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1. $\sqrt{16}$表示的意义是 （
A.16 的立方根
B.16 的平方根
C.16 的算术平方根
D.4 的算术平方根
C
）A.16 的立方根
B.16 的平方根
C.16 的算术平方根
D.4 的算术平方根
答案
1.C
解析
【分析】
解决本题需要先明确不同方根的符号表示和对应的定义，再逐一判断选项：首先回忆立方根、平方根、算术平方根的表示规则，立方根用左上角标3的三次根号表示，平方根要带±号的二次根号表示，不带正负号的二次根号（√）表示的是非负数的算术平方根，再对应判断$\sqrt{16}$的意义即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：立方根的表示符号是$\sqrt[3]{a}$，$\sqrt{16}$是二次根号，不属于立方根的表示，因此A错误。
2. 选项B：16的平方根表示为$\pm\sqrt{16}$，包含正负两个值，而$\sqrt{16}$仅代表正的平方根，因此B错误。
3. 选项C：规定非负数$a$的算术平方根记为$\sqrt{a}$，因此$\sqrt{16}$表示的是16的算术平方根，C正确。
4. 选项D：4的算术平方根表示为$\sqrt{4}$，和$\sqrt{16}$的意义完全不同，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的概念；根式的表示意义；平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分不同类型方根的表示方法和定义，只要牢记相近概念的差异，就能轻松解题。
【难度系数】
0.85
解决本题需要先明确不同方根的符号表示和对应的定义，再逐一判断选项：首先回忆立方根、平方根、算术平方根的表示规则，立方根用左上角标3的三次根号表示，平方根要带±号的二次根号表示，不带正负号的二次根号（√）表示的是非负数的算术平方根，再对应判断$\sqrt{16}$的意义即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：立方根的表示符号是$\sqrt[3]{a}$，$\sqrt{16}$是二次根号，不属于立方根的表示，因此A错误。
2. 选项B：16的平方根表示为$\pm\sqrt{16}$，包含正负两个值，而$\sqrt{16}$仅代表正的平方根，因此B错误。
3. 选项C：规定非负数$a$的算术平方根记为$\sqrt{a}$，因此$\sqrt{16}$表示的是16的算术平方根，C正确。
4. 选项D：4的算术平方根表示为$\sqrt{4}$，和$\sqrt{16}$的意义完全不同，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的概念；根式的表示意义；平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分不同类型方根的表示方法和定义，只要牢记相近概念的差异，就能轻松解题。
【难度系数】
0.85
2. 与数轴上的点一一对应的是 （
A.有理数
B.无理数
C.整数
D.实数
D
）A.有理数
B.无理数
C.整数
D.实数
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先明确“一一对应”的含义：既所有该类数都能在数轴上找到唯一的点对应，同时数轴上的每一个点也都能唯一对应一个该类数。再逐一分析选项：首先回忆各类数的范围，整数属于有理数，有理数和无理数统称为实数；有理数仅能对应数轴上的部分点，数轴上还有表示无理数的点，同理无理数也不能对应全部数轴上的点，只有包含了有理数和无理数的实数，才能和数轴上的点形成一一对应关系。
【解析】
我们先明确一一对应的判定规则：若两类事物一一对应，则任意一个属于甲类的事物都能找到唯一的乙类事物对应，反过来任意一个乙类事物也都对应唯一的甲类事物。
对各选项逐一分析：
A. 有理数：数轴上存在表示无理数的点（如表示√2的点），无法与有理数对应，因此有理数和数轴上的点不是一一对应，排除；
B. 无理数：数轴上存在表示有理数的点（如表示1的点），无法与无理数对应，因此无理数和数轴上的点不是一一对应，排除；
C. 整数是有理数的一部分，能对应的数轴上的点更少，显然不是一一对应，排除；
D. 实数是有理数和无理数的统称，所有实数都可以用数轴上唯一的点表示，同时数轴上的任意一个点都唯一对应一个实数，二者是一一对应关系，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
实数与数轴的关系；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对实数和数轴对应关系的掌握，是数与代数模块的常考基础题型，熟记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先明确“一一对应”的含义：既所有该类数都能在数轴上找到唯一的点对应，同时数轴上的每一个点也都能唯一对应一个该类数。再逐一分析选项：首先回忆各类数的范围，整数属于有理数，有理数和无理数统称为实数；有理数仅能对应数轴上的部分点，数轴上还有表示无理数的点，同理无理数也不能对应全部数轴上的点，只有包含了有理数和无理数的实数，才能和数轴上的点形成一一对应关系。
