登录
【典例1】已知一张$△ ABC$的纸片(如图1)，其中$AB＝AC$.将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD.再将纸片沿过点E的直线折叠，使点A恰好与点D重合，折痕为EF.原$△ ABC$的纸片中，$∠ A$的度数为
36°
.答案
36°
提示:AE=DE=CD,设∠A=α,
∴∠ADE=α,∠C=2α,
∴α+2α+2α=180°,α=36°.
提示:AE=DE=CD,设∠A=α,
∴∠ADE=α,∠C=2α,
∴α+2α+2α=180°,α=36°.
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路思考：首先，折叠问题的核心是折叠前后对应边相等、对应角相等，先结合两次折叠的性质推导边和角的等量关系；其次，题目已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，两个底角相等；最后我们设∠A的度数为未知数，利用三角形内角和定理列方程求解即可。
【解析】
设∠A=α，
1. 由第二次折叠（点A与点D重合，折痕为EF），根据折叠的性质可得AE=DE，
∴∠ADE=∠A=α，
根据三角形外角的性质，∠BED是△AED的外角，因此∠BED=∠A+∠ADE=2α。
2. 由第一次折叠（点C落到E点，折痕为BD），根据折叠的性质可得∠C=∠BED=2α，
又
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2α。
3. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$α +2α +2α =180{}^{\circ }$，
解得$α =36{}^{\circ }$。
【答案】
$36{}^{\circ }$
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与折叠变换结合的典型题型，解题关键是熟练运用折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合等腰三角形的角度特点，通过设未知数列方程的方式求解，侧重考查几何图形中角度关系的推导能力。
【难度系数】
0.6
解决这道题可按以下思路思考：首先，折叠问题的核心是折叠前后对应边相等、对应角相等，先结合两次折叠的性质推导边和角的等量关系；其次，题目已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，两个底角相等；最后我们设∠A的度数为未知数，利用三角形内角和定理列方程求解即可。
【解析】
设∠A=α，
1. 由第二次折叠（点A与点D重合，折痕为EF），根据折叠的性质可得AE=DE，
∴∠ADE=∠A=α，
根据三角形外角的性质，∠BED是△AED的外角，因此∠BED=∠A+∠ADE=2α。
2. 由第一次折叠（点C落到E点，折痕为BD），根据折叠的性质可得∠C=∠BED=2α，
又
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2α。
3. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$α +2α +2α =180{}^{\circ }$，
解得$α =36{}^{\circ }$。
【答案】
$36{}^{\circ }$
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与折叠变换结合的典型题型，解题关键是熟练运用折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合等腰三角形的角度特点，通过设未知数列方程的方式求解，侧重考查几何图形中角度关系的推导能力。
【难度系数】
0.6
变式.如图2,在$△ ABC$中,$AB=AC$,将图形沿着$BD$折叠,点$C$落在$AC$上的点$F$处,再将图形沿$FE$折叠,点$A$正好落在$AB$的点$G$处,此时$GB=GF$,则$∠ BAC$的度数为
45°
.答案
45°
提示:设∠GBF=α,则∠AGF=∠A=2α,∠C=3α,
∴3α+3α+2α=180°,α=22.5°,
∴∠A=45°.
提示:设∠GBF=α,则∠AGF=∠A=2α,∠C=3α,
∴3α+3α+2α=180°,α=22.5°,
∴∠A=45°.
