三、解答题
7. 如图,已知点 A、D、C、E 在同一条直线上,BC、DF 相交于点 O,AD=CE,AB//DF,AB=DF.
(1)求证:△ABC≌△DFE.
(2)连接 CF,若∠BCF=54°,∠DFC=20°,求∠DFE 的度数.

解：(1)证明：
因为$AB// DF，$所以$\angle A = \angle EDF。$ 因为$AD = CE，$所以$AD + CD = CE + CD，$即$AC = DE。$ 在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中， $\begin{cases}AB = DF\\\angle A = \angle EDF\\AC = DE\end{cases}，$ 所以$\triangle ABC\cong\triangle DFE(SAS)。$ (2)因为$\angle BCF = 54^{\circ}，$$\angle DFC = 20^{\circ}，$ 所以$\angle DOC=\angle BCF+\angle DFC = 54^{\circ}+20^{\circ}=74^{\circ}。$ 因为$AB// DF，$所以$\angle B = \angle DOC = 74^{\circ}。$ 因为$\triangle ABC\cong\triangle DFE，$所以$\angle DFE=\angle B = 74^{\circ}。$

8. 如图,在$△ ABC$中,$BD⊥ AC$于点$D$,$CE⊥ AB$于点$E$,$M$、$N$分别是$BC$、$DE$的中点.
(1)求证:$MN⊥ DE$.
(2)若$∠ ECB+∠ DBC=45°$,$DE=10$,求$MN$的长.

解：(1)证明：如图，连接$EM$、$DM。$
因为$BD\perp AC，$$CE\perp AB，$$M$是$BC$的中点， 所以$DM=\frac{1}{2}BC，$$EM=\frac{1}{2}BC，$所以$DM = EM。$ 又因为$N$是$DE$的中点，所以$MN\perp DE。$ (2)在$Rt\triangle DBC$中，$M$是$BC$的中点，所以$DM=\frac{1}{2}BC = BM，$所以$\angle DBM=\angle BDM，$所以$\angle DMC = 2\angle DBM。$ 同理可得$\angle EMB = 2\angle ECM。$ 因为$\angle ECB+\angle DBC = 45^{\circ}，$即$\angle ECM+\angle DBM = 45^{\circ}，$ 所以$\angle EMB+\angle DMC = 2\angle ECM + 2\angle DBM = 2(\angle ECM+\angle DBM)=90^{\circ}，$ 所以$\angle EMD = 180^{\circ}-(\angle EMB+\angle DMC)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}，$所以$\triangle EMD$为等腰直角三角形。 又因为$N$是$DE$的中点，$DE = 10，$所以$MN=\frac{1}{2}DE = 5。$

9. 如图1,已知$AC⊥AB$,$BD⊥AB$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$AC=BD=6\ \mathrm{cm}$,点$P$在线段$AB$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$A$向点$B$运动,同时点$Q$在线段$BD$上由点$B$向点$D$运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)若点$Q$的速度与点$P$的速度相同,则当$t=1$时,$△ ACP$与$△ BPQ$是否全等?请说明理由,并判断此时$PC$和$PQ$之间的位置关系.
(2)如图2,将原题中的“$AC⊥AB$,$BD⊥AB$”改为“$∠CAB=∠DBA=60°$”,其他条件不变.设点$Q$的速度为$x\ \mathrm{cm/s}$,则是否存在满足题意的$x$,使得$△ ACP$与$△ BPQ$全等?若存在,求出相应的$x$、$t$的值;若不存在,请说明理由.

解：(1)由题意可知，当$t = 1$时，$AP = BQ = 2\ cm，$$BP = AC = 6\ cm。$ 又因为$AC\perp AB，$$BD\perp AB，$所以$\angle A=\angle B = 90^{\circ}。$ 在$\triangle ACP$和$\triangle BPQ$中， $\begin{cases}AP = BQ\\\angle A=\angle B\\AC = BP\end{cases}，$ 所以$\triangle ACP\cong\triangle BPQ(SAS)，$ 所以$\angle ACP=\angle BPQ，$所以$\angle APC+\angle BPQ=\angle APC+\angle ACP = 90^{\circ}，$所以$\angle CPQ = 90^{\circ}，$
即$PC\perp PQ。$ (2)存在。
由题意可知，$AP = 2t\ cm，$$BQ = xt\ cm，$
所以$BP=(8 - 2t)\ cm。$ 因为$\angle A=\angle B = 60^{\circ}，$ 当$\triangle ACP\cong\triangle BPQ$时，$AC = BP = 6\ cm，$$AP = BQ，$ 即$8 - 2t = 6，$$2t = xt，$ 由$8 - 2t = 6$得$2t = 2，$$t = 1，$ 把$t = 1$代入$2t = xt$得$x = 2；$ 当$\triangle APC\cong\triangle BPQ$时，$AP = BP，$$AC = BQ，$ 即$2t = 8 - 2t，$$6 = xt，$ 由$2t = 8 - 2t$得$4t = 8，$$t = 2，$ 把$t = 2$代入$6 = xt$得$2x = 6，$$x = 3。$ 综上所述，存在$t = 1，$$x = 2$或$t = 2，$$x = 3，$使得$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等。