【解析】
我们先明确一一对应的判定规则：若两类事物一一对应，则任意一个属于甲类的事物都能找到唯一的乙类事物对应，反过来任意一个乙类事物也都对应唯一的甲类事物。
对各选项逐一分析：
A. 有理数：数轴上存在表示无理数的点（如表示√2的点），无法与有理数对应，因此有理数和数轴上的点不是一一对应，排除；
B. 无理数：数轴上存在表示有理数的点（如表示1的点），无法与无理数对应，因此无理数和数轴上的点不是一一对应，排除；
C. 整数是有理数的一部分，能对应的数轴上的点更少，显然不是一一对应，排除；
D. 实数是有理数和无理数的统称，所有实数都可以用数轴上唯一的点表示，同时数轴上的任意一个点都唯一对应一个实数，二者是一一对应关系，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
实数与数轴的关系；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对实数和数轴对应关系的掌握，是数与代数模块的常考基础题型，熟记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 在实数$-1,0,-\sqrt{2},2$中，最小的是 （
A.$-1$
B.$0$
C.$-\sqrt{2}$
D.$2$
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$-\sqrt{2}$
D.$2$
答案
3.C
解析
【分析】
要找出这四个实数中最小的数，我们可以按照实数比较大小的基本思路逐步判断：首先明确实数大小比较的核心规则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于所有负数；两个负数比较大小时，绝对值大的数反而更小。第一步先区分四个数的正负性，先排除明显更大的正数和0，再对剩下的负数比较绝对值大小即可得出最小的数。
【解析】
解：根据实数大小比较规则：
1. 先判断正负性：2是正数，大于0；-1、-√2是负数，都小于0，因此最小的数在两个负数中，排除B、D选项。
2. 比较两个负数的绝对值：
|-1|=1，|-√2|=√2≈1.414，
∵√2＞1，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得-√2＜-1。
3. 四个数从小到大排序为：-√2＜-1＜0＜2，因此最小的数是-√2。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 负数比较大小规则
3. 无理数估算
【点评】
本题是基础类题型，重点考查实数大小比较的方法，解题的关键是熟练掌握实数比较大小的相关规则，同时能对常见的无理数进行大致估算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
要找出这四个实数中最小的数，我们可以按照实数比较大小的基本思路逐步判断：首先明确实数大小比较的核心规则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于所有负数；两个负数比较大小时，绝对值大的数反而更小。第一步先区分四个数的正负性，先排除明显更大的正数和0，再对剩下的负数比较绝对值大小即可得出最小的数。
【解析】
解：根据实数大小比较规则：
1. 先判断正负性：2是正数，大于0；-1、-√2是负数，都小于0，因此最小的数在两个负数中，排除B、D选项。
2. 比较两个负数的绝对值：
|-1|=1，|-√2|=√2≈1.414，
∵√2＞1，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得-√2＜-1。
3. 四个数从小到大排序为：-√2＜-1＜0＜2，因此最小的数是-√2。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 负数比较大小规则
3. 无理数估算
【点评】
本题是基础类题型，重点考查实数大小比较的方法，解题的关键是熟练掌握实数比较大小的相关规则，同时能对常见的无理数进行大致估算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
4. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比(分数)表示.后来,这一学派的希帕苏斯发现,边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示(
),由此引发了第一次数学危机.这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指 （
A.正数
B.负数
C.有理数
D.无理数
),由此引发了第一次数学危机.这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指 （D
）A.正数
B.负数
C.有理数
D.无理数