解析
【分析】
解决本题首先要明确折叠的核心性质是折叠前后对应角相等、对应边相等，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质，我们可以通过设最小角为未知数，将△ABC的三个内角都用该未知数表示，最后利用三角形内角和为180°列方程即可求出∠BAC的度数。
【解析】
设∠GBF=α，
∵GB=GF，
∴∠GBF=∠GFB=α，
根据三角形外角的性质，∠AGF=∠GBF+∠GFB=2α。
∵图形沿FE折叠，点A落在G处，
∴∠A=∠AGF=2α。
∵图形沿BD折叠，点C落在F处，
∴∠C=∠BFC。
又
∵∠BFC是△ABF的外角，
∴∠BFC=∠A+∠GBF=2α+α=3α，即∠C=3α。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3α。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：∠A+∠ABC+∠C=180°，
代入得：2α+3α+3α=180°，解得α=22.5°，
∴∠BAC=2α=2×22.5°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与折叠结合的典型题型，综合考查了图形折叠的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和、外角的相关知识，解题的关键是合理设未知数，梳理清楚各角之间的数量关系，通过方程思想求解角度。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确折叠的核心性质是折叠前后对应角相等、对应边相等，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质，我们可以通过设最小角为未知数，将△ABC的三个内角都用该未知数表示，最后利用三角形内角和为180°列方程即可求出∠BAC的度数。
【解析】
设∠GBF=α，
∵GB=GF，
∴∠GBF=∠GFB=α，
根据三角形外角的性质，∠AGF=∠GBF+∠GFB=2α。
∵图形沿FE折叠，点A落在G处，
∴∠A=∠AGF=2α。
∵图形沿BD折叠，点C落在F处，
∴∠C=∠BFC。
又
∵∠BFC是△ABF的外角，
∴∠BFC=∠A+∠GBF=2α+α=3α，即∠C=3α。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3α。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：∠A+∠ABC+∠C=180°，
代入得：2α+3α+3α=180°，解得α=22.5°，
∴∠BAC=2α=2×22.5°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与折叠结合的典型题型，综合考查了图形折叠的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和、外角的相关知识，解题的关键是合理设未知数，梳理清楚各角之间的数量关系，通过方程思想求解角度。
【难度系数】
0.6
【典例2】如图3，某同学用直尺与圆规用此方法作∠AOB的平分线，试说明理由。
答案
解:
∵∠ACP=∠AOB,
∴CP//OB,
∴∠CPO=∠POB,又
∵OC=CP,
∴∠COP=∠CPO,
∴∠AOP=∠BOP.
∵∠ACP=∠AOB,
∴CP//OB,
∴∠CPO=∠POB,又
∵OC=CP,
∴∠COP=∠CPO,
∴∠AOP=∠BOP.
解析
【分析】
要说明OP是∠AOB的平分线，本质是证明∠AOP=∠BOP。首先结合尺规作图得到的隐含条件：∠ACP=∠AOB、OC=CP。第一步利用同位角相等判定CP//OB，由平行线的内错角相等得到∠CPO=∠POB；第二步结合OC=CP，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠COP=∠CPO；最后通过等量代换即可推导出∠AOP=∠BOP，完成证明。
【解析】
由尺规作图的操作可知∠ACP=∠AOB，OC=CP，推导过程如下：
∵∠ACP=∠AOB，
∴CP//OB（同位角相等，两直线平行），
∴∠CPO=∠POB（两直线平行，内错角相等），
又
∵OC=CP，
∴∠COP=∠CPO（等腰三角形等边对等角），
∴∠COP=∠POB（等量代换），即∠AOP=∠BOP，因此OP为∠AOB的平分线。
【答案】
解:
∵∠ACP=∠AOB,
∴CP//OB,
∴∠CPO=∠POB,
又
∵OC=CP,
∴∠COP=∠CPO,
∴∠AOP=∠BOP.
【知识点】
平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基础证明，解题的核心是挖掘作图操作隐含的边角相等关系，通过平行线性质和等腰三角形性质推导角的等量关系，是几何入门的典型题型。
【难度系数】
0.7
要说明OP是∠AOB的平分线，本质是证明∠AOP=∠BOP。首先结合尺规作图得到的隐含条件：∠ACP=∠AOB、OC=CP。第一步利用同位角相等判定CP//OB，由平行线的内错角相等得到∠CPO=∠POB；第二步结合OC=CP，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠COP=∠CPO；最后通过等量代换即可推导出∠AOP=∠BOP，完成证明。
【解析】
由尺规作图的操作可知∠ACP=∠AOB，OC=CP，推导过程如下：
∵∠ACP=∠AOB，
∴CP//OB（同位角相等，两直线平行），
∴∠CPO=∠POB（两直线平行，内错角相等），
又
∵OC=CP，
∴∠COP=∠CPO（等腰三角形等边对等角），
∴∠COP=∠POB（等量代换），即∠AOP=∠BOP，因此OP为∠AOB的平分线。
【答案】
解:
∵∠ACP=∠AOB,
∴CP//OB,
∴∠CPO=∠POB,
又
∵OC=CP,
∴∠COP=∠CPO,
∴∠AOP=∠BOP.
