得到a的值；求解第(2)问时，将求得的a值代入任意一个平方根的表达式，再对结果求平方，即可得到原数x的值，因为平方根的平方就是其对应的原数。
【解析】
(1)
∵正数$x$的两个平方根分别为$3-a$和$2a+7$，
∴$3-a+2a+7=0$
合并同类项得$a+10=0$
解得$a=-10$
(2)
将$a=-10$代入两个平方根表达式得：
$3-a=3-(-10)=13$，$2a+7=2×(-10)+7=-13$
∴正数$x$的两个平方根是$\pm13$
∴$x=(\pm13)^2=169$
【答案】
(1)$a=-10$；(2)$x=169$
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程，平方根的定义
【点评】
本题是平方根章节的常规基础题型，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一核心性质，计算时注意符号处理即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是正数平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，和为0。求解第(1)问时，直接利用这一性质列出关于a的一元一次方程，按解一元一次方程的步骤计算即可得到a的值；求解第(2)问时，将求得的a值代入任意一个平方根的表达式，再对结果求平方，即可得到原数x的值，因为平方根的平方就是其对应的原数。
【解析】
(1)
∵正数$x$的两个平方根分别为$3-a$和$2a+7$，
∴$3-a+2a+7=0$
合并同类项得$a+10=0$
解得$a=-10$
(2)
将$a=-10$代入两个平方根表达式得：
$3-a=3-(-10)=13$，$2a+7=2×(-10)+7=-13$
∴正数$x$的两个平方根是$\pm13$
∴$x=(\pm13)^2=169$
【答案】
(1)$a=-10$；(2)$x=169$
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程，平方根的定义
【点评】
本题是平方根章节的常规基础题型，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一核心性质，计算时注意符号处理即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