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆数的分类相关概念：先明确有理数的定义，整数和分数统称为有理数，其中分数就可以表示为两个整数的比值（分母不为0）。题目中提到的“不能用整数或整数的比表示的数”，也就是不属于有理数的数，对应无理数的概念，结合选项判断即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，所有有理数都可以写成两个整数的比（分母不为0）。
2. 无限不循环小数叫做无理数，无理数不能用整数或整数的比表示。
边长为1的正方形对角线长为√2，√2是无限不循环小数，属于无理数，符合题干描述，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数的定义，无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题结合第一次数学危机的数学史背景考查实数的基础概念，解题核心是区分有理数和无理数的定义，属于基础概念题，熟悉相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆数的分类相关概念：先明确有理数的定义，整数和分数统称为有理数，其中分数就可以表示为两个整数的比值（分母不为0）。题目中提到的“不能用整数或整数的比表示的数”，也就是不属于有理数的数，对应无理数的概念，结合选项判断即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，所有有理数都可以写成两个整数的比（分母不为0）。
2. 无限不循环小数叫做无理数，无理数不能用整数或整数的比表示。
边长为1的正方形对角线长为√2，√2是无限不循环小数，属于无理数，符合题干描述，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数的定义，无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题结合第一次数学危机的数学史背景考查实数的基础概念，解题核心是区分有理数和无理数的定义，属于基础概念题，熟悉相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.85
5. 下列各式中，正确的是 （
A.$\sqrt{25}=\pm5$
B.$\pm\sqrt{16}=4$
C.$\sqrt[3]{-27}=-3$
D.$\sqrt{(-4)^2}=-4$
C
）A.$\sqrt{25}=\pm5$
B.$\pm\sqrt{16}=4$
C.$\sqrt[3]{-27}=-3$
D.$\sqrt{(-4)^2}=-4$
答案
5.C
解析
【分析】
本题主要考查算术平方根、平方根、立方根的概念区分，解题时需逐个选项结合对应概念判断正误：首先明确算术平方根（单独带√的非负数开平方）结果为非负数；±√表示求一个数的平方根，结果有正负两个；立方根的符号和被开方数的符号一致，再分别验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，算术平方根的结果是非负数，因此$\sqrt{25}=5$，不是$\pm5$，该选项错误；
B选项：$\pm\sqrt{16}$表示16的平方根，16的平方根有两个，即$\pm\sqrt{16}=\pm4$，不是只有4，该选项错误；
C选项：$\sqrt[3]{-27}$表示-27的立方根，因为$(-3)^3=-27$，因此$\sqrt[3]{-27}=-3$，该选项正确；
D选项：先计算根号内的数：$(-4)^2=16$，$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4，不是-4，该选项错误。
综上，正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心是区分不同开方运算的符号含义，要注意避免混淆算术平方根和平方根的结果符号，熟练掌握立方根的运算特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题主要考查算术平方根、平方根、立方根的概念区分，解题时需逐个选项结合对应概念判断正误：首先明确算术平方根（单独带√的非负数开平方）结果为非负数；±√表示求一个数的平方根，结果有正负两个；立方根的符号和被开方数的符号一致，再分别验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，算术平方根的结果是非负数，因此$\sqrt{25}=5$，不是$\pm5$，该选项错误；
B选项：$\pm\sqrt{16}$表示16的平方根，16的平方根有两个，即$\pm\sqrt{16}=\pm4$，不是只有4，该选项错误；
C选项：$\sqrt[3]{-27}$表示-27的立方根，因为$(-3)^3=-27$，因此$\sqrt[3]{-27}=-3$，该选项正确；
D选项：先计算根号内的数：$(-4)^2=16$，$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4，不是-4，该选项错误。
综上，正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心是区分不同开方运算的符号含义，要注意避免混淆算术平方根和平方根的结果符号，熟练掌握立方根的运算特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.81 的算术平方根是