【知识点】
平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基础证明，解题的核心是挖掘作图操作隐含的边角相等关系，通过平行线性质和等腰三角形性质推导角的等量关系，是几何入门的典型题型。
【难度系数】
0.7
变式1.如图4,以点A为圆心画弧,交直线l于B,C两点,再分别以A,B为圆心大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧交于M,N两点,直线MN交直线l于点D,若$∠ BAC=40°$,则$∠ CAD$的度数为(
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
C
)A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
1.C
提示:
∵AB=AC,
∴∠ABC=70°,
∴∠DAB=70°,
∴∠CAD=30°.
提示:
∵AB=AC,
∴∠ABC=70°,
∴∠DAB=70°,
∴∠CAD=30°.
解析
【分析】
解题时先识别尺规作图的结论：①以A为圆心画弧得AB=AC，△ABC为等腰三角形；②分别以A、B为圆心作弧得到的直线MN是AB的垂直平分线，可得AD=BD。先利用等腰三角形内角和计算∠ABC的度数，再由垂直平分线性质得∠DAB=∠ABC，最后通过角度差计算∠CAD即可。
【解析】
解：由作图可知：
1. AB=AC，△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC=40°，
∴∠ABC = (180°-∠BAC)÷2 = (180°-40°)÷2 = 70°；
2. 直线MN是线段AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴AD=BD，△ABD是等腰三角形，
∴∠DAB=∠ABC=70°；
∴∠CAD=∠DAB - ∠BAC = 70° - 40° = 30°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图的识别
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质的应用，解题核心是准确从作图步骤中提取隐含的线段相等、垂直平分等结论，再结合角度计算规则求解，是几何基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先识别尺规作图的结论：①以A为圆心画弧得AB=AC，△ABC为等腰三角形；②分别以A、B为圆心作弧得到的直线MN是AB的垂直平分线，可得AD=BD。先利用等腰三角形内角和计算∠ABC的度数，再由垂直平分线性质得∠DAB=∠ABC，最后通过角度差计算∠CAD即可。
【解析】
解：由作图可知：
1. AB=AC，△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC=40°，
∴∠ABC = (180°-∠BAC)÷2 = (180°-40°)÷2 = 70°；
2. 直线MN是线段AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴AD=BD，△ABD是等腰三角形，
∴∠DAB=∠ABC=70°；
∴∠CAD=∠DAB - ∠BAC = 70° - 40° = 30°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图的识别
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质的应用，解题核心是准确从作图步骤中提取隐含的线段相等、垂直平分等结论，再结合角度计算规则求解，是几何基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
变式2.(2026·沈阳)如图5,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以点A为圆心,任意长为半径作弧交AB,AC于点M,N,以点N为圆心,以MN长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP与BC交于点D,若$∠ ADB=39°$,则$∠ BAC=$
34°
.答案
2.34°
解:设∠BAC=α,∠ACB=α+39°,
在△ABC中,α+α+39°+α+39°=180°,α=34°.
解:设∠BAC=α,∠ACB=α+39°,
在△ABC中,α+α+39°+α+39°=180°,α=34°.
解析
【分析】
首先根据题中给出的尺规作图步骤，可判断出所作射线AP是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC；其次由已知AB=AC可知△ABC是等腰三角形，两底角∠B与∠ACB相等；接下来我们可以设∠BAC的度数为未知数，结合已知∠ADB的度数梳理各角的数量关系，再利用三角形内角和定理列方程，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：由尺规作图的操作规则可知，AD是∠BAC的角平分线。
已知AB=AC，故△ABC为等腰三角形，因此∠B=∠ACB。
设∠BAC=α，结合角的数量关系可得∠ACB=α+39°，因此∠B=∠ACB=α+39°。
根据三角形内角和为180°，在△ABC中：
$∠ BAC + ∠ B + ∠ ACB = 180°$
将各角代入得：$α + (α+39°) + (α+39°) = 180°$
整理得$3α + 78° = 180°$
解得$α=34°$
【答案】
$34°$
【知识点】
尺规作角平分线；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先准确识别尺规作图的结果，再结合等腰三角形等角对等边的性质，利用内角和定理建立方程求解，重点考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先根据题中给出的尺规作图步骤，可判断出所作射线AP是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC；其次由已知AB=AC可知△ABC是等腰三角形，两底角∠B与∠ACB相等；接下来我们可以设∠BAC的度数为未知数，结合已知∠ADB的度数梳理各角的数量关系，再利用三角形内角和定理列方程，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：由尺规作图的操作规则可知，AD是∠BAC的角平分线。
已知AB=AC，故△ABC为等腰三角形，因此∠B=∠ACB。
设∠BAC=α，结合角的数量关系可得∠ACB=α+39°，因此∠B=∠ACB=α+39°。
根据三角形内角和为180°，在△ABC中：
$∠ BAC + ∠ B + ∠ ACB = 180°$
将各角代入得：$α + (α+39°) + (α+39°) = 180°$
整理得$3α + 78° = 180°$
解得$α=34°$
【答案】
$34°$
【知识点】
尺规作角平分线；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先准确识别尺规作图的结果，再结合等腰三角形等角对等边的性质，利用内角和定理建立方程求解，重点考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
变式3.如图6，$AB// CD$，由如下尺规作图，则$∠ A$的度数为（
A.$4α - 180°$
B.$90° - \frac{1}{2}α$
C.$180° - 4α$
D.$2α$
A
）A.$4α - 180°$
B.$90° - \frac{1}{2}α$
C.$180° - 4α$
D.$2α$
答案
3.A
提示:
∵CD//AB,
∴∠GEB=α,
由作图知∠GEC=α,∠AEC=180°−2α,
∵AC=AE,
∴∠ACE=180°−2α,
∴∠A=4α−180°.
提示:
∵CD//AB,
∴∠GEB=α,
由作图知∠GEC=α,∠AEC=180°−2α,
∵AC=AE,
∴∠ACE=180°−2α,
∴∠A=4α−180°.
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的含义，第一步利用平行线的内错角相等得到∠GEB=α；再根据作图痕迹可知EG是∠CEB的角平分线，由此求出∠CEB的度数，进而得到邻补角∠AEC的度数；再由作图可知AC=AE，即△ACE为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等得到底角的度数，最后结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵$AB// CD$，
∴$∠GEB=∠DGE=α$（两直线平行，内错角相等），
由尺规作图痕迹可知：$EG$平分$∠CEB$，且$AC=AE$，
∴$∠CEG=∠GEB=α$，
∴$∠CEB=∠CEG+∠GEB=2α$，
∵$∠AEC+∠CEB=180°$（邻补角的和为$180°$），
∴$∠AEC=180°-∠CEB=180°-2α$，
又
∵$AC=AE$，
∴$∠ACE=∠AEC=180°-2α$（等腰三角形两底角相等），
在$△ ACE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$\begin{aligned}∠A&=180°-∠ACE-∠AEC\\&=180°-2×(180°-2α)\\&=180°-360°+4α\\&=4α-180°\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图识别
【点评】
本题将尺规作图与几何计算相结合，解题的关键是准确识别作图痕迹得到边和角的等量关系，再结合相关几何性质逐步推导计算，能较好地考查综合运用几何知识的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先识别尺规作图的含义，第一步利用平行线的内错角相等得到∠GEB=α；再根据作图痕迹可知EG是∠CEB的角平分线，由此求出∠CEB的度数，进而得到邻补角∠AEC的度数；再由作图可知AC=AE，即△ACE为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等得到底角的度数，最后结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵$AB// CD$，
∴$∠GEB=∠DGE=α$（两直线平行，内错角相等），
由尺规作图痕迹可知：$EG$平分$∠CEB$，且$AC=AE$，
∴$∠CEG=∠GEB=α$，
∴$∠CEB=∠CEG+∠GEB=2α$，
∵$∠AEC+∠CEB=180°$（邻补角的和为$180°$），
∴$∠AEC=180°-∠CEB=180°-2α$，
又
∵$AC=AE$，
∴$∠ACE=∠AEC=180°-2α$（等腰三角形两底角相等），
在$△ ACE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$\begin{aligned}∠A&=180°-∠ACE-∠AEC\\&=180°-2×(180°-2α)\\&=180°-360°+4α\\&=4α-180°\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图识别
【点评】
本题将尺规作图与几何计算相结合，解题的关键是准确识别作图痕迹得到边和角的等量关系，再结合相关几何性质逐步推导计算，能较好地考查综合运用几何知识的能力。
【难度系数】
0.6