9
，−64 的立方根是-4
.答案
6.9 -4
解析
【分析】
解题需结合算术平方根、立方根的定义思考：① 算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，我们只需找到平方等于81的正数即可得到第一空结果；② 立方根的定义：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，则这个数$x$叫做$a$的立方根，负数的立方根仍为负数，找到立方等于-64的数即可得到第二空结果。
【解析】
1. 求81的算术平方根：
根据算术平方根的定义，正数的算术平方根为其正的平方根，因为$9^2=81$，因此81的算术平方根是9。
2. 求-64的立方根：
根据立方根的定义，因为$(-4)^3=-64$，因此-64的立方根是-4。
【答案】
9；-4
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，需要注意区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根仅取非负值，而立方根的符号与被开方数的符号保持一致，牢记概念即可避免出错。
【难度系数】
0.9
解题需结合算术平方根、立方根的定义思考：① 算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，我们只需找到平方等于81的正数即可得到第一空结果；② 立方根的定义：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，则这个数$x$叫做$a$的立方根，负数的立方根仍为负数，找到立方等于-64的数即可得到第二空结果。
【解析】
1. 求81的算术平方根：
根据算术平方根的定义，正数的算术平方根为其正的平方根，因为$9^2=81$，因此81的算术平方根是9。
2. 求-64的立方根：
根据立方根的定义，因为$(-4)^3=-64$，因此-64的立方根是-4。
【答案】
9；-4
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，需要注意区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根仅取非负值，而立方根的符号与被开方数的符号保持一致，牢记概念即可避免出错。
【难度系数】
0.9
7.若$m$是无理数，且$1＜m＜2$，请写出一个符合条件的$m$值：
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
.答案
7.$\sqrt{2}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要写出符合条件的m，需同时满足两个要求：一是m为无理数，二是1＜m＜2。我们可以先回忆常见的无理数类型，比如开方开不尽的数的算术平方根，接下来把不等式两边同时平方，得到1＜m²＜4，所以只要找1到4之间开方开不尽的正整数，取它的算术平方根，就能得到符合要求的m，比如2是1到4之间的数，且开方开不尽，所以√2就是符合条件的数。
【解析】
首先明确m需要满足两个条件：①是无理数；②大小在1和2之间。
因为1²=1，2²=4，对不等式1＜m＜2两边同时平方可得1＜m²＜4，我们选取1到4之间的非完全平方数2，对2取算术平方根得到√2，√2是无限不循环小数，属于无理数，且1＜√2＜2，符合要求（也可选取√3等其他符合条件的数）。
【答案】
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
【知识点】
无理数的定义；实数大小比较；算术平方根估算
【点评】
本题是开放性试题，答案不唯一，主要考查对无理数概念的理解和实数大小比较的应用，掌握基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
要写出符合条件的m，需同时满足两个要求：一是m为无理数，二是1＜m＜2。我们可以先回忆常见的无理数类型，比如开方开不尽的数的算术平方根，接下来把不等式两边同时平方，得到1＜m²＜4，所以只要找1到4之间开方开不尽的正整数，取它的算术平方根，就能得到符合要求的m，比如2是1到4之间的数，且开方开不尽，所以√2就是符合条件的数。
【解析】
首先明确m需要满足两个条件：①是无理数；②大小在1和2之间。
因为1²=1，2²=4，对不等式1＜m＜2两边同时平方可得1＜m²＜4，我们选取1到4之间的非完全平方数2，对2取算术平方根得到√2，√2是无限不循环小数，属于无理数，且1＜√2＜2，符合要求（也可选取√3等其他符合条件的数）。
【答案】
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
【知识点】
无理数的定义；实数大小比较；算术平方根估算
【点评】
本题是开放性试题，答案不唯一，主要考查对无理数概念的理解和实数大小比较的应用，掌握基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
